حاسبة الأحجام

يُعد الحجم أحد أهم الخصائص الهندسية: جنبًا إلى جنب مع محيط الأشكال ومساحتها. ولكن لا يمكن تطبيقه إلا على الأجسام ثلاثية الأبعاد ، والتي لا تتميز فقط بالطول والعرض ، ولكن أيضًا بالارتفاع / السماكة.

الكرات ، المكعبات ، الأسطوانات ، الأهرامات ، المخاريط ، الموازي - كل هذه أشكال ثلاثية الأبعاد ، يتم حسابها وفقًا لصيغ خاصة ، اكتشف العلماء الكثير منها قبل عصرنا.

الخلفية التاريخية

مصر القديمة وبابل

يشير الدليل الأول على استخدام الأشكال ثلاثية الأبعاد إلى مصر القديمة ، أو بالأحرى إلى بنائها وهندستها المعمارية. وبالتالي ، لا يمكن بناء الهياكل الهرمية المهيبة دون معرفة المبادئ الأساسية لتحديد الكتلة والحجم. وهذا يعني أن قدماء المصريين ، على الأقل ، كان بإمكانهم حساب حجم المكعبات والمنشورات والأهرامات.

مثال حي هو قبر الفرعون خوفو ، الذي يبلغ ارتفاعه 147 مترًا ، والذي له شكل هندسي مثالي للهرم. من المستحيل تجميعها معًا من الطوب والكتل الفردية بطريقة صمدت لأكثر من 4500 عام ؛ وهذا يتطلب حسابات رياضية وهندسية عالية الدقة.

لا يوجد دليل موثق على أن قدماء المصريين والبابليين استخدموا صيغًا محددة لحساب الحجم ، وربما تم استخدامها فقط في شكل رسومي وشفهي - باتباع مبادئ منفصلة ، وليس قواعد مصاغة بوضوح.

من مدينة بابل القديمة ، وصلنا فقط الألواح الطينية ، والتي تصف قواعد حساب الهرم المقطوع (غير الكامل) ، لكنها لن تكون كافية لبناء أشياء بهذا الحجم. من المعروف أن العديد من الحضارات القديمة حسبت حجم الأشكال الأولية بضرب مساحة قاعدتها في الارتفاع ، لكن هذا لا ينطبق على أشياء مثل المخاريط والأهرامات ورباعي الأسطح. على الرغم من أنها غالبًا ما توجد في العمارة القديمة ولها أبعاد محددة جيدًا.

اليونان القديمة

تمت صياغة مبادئ العثور على المجلدات بشكل أكثر وضوحًا في اليونان القديمة - من القرن الخامس إلى القرن الثاني قبل الميلاد. يقدم إقليدس مفهوم المكعب ، والذي يعني في نفس الوقت كلاً من حجم الشكل الذي يحمل نفس الاسم ورفع الرقم إلى القوة الثالثة. وديموقريطس في القرن الخامس قبل الميلاد ، ولأول مرة ، صاغ قاعدة لإيجاد حجم الهرم ، والذي ، وفقًا لبحثه ، يساوي دائمًا ثلث حجم المنشور الذي له نفس الارتفاع وبنفس الارتفاع. قاعدة.

في الفترة من القرن السادس إلى القرن الثاني قبل الميلاد ، تعلم علماء الرياضيات اليونانيون القدماء أيضًا حساب حجم المناشير والأسطوانات والأقماع ، باستخدام الرقم المكتشف بالفعل "pi" ، وهو أمر ضروري لحساب جميع الأشكال المستديرة. شكّل بحث أرخميدس أساس الطريقة المتكاملة لحساب التفاضل والتكامل ، واعتبر اكتشافه الرئيسي هو الصيغة التي وفقًا لها يكون حجم الكرة دائمًا أقل بمقدار 2/3 من حجم الأسطوانة الموصوفة حولها. بالإضافة إلى أرخميدس ، قدم Democritus و Eudoxus of Cnidus أيضًا مساهمة كبيرة في دراسة الهندسة.

وقت جديد

خلال العصور القديمة ، تم اشتقاق جميع الصيغ الأساسية لحساب الأشكال ثلاثية الأبعاد ، ولم تقدم العصور الوسطى اكتشافًا جوهريًا واحدًا جديدًا في هذا المجال - باستثناء الباحثين الهنود (بشكل أساسي براهماجوبتا) ، الذين ابتكروا العديد من الأشكال الهندسية القواعد في القرنين السادس والسابع مع إضافة قيمة جديدة - نصف المحيط. تم تطبيق نهج جديد بشكل أساسي فقط في العصر الحديث - في القرنين السادس عشر والسابع عشر.

في عمله "الهندسة" (Geometria indivisibilibus Continorum nova quadam ratione promota) لعام 1635 ، اقترح العالم الإيطالي بونافينتورا كافاليري مبدأ جديدًا لإيجاد حجم الهرم ، ووضع الأساس لمزيد من التطوير للرياضيات والفيزياء 300 سنة قادمة. المبدأ هو أنه في حالة تقاطع جسمين على أي مستوى موازٍ لمستوى ما ، تكون مناطق المقطع العرضي متساوية ، كما أن أحجام هذه الأجسام متساوية.

من الجدير بالذكر أنه حتى القرن التاسع عشر لم تكن هناك تعريفات دقيقة لأحجام الأجسام ثلاثية الأبعاد ، وقد تمت صياغتها فقط في عام 1887 من قبل جوزيبي بينو ، وفي عام 1892 من قبل ماري إنموند كميل جوردان. وفقًا لنظام SI ، أصبح المتر المكعب هو الوحدة الرئيسية لقياس الحجم ، وظلت جميع الوحدات الأخرى (أوقية ، قدم ، براميل ، بوشل) كوحدات بديلة.

أثارت الهندسة ثلاثية الأبعاد اهتمامًا خاصًا في القرن العشرين مع تطور النظرية التجريدية. في عام 1966 ، ابتكر المصور تشارلز ف. كوكران صورته الشهيرة "الصندوق المجنون" لمكعب من الداخل إلى الخارج ، وبعد ذلك دخلت رقاقات الثلج المكعبة ، والمكعبات العائمة والمكررة والمكعبات المكونة من طابقين والمزيد إلى قائمة الأشكال ثلاثية الأبعاد المستحيلة. يعد الفن ثلاثي الأبعاد الحديث أيضًا مستحيلًا بدون استخدام الصيغ المقبولة عمومًا للعثور على الحجم ، والذي ، على الرغم من حسابه بواسطة الكمبيوتر ، تم إنشاؤه منذ عدة قرون.

كيفية إيجاد الحجم (معادلات الحجم)

إذا كان يكفي إضافة عدة أرقام في عمود لحساب المحيط ، فقد تكون هناك حاجة إلى آلة حاسبة هندسية أو تطبيق خاص عبر الإنترنت لتحديد الحجم. ينطبق هذا على جميع الأشكال الأساسية ثلاثية الأبعاد: المكعب ، والمنشور ، والكرة ، ومتوازي السطوح ، والمخروط ، والأسطوانة ، ورباعي السطوح ، والهرم.

مكعب

نظرًا لأن جميع أوجه المكعب متساوية في الطول وجميع الزوايا قياسها 90 درجة ، فإن حساب حجم هذا الشكل أساسي. بالنسبة له ، يكفي استخدام صيغة واحدة غير معروفة:

V = a³.

وفقًا لذلك ، V هو حجم المكعب ، و a طول وجهه. وحدات الحجم قياسية: متر ، ديسيمتر ، سنتيمتر ، مليمتر وما إلى ذلك.

منشور

هذا الشكل الهندسي متعدد الوجوه ، ضلعه متماثلان في الشكل والمساحة وفي مستويات متوازية. وبينهما مستطيلات متعامدة تمامًا مع القواعد. يمكن أن يكون لهذا الأخير أي شكل متعدد السطوح: مثلث ، خماسي ، مسدس. تبدو صيغة تحديد الحجم في أي حال هي نفسها:

V = Sₒ ⋅ h.

في التعبير ، h ارتفاع المنشور ، و Sₒ هي مساحة قاعدته. يتم حساب الأخير وفقًا للصيغة المقابلة لهذا الشكل المحدد ، سواء كان مثلثًا أو معينًا أو شبه منحرف.

مشلول

هذا الشكل هو أحد أنواع المنشور ، ولكن إذا كانت وجوه الأخير متعامدة تمامًا مع القواعد ، فيمكن أن يكون الشكل الأول مشطوفًا - بزوايا غير 90 درجة. ومع ذلك ، فإن صيغة حساب حجم الصندوق تبدو هي نفسها:

V = Sₒ ⋅ h.

الارتفاع h مرسوم من زاوية القاعدة العلوية عموديًا لأسفل ، مع وجود حواف مشطوفة لا تتطابق مع زاوية القاعدة السفلية. إذا كان الصندوق مستطيلاً ، يُحسب الحجم على أنه ناتج الجوانب:

V = a ⋅ b ⋅ h.

وفقًا لذلك ، أ و ب هما طولا ضلعي القاعدة ، و ع ارتفاع المربع. في هذه الحالة ، يتطابق الارتفاع تمامًا مع أي من الحواف الجانبية.

الهرم

شكل أكثر صعوبة في الحساب ، ويتكون من قاعدة متعددة الأضلاع وأوجه مثلثة ، وعددها يساوي عدد أضلاع القاعدة. إذا كان مثلثًا ، فهناك 3 وجوه ، إذا كان المربع هو 4 ، إذا كان الشكل السداسي هو 6. جميع الوجوه الجانبية لها رأس مشترك ، ويتم حساب الحجم باستخدام الصيغة العامة:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

كما في الصيغ السابقة ، Sₒ هي مساحة القاعدة ، h هي ارتفاع الشكل. لا يتغير التعبير عند تغيير القاعدة ، وهو نفسه لكل أنواع الأهرامات.

منتظم رباعي السطوح

يحتوي هذا الشكل على جميع زوايا ثنائية الأضلاع عند الحواف متساوية ، والأوجه عبارة عن مثلثات متساوية الأضلاع ، بما في ذلك القاعدة. وبالتالي ، يمكن تسمية رباعي الوجوه المنتظم هرمًا ثلاثيًا بأربعة جوانب متطابقة. يتم حساب حجمه بالصيغة:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

لا يوجد سوى واحد غير معروف في التعبير - a ، يتوافق مع طول حافة رباعي السطوح العادي. جميع الأطراف فيه متشابهة ، لذا يكفي التكعيب ، ثم الضرب في الجذر والقسمة على 12.

اسطوانة

يتكون هذا الشكل الهندسي من قاعدتين دائريتين متطابقتين في القطر ومتوازيتين. ترتبط ببعضها البعض من خلال سطح جانبي متصل عمودي على القواعد. يمكن تمثيل الأخير بالدوائر والأشكال البيضاوية. على أي حال ، فإن الصيغ الخاصة بحساب الحجم تبدو متشابهة:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

في هذه المعادلات ، Sₒ هي مساحة قاعدة الأسطوانة ، و h ارتفاع الأسطوانة ، و R نصف قطر القاعدة. الصيغة الأولى مناسبة فقط للأسطوانات ذات القاعدة المستديرة المثالية ، والصيغة الثانية مناسبة لجميع الأسطوانات ، بما في ذلك الأسطوانات البيضاوية والبيضاوية.

مخروط

شكل آخر شائع ثلاثي الأبعاد هو المخروط ، بقاعدة دائرية وقمة حادة. لحساب حجمها ، يمكنك استخدام إحدى الصيغتين الرياضيتين:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

الأول مناسب فقط للمخاريط ذات القاعدة المستديرة ، والثاني عالمي ، ويمكن استخدامه لحساب الأشكال ذات القواعد البيضاوية والإهليلجية. التدوين في الصيغ قياسي: Sₒ هي مساحة القاعدة ، R هي نصف قطر القاعدة ، h هي ارتفاع المخروط.

الكرة

أخيرًا ، لحساب حجم الكرة ، ما عليك سوى الثابت π (يساوي 3.14 ...) ونصف قطرها:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

وفقًا لذلك ، R هو نصف قطر الكرة ، وهو ما يكفي لتحديد حجم هذا الشكل.

حتى لا تضيع الوقت واللغز على الحسابات المعقدة ، يمكنك استخدام آلة حاسبة هندسية تعمل بالضغط على زر (أو برنامج) بجذور ودرجات ، أو آلة حاسبة خاصة عبر الإنترنت بها حقول فارغة لإدخال خصائص الأشكال ثلاثية الأبعاد .

حاسبة الأحجام

أدوات أخرى