ভলিউম ক্যালকুলেটর

ভলিউম হল সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি: পরিসংখ্যানের পরিধি এবং ক্ষেত্রফলের সাথে। তবে এটি শুধুমাত্র ত্রিমাত্রিক সংস্থাগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে, যা শুধুমাত্র দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ দ্বারা নয়, উচ্চতা/বেধ দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়৷

গোলক, ঘনক, সিলিন্ডার, পিরামিড, শঙ্কু, সমান্তরাল পাইপড - এগুলি সবই ত্রিমাত্রিক পরিসংখ্যান, যার গণনা বিশেষ সূত্র অনুসারে করা হয়, যার অনেকগুলি আমাদের যুগের আগে বিজ্ঞানীরা আবিষ্কার করেছিলেন।

ঐতিহাসিক পটভূমি

প্রাচীন মিশর এবং ব্যাবিলন

ত্রিমাত্রিক চিত্র ব্যবহারের প্রথম প্রমাণ প্রাচীন মিশরকে বোঝায়, বা বরং, এর নির্মাণ এবং স্থাপত্যকে বোঝায়। সুতরাং, ভর এবং আয়তন নির্ধারণের জন্য মৌলিক নীতিগুলি না জেনে রাজকীয় পিরামিডাল কাঠামো তৈরি করা যায় না। এর মানে হল যে প্রাচীন মিশরীয়রা অন্তত কিউব, প্রিজম এবং পিরামিডের আয়তন গণনা করতে পারত।

একটি প্রাণবন্ত উদাহরণ হল ফারাও চিওপসের সমাধি, 147 মিটার উঁচু, যেটির একটি পিরামিডের আদর্শ জ্যামিতিক আকৃতি রয়েছে। এটিকে পৃথক ইট এবং ব্লক থেকে এমনভাবে একত্রিত করা অসম্ভব যে এটি 4500 বছরেরও বেশি সময় ধরে দাঁড়িয়ে আছে; এর জন্য উচ্চ-নির্ভুল গাণিতিক এবং প্রকৌশল গণনার প্রয়োজন।

প্রাচীন মিশরীয় এবং ব্যাবিলনীয়রা ভলিউম গণনা করার জন্য নির্দিষ্ট সূত্র ব্যবহার করত এমন কোন প্রামাণ্য প্রমাণ নেই এবং সম্ভবত সেগুলি শুধুমাত্র গ্রাফিক এবং মৌখিক আকারে ব্যবহার করা হয়েছিল - পৃথক নীতি অনুসরণ করে, স্পষ্টভাবে প্রণয়ন করা নিয়ম নয়।

প্রাচীন ব্যাবিলন থেকে, শুধুমাত্র মাটির ট্যাবলেটগুলি আমাদের কাছে এসেছে, যা একটি কাটা (সম্পূর্ণ নয়) পিরামিড গণনা করার নিয়মগুলি বর্ণনা করে, কিন্তু তারা এই ধরনের স্কেলের বস্তু নির্মাণের জন্য যথেষ্ট হবে না। এটা জানা যায় যে অনেক প্রাচীন সভ্যতা প্রাথমিক পরিসংখ্যানের আয়তনকে তাদের ভিত্তির ক্ষেত্রফলকে উচ্চতা দ্বারা গুণ করে গণনা করেছিল, তবে এটি শঙ্কু, পিরামিড, টেট্রাহেড্রার মতো বস্তুর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। যদিও এগুলি প্রায়শই প্রাচীন স্থাপত্যে পাওয়া যায় এবং ভালভাবে সংজ্ঞায়িত অনুপাত রয়েছে৷

প্রাচীন গ্রীস

প্রাচীন গ্রীসে খ্রিস্টপূর্ব ৫ম থেকে ২য় শতাব্দী পর্যন্ত খণ্ড খোঁজার নীতিগুলি আরও স্পষ্টভাবে প্রণয়ন করা হয়েছিল। ইউক্লিড একটি ঘনক ধারণার প্রবর্তন করেন, যার অর্থ একই নামের চিত্রের আয়তন এবং একটি সংখ্যাকে 3য় ঘাতে উন্নীত করা। এবং ডেমোক্রিটাস খ্রিস্টপূর্ব 5 ম শতাব্দীতে প্রথমবারের মতো একটি পিরামিডের আয়তন খুঁজে বের করার জন্য একটি নিয়ম তৈরি করেছিলেন, যা তার গবেষণা অনুসারে, একই উচ্চতার প্রিজমের আয়তনের 1/3 সমান এবং একই সাথে ভিত্তি

খ্রিস্টপূর্ব 6 থেকে 2 য় শতাব্দীর সময়কালে, প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদরাও ইতিমধ্যে আবিষ্কৃত সংখ্যা "পাই" ব্যবহার করে প্রিজম, সিলিন্ডার এবং শঙ্কুর আয়তন গণনা করতে শিখেছিলেন, যা সমস্ত বৃত্তাকার পরিসংখ্যান গণনার জন্য প্রয়োজনীয়। আর্কিমিডিসের গবেষণা ক্যালকুলাসের অবিচ্ছেদ্য পদ্ধতির ভিত্তি তৈরি করেছিল এবং তিনি তার প্রধান আবিষ্কারটিকে সূত্র হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন যে অনুসারে একটি বলের আয়তন সর্বদা তার চারপাশে বর্ণিত সিলিন্ডারের আয়তনের থেকে 2/3 কম। আর্কিমিডিস ছাড়াও, ডেমোক্রিটাস এবং সিনিডাসের ইউডক্সাসও জ্যামিতি অধ্যয়নে বিরাট অবদান রেখেছিলেন।

নতুন সময়

প্রাচীনকালের সময়, ত্রিমাত্রিক পরিসংখ্যান গণনার জন্য সমস্ত মৌলিক সূত্রগুলি উদ্ভূত হয়েছিল, এবং মধ্যযুগ এই অঞ্চলে একটি মৌলিকভাবে নতুন আবিষ্কার দেয়নি - ভারতীয় গবেষকদের (প্রধানত ব্রহ্মগুপ্ত) বাদ দিয়ে, যিনি বেশ কয়েকটি জ্যামিতিক তৈরি করেছিলেন। একটি নতুন মান যোগ করার সাথে 6 ম-7 ম শতাব্দীতে নিয়ম - আধা-ঘের। একটি মৌলিকভাবে নতুন পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়েছিল শুধুমাত্র আধুনিক সময়ে - XVI-XVII শতাব্দীতে৷

1635 সালের তার রচনা "জ্যামিতি" (জিওমেট্রিয়া ইনডিভিসিবিলিবুস কন্টিনিউরাম নোভা কোয়াডাম রাশান প্রোমোটা) তে, ইতালীয় বিজ্ঞানী বোনাভেনতুরা ক্যাভালিরি একটি পিরামিডের আয়তন খুঁজে বের করার জন্য একটি নতুন নীতির প্রস্তাব করেছিলেন এবং গণিত ও গণিতের আরও বিকাশের ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন। আগামী 300 বছরের জন্য। নীতিটি হল যে কোনও নির্দিষ্ট সমতলের সমান্তরাল কোনও সমতল দ্বারা দুটি দেহের সংযোগস্থলে, ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চলগুলি সমান হয়, এই দেহগুলির আয়তনও সমান হয়৷

এটি লক্ষণীয় যে 19 শতক পর্যন্ত ত্রিমাত্রিক দেহের আয়তনের জন্য কোন সঠিক সংজ্ঞা ছিল না এবং সেগুলি শুধুমাত্র 1887 সালে জুসেপ্পে পিয়ানো এবং 1892 সালে মেরি এনমন্ড ক্যামিল জর্ডান প্রণয়ন করেছিলেন। এসআই পদ্ধতি অনুসারে, ঘনমিটার আয়তন পরিমাপের প্রধান একক হয়ে ওঠে এবং অন্যান্য সমস্ত একক (আউন্স, ফুট, ব্যারেল, বুশেল) বিকল্প হিসাবে থেকে যায়।

বিমূর্ততাবাদের বিকাশের সাথে 20 শতকে 3D জ্যামিতি বিশেষ আগ্রহ জাগিয়েছিল। 1966 সালে, ফটোগ্রাফার চার্লস এফ. কোচরান একটি অভ্যন্তরীণ-আউট কিউবের তার বিখ্যাত "ক্রেজি বক্স" ছবি তৈরি করেছিলেন, যার পরে কিউবিক স্নোফ্লেক্স, ভাসমান, পুনরাবৃত্তি, দ্বিতল কিউব এবং আরও অনেক কিছু অসম্ভব 3D আকারের তালিকায় প্রবেশ করেছিল। ভলিউম খোঁজার জন্য সাধারণভাবে গৃহীত সূত্রগুলি ব্যবহার না করে আধুনিক 3D শিল্পও অসম্ভব, যা কম্পিউটার দ্বারা গণনা করা হলেও বহু শতাব্দী আগে তৈরি করা হয়েছিল৷

পরিধি গণনা করার জন্য যদি একটি কলামে বেশ কয়েকটি সংখ্যা যোগ করা যথেষ্ট হয়, তাহলে ভলিউম নির্ধারণের জন্য একটি ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর বা একটি বিশেষ অনলাইন অ্যাপ্লিকেশনের প্রয়োজন হতে পারে। এটি সমস্ত মৌলিক ত্রিমাত্রিক চিত্রের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য: ঘনক্ষেত্র, প্রিজম, বল, সমান্তরাল পাইপড, শঙ্কু, সিলিন্ডার, টেট্রাহেড্রন এবং পিরামিড৷

কিউব

যেহেতু একটি ঘনকের সমস্ত মুখ একই দৈর্ঘ্যের এবং সমস্ত কোণ 90 ডিগ্রি, তাই এই চিত্রটির আয়তনের গণনা প্রাথমিক। তার জন্য, একটি অজানা সহ একটি সূত্র ব্যবহার করাই যথেষ্ট:

V = a³।

তদনুসারে, V হল ঘনকের আয়তন, a হল এর মুখের দৈর্ঘ্য। আয়তনের একক মানক: মিটার, ডেসিমিটার, সেন্টিমিটার, মিলিমিটার ইত্যাদি।

প্রিজম

এই জ্যামিতিক চিত্রটি একটি পলিহেড্রন, যার দুটি বাহু আকৃতি এবং ক্ষেত্রফল একই এবং সমান্তরাল সমতলে রয়েছে। এবং তাদের মধ্যে আয়তক্ষেত্রগুলি বেসগুলির সাথে কঠোরভাবে লম্ব। পরেরটির যেকোন পলিহেড্রাল আকৃতি থাকতে পারে: ত্রিভুজ, পঞ্চভুজ, ষড়ভুজ। যেকোনো ক্ষেত্রে ভলিউম নির্ধারণের সূত্রটি একই দেখায়:

V = Sₒ ⋅ h.

অভিব্যক্তিতে, h হল প্রিজমের উচ্চতা, এবং Sₒ হল এর ভিত্তির ক্ষেত্রফল। পরবর্তীটি এই নির্দিষ্ট চিত্রের সাথে সম্পর্কিত সূত্র অনুসারে গণনা করা হয়, এটি একটি ত্রিভুজ, একটি রম্বস, একটি ট্র্যাপিজয়েড হোক।

সমান্তরাল পাইপড

এই চিত্রটি একটি প্রিজমের বৈচিত্র্যের মধ্যে একটি, কিন্তু যদি পরেরটির মুখগুলি বেসগুলির সাথে কঠোরভাবে লম্ব হয়, তবে প্রথমটির বেভেল করা হতে পারে - 90 ডিগ্রি ছাড়া অন্য কোণ সহ। যাইহোক, একটি বাক্সের আয়তন গণনা করার সূত্রটি একই দেখায়:

V = Sₒ ⋅ h.

উচ্চতা h উপরের বেসের কোণ থেকে লম্বভাবে নীচের দিকে আঁকা হয় এবং বেভেলড প্রান্তগুলি নীচের ভিত্তির কোণের সাথে মিলে না। বাক্সটি আয়তক্ষেত্রাকার হলে, ভলিউমটি বাহুর গুণফল হিসাবে গণনা করা হয়:

V = a ⋅ b ⋅ h.

তদনুসারে, a এবং b হল বেসের বাহুর দৈর্ঘ্য, h হল বাক্সের উচ্চতা। এই ক্ষেত্রে, উচ্চতা সম্পূর্ণভাবে পাশের প্রান্তগুলির সাথে মিলে যায়৷

পিরামিড

একটি চিত্র গণনা করা আরও কঠিন, একটি বহুভুজ ভিত্তি এবং ত্রিভুজাকার মুখ সমন্বিত, যার সংখ্যা বেসের বাহুর সংখ্যার সমান। যদি এটি একটি ত্রিভুজ হয়, 3টি মুখ আছে, যদি একটি বর্গক্ষেত্র হয় 4, যদি একটি ষড়ভুজ 6 হয়। সমস্ত পাশের মুখগুলির একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু থাকে এবং সর্বজনীন সূত্র ব্যবহার করে আয়তন গণনা করা হয়:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

আগের সূত্রগুলির মতো, Sₒ হল বেসের ক্ষেত্রফল, h হল চিত্রের উচ্চতা। বেস পরিবর্তন করার সময় অভিব্যক্তি পরিবর্তিত হয় না, এবং পিরামিডের সকল প্রকারের জন্য একই।

নিয়মিত টেট্রাহেড্রন

এই চিত্রটির প্রান্তে সমস্ত দ্বিমুখী কোণ সমান, এবং মুখগুলি সমবাহু ত্রিভুজ, বেস সহ। সুতরাং, একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনকে চারটি অভিন্ন বাহু সহ একটি ত্রিভুজাকার পিরামিড বলা যেতে পারে। এর আয়তন সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

V = (a³ ⋅ √2) / 12।

অভিব্যক্তিতে শুধুমাত্র একটি অজানা আছে - a, একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের প্রান্তের দৈর্ঘ্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এটির সমস্ত প্রান্ত একই, তাই এটি ঘনক্ষেত্রের জন্য যথেষ্ট, তারপর মূল দ্বারা গুণ করুন এবং 12 দ্বারা ভাগ করুন৷

সিলিন্ডার

এই জ্যামিতিক চিত্রে দুটি বৃত্তাকার ভিত্তি রয়েছে, ব্যাস একই এবং একে অপরের সমান্তরাল। তারা ঘাঁটিগুলির সাথে লম্বভাবে একটি অবিচ্ছিন্ন পার্শ্ব পৃষ্ঠ দ্বারা আন্তঃসংযুক্ত। পরেরটি বৃত্ত এবং ডিম্বাকৃতি উভয় দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। যাই হোক না কেন, ভলিউম গণনা করার সূত্রগুলি একই দেখায়:

V = π ⋅ R² ⋅ h।
V = Sₒ ⋅ h.

এই সমীকরণগুলিতে, Sₒ হল সিলিন্ডারের ভিত্তির ক্ষেত্রফল, h হল সিলিন্ডারের উচ্চতা এবং R হল বেসের ব্যাসার্ধ। প্রথম সূত্রটি শুধুমাত্র নিখুঁত গোলাকার বেস সহ সিলিন্ডারের জন্য উপযুক্ত এবং দ্বিতীয় সূত্রটি ডিম্বাকৃতি এবং উপবৃত্তাকার সহ সমস্ত সিলিন্ডারের জন্য উপযুক্ত৷

শঙ্কু

আরেকটি সাধারণ 3D আকৃতি হল শঙ্কু, একটি গোলাকার ভিত্তি এবং একটি ধারালো শীর্ষ। এর আয়তন গণনা করতে, আপনি দুটি গাণিতিক সূত্রের একটি ব্যবহার করতে পারেন:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h।
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

প্রথমটি শুধুমাত্র গোলাকার বেস সহ শঙ্কুর জন্য উপযুক্ত, এবং দ্বিতীয়টি সর্বজনীন, এবং ডিম্বাকৃতি এবং উপবৃত্তাকার বেস সহ পরিসংখ্যান গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। সূত্রের স্বরলিপি হল মানক: Sₒ হল বেসের ক্ষেত্রফল, R হল বেসের ব্যাসার্ধ, h হল শঙ্কুর উচ্চতা৷

বল

অবশেষে, একটি গোলকের আয়তন গণনা করতে, আপনার শুধুমাত্র ধ্রুবক π (3.14... এর সমান), এবং এর ব্যাসার্ধ প্রয়োজন:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³।

তদনুসারে, R হল বলের ব্যাসার্ধ, যা এই চিত্রের আয়তন নির্ণয় করার জন্য যথেষ্ট।

জটিল গণনার জন্য সময় এবং ধাঁধা নষ্ট না করার জন্য, আপনি রুট এবং ডিগ্রী সহ একটি পুশ-বোতাম (বা সফ্টওয়্যার) ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পারেন, অথবা ত্রিমাত্রিক চিত্রগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি প্রবেশ করার জন্য খালি ক্ষেত্র সহ একটি বিশেষ অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পারেন। .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

ভলিউম ক্যালকুলেটর