Həcm kalkulyatoru

Həcm ən vacib həndəsi xüsusiyyətlərdən biridir: fiqurların perimetri və sahəsi ilə birlikdə. Lakin o, yalnız uzunluq və eni ilə deyil, həm də hündürlüyü/qalınlığı ilə xarakterizə olunan üçölçülü cisimlərə tətbiq oluna bilər.

Kürələr, kublar, silindrlər, piramidalar, konuslar, paralelepipedlər - bunların hamısı üçölçülü fiqurlardır, onların hesablanması xüsusi düsturlara əsasən aparılır və onların çoxu bizim eradan əvvəl alimlər tərəfindən kəşf edilmişdir.

Tarixi fon

Qədim Misir və Babil

Üçölçülü fiqurlardan istifadənin ilk sübutu Qədim Misirə, daha doğrusu, onun tikintisinə və memarlığına aiddir. Beləliklə, kütlənin və həcmin müəyyən edilməsi üçün əsas prinsipləri bilmədən əzəmətli piramidal strukturları qurmaq mümkün deyildi. Bu o deməkdir ki, qədim misirlilər heç olmasa kubların, prizmaların və piramidaların həcmini hesablaya biliblər.

Buna parlaq misal, 147 metr hündürlükdə olan, ideal həndəsi piramida formasına malik olan Firon Xeopsun türbəsidir. Onu ayrı-ayrı kərpiclərdən və bloklardan 4500 ildən artıq dayanacaq şəkildə birləşdirmək mümkün deyil, bunun üçün yüksək dəqiqlikli riyazi və mühəndislik hesablamaları lazımdır.

Qədim misirlilərin və babillilərin həcmi hesablamaq üçün xüsusi düsturlardan istifadə etdiklərinə dair heç bir sənədli dəlil yoxdur və ola bilsin ki, onlar yalnız qrafik və şifahi formada - ayrı-ayrı prinsiplərə riayət etməklə, aydın şəkildə tərtib edilməmiş qaydalara riayət etməklə istifadə olunub.

Qədim Babildən bizə yalnız kəsilmiş (tamamlanmamış) piramidanın hesablanması qaydalarını təsvir edən gil lövhələr gəlib, lakin onlar belə miqyaslı obyektlərin tikintisi üçün kifayət etməyəcək. Məlumdur ki, bir çox qədim sivilizasiyalar elementar fiqurların həcmini təməlinin sahəsini hündürlüyə vurmaqla hesablayırdılar, lakin bu konuslar, piramidalar, tetraedrlər kimi obyektlərə aid edilmir. Baxmayaraq ki, onlar tez-tez qədim memarlıqda rast gəlinir və dəqiq müəyyən edilmiş nisbətlərə malikdirlər.

Qədim Yunanıstan

Cildlərin tapılması prinsipləri daha aydın şəkildə Qədim Yunanıstanda - eramızdan əvvəl 5-ci əsrdən 2-ci əsrə qədər formalaşmışdır. Evklid kub anlayışını təqdim edir ki, bu da eyni zamanda həm eyniadlı fiqurun həcmini, həm də rəqəmin 3-cü dərəcəyə qaldırılmasını ifadə edir. Demokrit isə ilk dəfə eramızdan əvvəl V əsrdə piramidanın həcminin tapılması qaydasını tərtib etmişdir ki, onun araşdırmasına görə bu, həmişə eyni hündürlükdə və eyni əsaslı prizmanın həcminin 1/3 hissəsinə bərabərdir.

Eramızdan əvvəl 6-cı əsrdən 2-ci əsrə qədər olan dövrdə qədim yunan riyaziyyatçıları bütün dairəvi rəqəmləri hesablamaq üçün lazım olan artıq kəşf edilmiş "pi" rəqəmindən istifadə edərək prizmaların, silindrlərin və konusların həcmini hesablamağı da öyrəndilər. Arximedin tədqiqatları hesablamanın inteqral metodunun əsasını təşkil etdi və o, əsas kəşfini topun həcminin onun ətrafında təsvir olunan silindrin həcmindən həmişə 2/3 kiçik olduğu düstur hesab etdi. Arximeddən başqa, Demokrit və Knidli Evdoks da həndəsə elminin öyrənilməsinə böyük töhfə vermişlər.

Yeni vaxt

Antik dövrdə üçölçülü fiqurların hesablanması üçün bütün əsas düsturlar əldə edilmişdi və orta əsrlər bu sahədə bircə dənə də əsaslı yeni kəşf verməmişdir - bir neçə həndəsi fiqur yaradan hind tədqiqatçıları (əsasən Brahmagupta) istisna olmaqla. 6-7-ci əsrlərdə yeni bir dəyər - yarımperimetr əlavə edilməklə qaydalar. Prinsipcə yeni yanaşma yalnız müasir dövrdə - XVI-XVII əsrlərdə tətbiq edilmişdir.

İtalyan alimi Bonaventura Kavalieri 1635-ci ildə yazdığı "Həndəsə" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadamratione promota) əsərində piramidanın həcmini tapmaq üçün yeni prinsip təklif etdi və riyaziyyat və fizikanın gələcək inkişafının əsasını qoydu. 300 il sonra. Prinsip ondan ibarətdir ki, iki cismin hər hansı bir müstəviyə paralel olan hər hansı bir müstəvi ilə kəsişməsində, kəsişmə sahələri bərabərdirsə, bu cisimlərin həcmləri də bərabərdir.

Maraqlıdır ki, 19-cu əsrə qədər üçölçülü cisimlərin həcmləri üçün dəqiq təriflər yox idi və onlar yalnız 1887-ci ildə Cüzeppe Peano və 1892-ci ildə Mari Enmond Camille Jordan tərəfindən tərtib edilmişdir. SI sisteminə görə, kubmetr həcmin əsas ölçü vahidi oldu və bütün digər vahidlər (unsiya, fut, barel, buşel) alternativ olaraq qaldı.

3D həndəsə 20-ci əsrdə abstraksionizmin inkişafı ilə xüsusi maraq doğurdu. 1966-cı ildə fotoqraf Çarlz F. Cochran özünün məşhur “dəli qutusu” daxili xarici kub şəklini yaratdı, bundan sonra kubik qar dənəcikləri, üzən, təkrarlanan, iki mərtəbəli kublar və daha çoxu qeyri-mümkün 3D formalar siyahısına daxil oldu. Müasir 3D sənəti də həcmi tapmaq üçün ümumi qəbul edilmiş düsturlardan istifadə etmədən mümkün deyil, kompüter tərəfindən hesablansa da, əsrlər əvvəl yaradılmışdır.

Həcmi necə hesablamaq olar (həcm düsturları)

Əgər perimetri hesablamaq üçün sütuna bir neçə ədəd əlavə etmək kifayətdirsə, onda həcmi müəyyən etmək üçün mühəndis kalkulyatoru və ya xüsusi onlayn proqram tələb oluna bilər. Bu, bütün əsas üçölçülü fiqurlara aiddir: kub, prizma, top, paralelepiped, konus, silindr, tetraedr və piramida.

Kub

Kubun bütün üzləri eyni uzunluqda və bütün bucaqları 90 dərəcə olduğundan, bu rəqəmin həcminin hesablanması elementardır. Onun üçün bir naməlum düsturdan istifadə etmək kifayətdir:

V = a³.

Müvafiq olaraq, V kubun həcmi, a onun üzünün uzunluğudur. Həcm vahidləri standartdır: metr, desimetr, santimetr, millimetr və s.

Prizma

Bu həndəsi fiqur iki tərəfi forma və sahə baxımından eyni olan və paralel müstəvilərdə olan çoxüzlüdür. Və onların arasında əsaslara ciddi şəkildə dik olan düzbucaqlılar var. Sonuncu hər hansı çoxbucaqlı formaya malik ola bilər: üçbucaq, beşbucaqlı, altıbucaqlı. İstənilən halda həcmi müəyyən etmək üçün düstur eyni görünür:

V = Sₒ ⋅ h.

İfadədə h prizmanın hündürlüyü, Sₒ isə əsasının sahəsidir. Sonuncu, istər üçbucaq, istər romb, istərsə də trapesiya olsun, bu xüsusi rəqəmə uyğun düstura görə hesablanır.

Parallepiped

Bu rəqəm prizmanın növlərindən biridir, lakin əgər sonuncunun üzləri əsaslara ciddi şəkildə perpendikulyardırsa, onda birincisinin əyri olanları ola bilər - 90 dərəcədən başqa açılarla. Bununla belə, qutunun həcmini hesablamaq üçün düstur eyni görünür:

V = Sₒ ⋅ h.

Hündürlüyü h yuxarı təməlin küncündən perpendikulyar olaraq aşağıya doğru çəkilir və əyilmiş kənarları ilə alt bazanın küncü ilə üst-üstə düşmür. Qutu düzbucaqlıdırsa, həcm tərəflərin hasili kimi hesablanır:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Müvafiq olaraq, a və b bazanın tərəflərinin uzunluqları, h qutunun hündürlüyüdür. Bu halda hündürlük yan kənarların hər hansı biri ilə tamamilə üst-üstə düşür.

Piramida

Hesablanması daha çətin olan, çoxbucaqlı əsas və üçbucaqlı üzlərdən ibarət olan, sayı əsasın tərəflərinin sayına bərabər olan rəqəm. Əgər bu üçbucaqdırsa, 3 üz, kvadrat 4 olarsa, altıbucaqlı 6 olarsa. Bütün yan üzlərin ümumi təpəsi var və həcm universal düsturla hesablanır:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Əvvəlki düsturlarda olduğu kimi, Sₒ bazanın sahəsi, h rəqəmin hündürlüyüdür. Baza dəyişdirilərkən ifadə dəyişmir və bütün piramida növləri üçün eynidir.

Daimi tetraedr

Bu rəqəmin kənarlarındakı bütün dihedral bucaqlar bərabərdir və üzlər əsas daxil olmaqla bərabərtərəfli üçbucaqlardır. Beləliklə, müntəzəm tetraedri dörd eyni tərəfi olan üçbucaqlı piramida adlandırmaq olar. Onun həcmi düsturla hesablanır:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

İfadədə yalnız bir naməlum var - a, müntəzəm tetraedrin kənarının uzunluğuna uyğundur. İçindəki bütün kənarlar eynidir, ona görə də kublar etmək, sonra kökə vurmaq və 12-yə bölmək kifayətdir.

Silindr

Bu həndəsi fiqur diametrləri eyni və bir-birinə paralel olan iki dairəvi əsasdan ibarətdir. Onlar əsaslara perpendikulyar olan bir davamlı yan səthlə bir-birinə bağlıdır. Sonuncu həm dairələr, həm də ovallarla təmsil oluna bilər. Hər halda, həcmi hesablamaq üçün düsturlar eyni görünür:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

Bu tənliklərdə Sₒ silindrin əsasının sahəsi, h silindrin hündürlüyü, R isə əsasın radiusudur. Birinci düstur yalnız mükəmməl yuvarlaq bazaya malik silindrlər üçün uyğundur, ikinci düstur isə oval və elliptik daxil olmaqla bütün silindrlər üçün uyğundur.

Konus

Digər ümumi 3D forması dəyirmi əsası və iti zirvəsi olan konusdur. Onun həcmini hesablamaq üçün iki riyazi düsturdan birini istifadə edə bilərsiniz:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Birincisi yalnız dəyirmi əsaslı konuslar üçün uyğundur, ikincisi isə universaldır və oval və ellipsoid əsasları olan rəqəmləri hesablamaq üçün istifadə edilə bilər. Düsturlarda qeyd standartdır: Sₒ əsasın sahəsi, R əsasın radiusu, h konusun hündürlüyü.

Top

Nəhayət, kürənin həcmini hesablamaq üçün sizə yalnız sabit π (3,14-ə bərabərdir...) və onun radiusu lazımdır:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Müvafiq olaraq, R topun radiusudur və bu rəqəmin həcmini müəyyən etmək üçün kifayətdir.

Vaxt itirməmək və mürəkkəb hesablamalar üzərində baş sındırmamaq üçün siz kökləri və dərəcələri olan düyməli (və ya proqram təminatı) mühəndislik kalkulyatorundan və ya üçölçülü fiqurların xüsusiyyətlərini daxil etmək üçün boş sahələri olan xüsusi onlayn kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz. .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Həcm kalkulyatoru