Kalkulačka pro výpočet objemu

Objem je jednou z nejdůležitějších geometrických charakteristik: spolu s obvodem a plochou postav. Lze ji ale aplikovat pouze na trojrozměrná tělesa, která se vyznačují nejen délkou a šířkou, ale také výškou/tloušťkou.

Koule, krychle, válce, jehlany, kužely, rovnoběžnostěny - to vše jsou trojrozměrné obrazce, jejichž výpočet se provádí podle speciálních vzorců, z nichž mnohé objevili vědci před naším letopočtem.

Historické pozadí

Starověký Egypt a Babylon

První důkazy o použití trojrozměrných postav se týkají starověkého Egypta, respektive jeho stavby a architektury. Majestátní pyramidové stavby by tedy nebylo možné stavět bez znalosti základních principů pro určování hmotnosti a objemu. To znamená, že přinejmenším staří Egypťané dokázali vypočítat objem krychlí, hranolů a pyramid.

Názorným příkladem je hrobka faraona Cheopse, vysoká 147 metrů, která má ideální geometrický tvar pyramidy. Není možné jej poskládat z jednotlivých cihel a bloků tak, aby stál více než 4500 let; to vyžaduje vysoce přesné matematické a inženýrské výpočty.

Neexistuje žádný dokumentární důkaz o tom, že by staří Egypťané a Babyloňané používali k výpočtu objemu specifické vzorce, a možná je používali pouze v grafické a ústní formě – podle samostatných zásad, nikoli jasně formulovaných pravidel.

Ze starověkého Babylonu se k nám dostaly pouze hliněné tabulky, které popisují pravidla pro výpočet komolé (ne úplné) pyramidy, ale na stavbu objektů takového rozsahu by nestačily. Je známo, že mnoho starověkých civilizací počítalo objem elementárních postav vynásobením plochy jejich základny výškou, ale to neplatí pro takové objekty, jako jsou kužely, pyramidy, čtyřstěny. Ačkoli se často nacházejí ve starověké architektuře a mají přesně definované proporce.

Starověké Řecko

Zásady hledání svazků byly jasněji formulovány ve starověkém Řecku - od 5. do 2. století před naším letopočtem. Euklides zavádí pojem krychle, což současně znamená jak objem stejnojmenné figury, tak zvýšení čísla na 3. mocninu. A Demokritos v 5. století př. n. l. poprvé formuloval pravidlo pro zjištění objemu pyramidy, který se podle jeho výzkumů vždy rovná 1/3 objemu hranolu o stejné výšce a stejné výšce. základna.

V období od 6. do 2. století př. n. l. se staří řečtí matematici také naučili počítat objem hranolů, válců a kuželů pomocí již objeveného čísla „pí“, které je nezbytné pro výpočet všech kulatých obrazců. Archimédův výzkum vytvořil základ integrální metody počtu a za svůj hlavní objev považoval vzorec, podle kterého je objem koule vždy o 2/3 menší než objem válce popsaného kolem ní. Kromě Archiméda významně přispěli ke studiu geometrie také Demokritos a Eudoxos z Knidu.

Nový čas

V antice byly odvozeny všechny základní vzorce pro výpočet trojrozměrných obrazců a středověk nepřinesl v této oblasti jediný zásadně nový objev - s výjimkou indických badatelů (hlavně Brahmagupta), kteří vytvořili několik geometrických pravidla v 6.-7. století s přidáním nové hodnoty - poloobvodu. Zásadně nový přístup byl aplikován až v moderní době - v XVI.-XVII. století.

Italský vědec Bonaventura Cavalieri ve svém díle „Geometrie“ (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) z roku 1635 navrhl nový princip pro zjištění objemu pyramidy a položil základ pro další rozvoj matematiky a fyziky. na 300 let dopředu. Princip je takový, že pokud jsou v průsečíku dvou těles jakoukoliv rovinou rovnoběžnou s nějakou danou rovinou plochy průřezu stejné, jsou si rovny i objemy těchto těles.

Je pozoruhodné, že až do 19. století neexistovaly přesné definice objemů trojrozměrných těles a byly formulovány až v roce 1887 Giuseppe Peano a v roce 1892 Marie Enmond Camille Jordan. Podle soustavy SI se metr krychlový stal hlavní jednotkou měření objemu a všechny ostatní jednotky (unce, stopy, sudy, bušly) zůstaly jako alternativní.

3D geometrie vzbudila zvláštní zájem ve 20. století s rozvojem abstrakcionismu. V roce 1966 vytvořil fotograf Charles F. Cochran svou slavnou fotografii „crazy box“ s krychlí obrácenou naruby, po níž se na seznam nemožných 3D tvarů dostaly kubické sněhové vločky, plovoucí, opakující se, dvoupatrové kostky a další. Moderní 3D umění je také nemožné bez použití obecně uznávaných vzorců pro zjišťování objemu, které, přestože byly počítány počítačem, byly vytvořeny před mnoha staletími.

Jak zjistit objem (vzorce pro objem)

Pokud k výpočtu obvodu stačí přidat několik čísel do sloupce, může být k určení objemu zapotřebí technický kalkulátor nebo speciální online aplikace. To platí pro všechny základní trojrozměrné obrazce: krychle, hranol, koule, rovnoběžnostěn, kužel, válec, čtyřstěn a jehlan.

Krychle

Protože všechny plochy krychle jsou stejně dlouhé a všechny úhly mají 90 stupňů, je výpočet objemu tohoto obrazce základní. Pro něj stačí použít vzorec s jednou neznámou:

V = a³.

V souladu s tím je V objem krychle, a je délka její plochy. Jednotky objemu jsou standardní: metr, decimetr, centimetr, milimetr atd.

Prisma

Tento geometrický obrazec je mnohostěn, jehož dvě strany mají stejný tvar a plochu a jsou v rovnoběžných rovinách. A mezi nimi jsou obdélníky přísně kolmé k základnám. Ten může mít jakýkoli polyedrický tvar: trojúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník. Vzorec pro určení objemu v každém případě vypadá stejně:

V = Sₒ ⋅ h.

Ve výrazu je h výška hranolu a Sₒ je plocha jeho základny. Ten se vypočítá podle vzorce odpovídajícímu tomuto konkrétnímu obrázku, ať už jde o trojúhelník, kosočtverec nebo lichoběžník.

Parallepiped

Tento obrazec je jednou z variant hranolu, ale pokud jsou jeho strany přísně kolmé k základnám, pak první může mít zkosené - s úhly jinými než 90 stupňů. Vzorec pro výpočet objemu krabice však vypadá stejně:

V = Sₒ ⋅ h.

Výška h se kreslí od rohu horní základny kolmo dolů a se zkosenými hranami se nekryje s rohem spodní základny. Pokud je krabice obdélníková, objem se vypočítá jako součin stran:

V = a ⋅ b ⋅ h.

V souladu s tím jsou aab délky stran základny, h je výška krabice. V tomto případě se výška zcela shoduje s kteroukoli z bočních hran.

Pyramida

Počet obtížněji vypočítatelný, sestávající z polygonální základny a trojúhelníkových ploch, jejichž počet se rovná počtu stran základny. Pokud je to trojúhelník, jsou to 3 plochy, pokud je čtverec 4, pokud je šestiúhelník 6. Všechny boční plochy mají společný vrchol a objem se vypočítá pomocí univerzálního vzorce:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Stejně jako v předchozích vzorcích je Sₒ plocha základny, h je výška postavy. Výraz se při změně základny nemění a je stejný pro všechny druhy pyramid.

Pravidelný čtyřstěn

Tento obrázek má všechny úhly na hranách stejné a plochy jsou rovnostranné trojúhelníky, včetně základny. Pravidelný čtyřstěn tedy můžeme nazvat trojúhelníkovým jehlanem se čtyřmi stejnými stranami. Jeho objem se vypočítá podle vzorce:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Ve výrazu je pouze jedna neznámá - a, která odpovídá délce hrany pravidelného čtyřstěnu. Všechny hrany v něm jsou stejné, takže stačí krychlit, pak vynásobit odmocninou a vydělit 12.

Válec

Tento geometrický obrazec se skládá ze dvou kulatých podstav, které mají stejný průměr a jsou vzájemně rovnoběžné. Jsou vzájemně spojeny jednou souvislou boční plochou kolmou k podstavám. Ten může být reprezentován jak kruhy, tak ovály. V každém případě vzorce pro výpočet objemu vypadají stejně:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

V těchto rovnicích je Sₒ plocha základny válce, h je výška válce a R je poloměr základny. První složení je vhodné pouze pro válce s dokonalou kulatou základnou a druhé složení je vhodné pro všechny válce, včetně oválných a eliptických.

Kužel

Dalším běžným 3D tvarem je kužel s kulatou základnou a ostrým vrcholem. Pro výpočet jeho objemu můžete použít jeden ze dvou matematických vzorců:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

První je vhodný pouze pro kužely s kulatou základnou a druhý je univerzální a lze jej použít k výpočtu obrazců s oválnou a elipsoidní základnou. Zápis ve vzorcích je standardní: Sₒ je plocha základny, R je poloměr základny, h je výška kužele.

Míč

K výpočtu objemu koule potřebujete pouze konstantu π (rovná se 3,14...) a její poloměr:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

V souladu s tím je R poloměr koule, který je dostatečný k určení objemu tohoto obrazce.

Abyste neztráceli čas a nelámali si hlavu nad složitými výpočty, můžete použít tlačítkovou (nebo softwarovou) inženýrskou kalkulačku s kořeny a stupni nebo speciální online kalkulačku s prázdnými poli pro zadávání charakteristik trojrozměrných obrazců. .

Kalkulačka pro výpočet objemu

Ostatní nástroje