Калкулатор за обем

Обемът е една от най-важните геометрични характеристики: заедно с периметъра и площта на фигурите. Но може да се приложи само към триизмерни тела, които се характеризират не само с дължина и ширина, но и с височина/дебелина.

Сфери, кубове, цилиндри, пирамиди, конуси, паралелепипеди - всичко това са триизмерни фигури, чието изчисление се извършва по специални формули, много от които са открити от учените преди нашата ера.

Исторически контекст

Древен Египет и Вавилон

Първите доказателства за използването на триизмерни фигури се отнасят до Древен Египет или по-скоро до неговото строителство и архитектура. Така величествени пирамидални структури не биха могли да бъдат построени без познаване на основните принципи за определяне на масата и обема. Това означава, че древните египтяни поне са можели да изчислят обема на кубове, призми и пирамиди.

Ярък пример е гробницата на фараона Хеопс, висока 147 метра, която има идеална геометрична форма на пирамида. Невъзможно е да се сглоби от отделни тухли и блокове по такъв начин, че да стои повече от 4500 години; това изисква високоточни математически и инженерни изчисления.

Няма документални доказателства, че древните египтяни и вавилонци са използвали специфични формули за изчисляване на обема и може би те са били използвани само в графична и устна форма - следвайки отделни принципи, а не ясно формулирани правила.

От древен Вавилон до нас са достигнали само глинени плочки, които описват правилата за изчисляване на пресечена (не пълна) пирамида, но те не биха били достатъчни за изграждането на обекти от такъв мащаб. Известно е, че много древни цивилизации са изчислявали обема на елементарни фигури чрез умножаване на площта на основата им по височина, но това не е приложимо за такива обекти като конуси, пирамиди, тетраедри. Въпреки че често се срещат в древната архитектура и имат добре дефинирани пропорции.

Древна Гърция

Принципите за намиране на обеми са по-ясно формулирани в Древна Гърция - от 5-ти до 2-ри век пр.н.е. Евклид въвежда понятието куб, което едновременно означава както обема на едноименната фигура, така и повдигането на число на 3-та степен. А Демокрит през V в. пр. н. е. за първи път формулира правило за намиране на обема на пирамида, който според неговите изследвания винаги е равен на 1/3 от обема на призма със същата височина и с база.

В периода от 6-ти до 2-ри век пр. н. е. древногръцките математици също са се научили да изчисляват обема на призми, цилиндри и конуси, използвайки вече откритото число "пи", което е необходимо за изчисляване на всички кръгли фигури. Изследванията на Архимед са в основата на интегралния метод на смятане и той смята, че основното му откритие е формулата, според която обемът на топка винаги е 2/3 по-малък от обема на цилиндъра, описан около нея. В допълнение към Архимед, Демокрит и Евдокс от Книд също имат голям принос в изучаването на геометрията.

Ново време

По време на Античността са изведени всички основни формули за изчисляване на триизмерни фигури, а Средновековието не дава нито едно фундаментално ново откритие в тази област - с изключение на индийските изследователи (главно Брахмагупта), които създават няколко геометрични правила през 6-7 век с добавяне на нова стойност - полупериметъра. Фундаментално нов подход е приложен едва в ново време - през XVI-XVII век.

В своя труд „Геометрия“ (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) от 1635 г. италианският учен Бонавентура Кавалиери предлага нов принцип за намиране на обема на пирамида и полага основите за по-нататъшното развитие на математиката и физиката за 300 години напред. Принципът е, че ако в пресечната точка на две тела с която и да е равнина, успоредна на дадена равнина, площите на напречните сечения са равни, обемите на тези тела също са равни.

Заслужава да се отбележи, че до 19 век не е имало точни дефиниции за обемите на триизмерните тела и те са формулирани едва през 1887 г. от Джузепе Пеано и през 1892 г. от Мари Енмонд Камий Жордан. Според системата SI кубичният метър става основна единица за измерване на обема, а всички останали единици (унции, футове, барели, бушели) остават като алтернативни.

3D геометрията предизвика особен интерес през 20-ти век с развитието на абстракционизма. През 1966 г. фотографът Чарлз Ф. Кокран създава известната си снимка от „луда кутия“ на обърнат отвътре навън куб, след което кубични снежинки, плаващи, повтарящи се, двуетажни кубове и други влизат в списъка с невъзможни 3D форми. Съвременното 3D изкуство също е невъзможно без използването на общоприети формули за намиране на обем, които, макар и изчислени от компютър, са създадени преди много векове.

Ако е достатъчно да добавите няколко числа в колона, за да изчислите периметъра, тогава може да е необходим инженерен калкулатор или специално онлайн приложение за определяне на обема. Това се отнася за всички основни триизмерни фигури: куб, призма, топка, паралелепипед, конус, цилиндър, тетраедър и пирамида.

Куб

Тъй като всички лица на куб са с еднаква дължина и всички ъгли са 90 градуса, изчисляването на обема на тази фигура е елементарно. За него е достатъчно да използва формула с едно неизвестно:

V = a³.

Съответно V е обемът на куба, а е дължината на лицето му. Единиците за обем са стандартни: метър, дециметър, сантиметър, милиметър и т.н.

Призма

Тази геометрична фигура е многостен, чиито две страни са еднакви по форма и площ и са в успоредни равнини. И между тях има правоъгълници, строго перпендикулярни на основите. Последният може да има всякаква полиедрична форма: триъгълник, петоъгълник, шестоъгълник. Формулата за определяне на обема във всеки случай изглежда една и съща:

V = Sₒ ⋅ h.

В израза h е височината на призмата, а Sₒ е площта на нейната основа. Последният се изчислява по формулата, съответстваща на тази конкретна фигура, независимо дали е триъгълник, ромб, трапец.

Паралепипед

Тази фигура е една от разновидностите на призма, но ако лицата на последната са строго перпендикулярни на основите, тогава първата може да има скосени - с ъгли, различни от 90 градуса. Формулата за изчисляване на обема на кутия обаче изглежда по същия начин:

V = Sₒ ⋅ h.

Височината h е изчертана от ъгъла на горната основа перпендикулярно надолу и със скосени ръбове не съвпада с ъгъла на долната основа. Ако кутията е правоъгълна, обемът се изчислява като произведението на страните:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Съответно a и b са дължините на страните на основата, h е височината на кутията. В този случай височината напълно съвпада с някой от страничните ръбове.

Пирамида

Фигура, по-трудна за изчисляване, състояща се от многоъгълна основа и триъгълни лица, чийто брой е равен на броя на страните на основата. Ако е триъгълник, има 3 лица, ако квадрат е 4, ако е шестоъгълник е 6. Всички странични лица имат общ връх, а обемът се изчислява по универсалната формула:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Както в предишните формули, Sₒ е площта на основата, h е височината на фигурата. Изразът не се променя при промяна на основата и е еднакъв за всички разновидности на пирамидите.

Правилен тетраедър

Всички двустенни ъгли в ръбовете на тази фигура са равни, а лицата са равностранни триъгълници, включително основата. По този начин правилният тетраедър може да се нарече триъгълна пирамида с четири еднакви страни. Обемът му се изчислява по формулата:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

В израза има само едно неизвестно - a, съответстващо на дължината на ръба на правилен тетраедър. Всички ръбове в него са еднакви, така че е достатъчно да се кубира, след това да се умножи по корена и да се раздели на 12.

Цилиндър

Тази геометрична фигура се състои от две кръгли основи с еднакъв диаметър и успоредни една на друга. Те са свързани помежду си с една непрекъсната странична повърхност, перпендикулярна на основите. Последните могат да бъдат представени както с кръгове, така и с овали. Във всеки случай формулите за изчисляване на обема изглеждат еднакви:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

В тези уравнения Sₒ е площта на основата на цилиндъра, h е височината на цилиндъра и R е радиусът на основата. Първата формула е подходяща само за цилиндри с перфектна кръгла основа, а втората формула е подходяща за всички цилиндри, включително овални и елипсовидни.

Конус

Друга често срещана 3D форма е конусът с кръгла основа и остър връх. За да изчислите неговия обем, можете да използвате една от двете математически формули:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Първият е подходящ само за конуси с кръгла основа, а вторият е универсален и може да се използва за изчисляване на фигури с овални и елипсовидни основи. Означенията във формулите са стандартни: Sₒ е площта на основата, R е радиусът на основата, h е височината на конуса.

Топка

Накрая, за да изчислите обема на една сфера, имате нужда само от константата π (равна на 3,14...) и нейния радиус:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Съответно R е радиусът на топката, който е достатъчен за определяне на обема на тази фигура.

За да не губите време и да се озадачавате със сложни изчисления, можете да използвате бутонен (или софтуерен) инженерен калкулатор с корени и градуси или специален онлайн калкулатор с празни полета за въвеждане на характеристиките на триизмерни фигури .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Калкулатор за обем