Rumfangsberegner

Volumen er en af de vigtigste geometriske egenskaber: sammen med figurernes omkreds og areal. Men det kan kun anvendes på tredimensionelle kroppe, som ikke kun er karakteriseret ved længde og bredde, men også af højde/tykkelse.

Sfærer, terninger, cylindre, pyramider, kegler, parallelepipeder - alle disse er tredimensionelle figurer, hvis beregning udføres i henhold til specielle formler, hvoraf mange blev opdaget af videnskabsmænd før vores æra.

Historisk baggrund

Det gamle Egypten og Babylon

Det første bevis på brugen af tredimensionelle figurer refererer til det gamle Egypten, eller rettere, til dets konstruktion og arkitektur. Majestætiske pyramideformede strukturer kunne således ikke bygges uden at kende de grundlæggende principper for bestemmelse af masse og volumen. Det betyder, at de gamle egyptere i det mindste kunne beregne rumfanget af terninger, prismer og pyramider.

Et levende eksempel er Farao Cheops' grav, 147 meter høj, som har en ideel geometrisk form som en pyramide. Det er umuligt at sætte det sammen fra individuelle mursten og blokke på en sådan måde, at det har stået i mere end 4500 år; dette kræver højpræcise matematiske og tekniske beregninger.

Der er ingen dokumentation for, at de gamle egyptere og babyloniere brugte specifikke formler til at beregne volumen, og måske blev de kun brugt i grafisk og mundtlig form - efter separate principper, ikke klart formulerede regler.

Fra oldtidens Babylon er der kun kommet lertavler ned til os, som beskriver reglerne for beregning af en afkortet (ikke komplet) pyramide, men de ville ikke være nok til at bygge objekter i en sådan skala. Det er kendt, at mange gamle civilisationer beregnede volumenet af elementære figurer ved at multiplicere arealet af deres base med højden, men dette gælder ikke for objekter som kegler, pyramider, tetraedre. Selvom de ofte findes i gammel arkitektur og har veldefinerede proportioner.

Det antikke Grækenland

Principperne for at finde bind blev mere klart formuleret i det antikke Grækenland - fra det 5. til det 2. århundrede f.Kr. Euklid introducerer begrebet en terning, som samtidig betyder både volumen af figuren af samme navn og hævning af et tal til 3. potens. Og Demokrit i det 5. århundrede f.Kr. formulerede for første gang en regel for at finde rumfanget af en pyramide, som ifølge hans forskning altid er lig med 1/3 af rumfanget af et prisme af samme højde og med det samme grundlag.

I perioden fra det 6. til det 2. århundrede f.Kr. lærte oldgræske matematikere også at beregne rumfanget af prismer, cylindre og kegler ved at bruge det allerede opdagede tal "pi", som er nødvendigt for at beregne alle runde tal. Arkimedes' forskning dannede grundlaget for den integrale beregningsmetode, og han anså sin hovedopdagelse for at være formlen, ifølge hvilken rumfanget af en kugle altid er 2/3 mindre end volumenet af cylinderen beskrevet omkring den. Ud over Arkimedes ydede Democritus og Eudoxus af Cnidus også et stort bidrag til studiet af geometri.

Ny tid

Under antikken blev alle de grundlæggende formler til beregning af tredimensionelle figurer udledt, og middelalderen gav ikke en eneste grundlæggende ny opdagelse på dette område - med undtagelse af indiske forskere (hovedsageligt Brahmagupta), som skabte flere geometriske regler i det 6.-7. århundrede med tilføjelse af en ny værdi - semi-perimeteren. En grundlæggende ny tilgang blev kun anvendt i moderne tid - i XVI-XVII århundreder.

I sit værk "Geometri" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) fra 1635 foreslog den italienske videnskabsmand Bonaventura Cavalieri et nyt princip til at finde rumfanget af en pyramide og lagde grundlaget for den videre udvikling af matematik og fysik i 300 år fremover. Princippet er, at hvis tværsnitsarealerne ved skæringspunktet mellem to legemer med et plan parallelt med et givet plan er ens, er volumen af disse legemer også ens.

Det er bemærkelsesværdigt, at der indtil det 19. århundrede ikke var nogen nøjagtige definitioner for volumen af tredimensionelle legemer, og de blev først formuleret i 1887 af Giuseppe Peano og i 1892 af Marie Enmond Camille Jordan. Ifølge SI-systemet blev kubikmeter hovedenheden for volumenmåling, og alle andre enheder (ounces, fod, tønder, skæpper) forblev som alternative.

3D-geometri vakte særlig interesse i det 20. århundrede med udviklingen af abstraktionismen. I 1966 skabte fotografen Charles F. Cochran sit berømte "crazy box"-billede af en inderfra-ud-terning, hvorefter kubiske snefnug, flydende, gentagne, to-etagers terninger og mere kom ind på listen over umulige 3D-former. Moderne 3D-kunst er også umulig uden brug af almindeligt accepterede formler til at finde volumen, som, selvom de er beregnet af en computer, blev skabt for mange århundreder siden.

Hvis det er nok at tilføje flere tal i en kolonne for at beregne omkredsen, kan det være nødvendigt med en teknisk lommeregner eller en speciel onlineapplikation for at bestemme volumen. Dette gælder for alle grundlæggende tredimensionelle figurer: terning, prisme, kugle, parallelepipedum, kegle, cylinder, tetraeder og pyramide.

Terning

Da alle flader af en terning er lige lange, og alle vinkler er 90 grader, er beregningen af volumen af denne figur elementær. For ham er det nok at bruge en formel med en ukendt:

V = a³.

V er følgelig terningens rumfang, a er længden af dens overflade. Volumenheder er standard: meter, decimeter, centimeter, millimeter og så videre.

Prisme

Denne geometriske figur er et polyeder, hvis to sider er ens i form og areal og er i parallelle planer. Og mellem dem er rektangler strengt vinkelret på baserne. Sidstnævnte kan have enhver polyhedral form: trekant, femkant, sekskant. Formlen til bestemmelse af volumen ser under alle omstændigheder den samme ud:

V = Sₒ ⋅ h.

I udtrykket er h højden af prismet, og Sₒ er arealet af dets base. Sidstnævnte beregnes efter formlen, der svarer til denne særlige figur, det være sig en trekant, en rombe, en trapez.

Parallepipedum

Denne figur er en af varianterne af et prisme, men hvis siderne på sidstnævnte er strengt vinkelrette på baserne, kan den første have skrå - med andre vinkler end 90 grader. Formlen til beregning af rumfanget af en kasse ser dog den samme ud:

V = Sₒ ⋅ h.

Højden h er tegnet fra hjørnet af den øverste base vinkelret nedad, og med skrå kanter falder ikke sammen med hjørnet af den nederste base. Hvis kassen er rektangulær, beregnes volumen som produktet af siderne:

V = a ⋅ b ⋅ h.

A og b er derfor længderne af siderne af basen, h er højden af kassen. I dette tilfælde falder højden fuldstændig sammen med enhver af sidekanterne.

Pyramid

En figur, der er sværere at beregne, bestående af en polygonal base og trekantede flader, hvis antal er lig med antallet af sider af basen. Hvis det er en trekant, er der 3 flader, hvis et kvadrat er 4, hvis en sekskant er 6. Alle sideflader har et fælles toppunkt, og rumfanget beregnes ved hjælp af den universelle formel:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Som i de foregående formler er Sₒ arealet af basen, h er højden af figuren. Udtrykket ændrer sig ikke, når du ændrer basis, og er det samme for alle varianter af pyramider.

Almindelig tetraeder

Denne figur har alle dihedriske vinkler ved kanterne ens, og fladerne er ligesidede trekanter, inklusive basen. Således kan et regulært tetraeder kaldes en trekantet pyramide med fire identiske sider. Dens volumen beregnes med formlen:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Der er kun én ukendt i udtrykket - a, svarende til længden af kanten af et regulært tetraeder. Alle kanter i den er ens, så det er nok at kube, derefter gange med roden og dividere med 12.

Cylinder

Denne geometriske figur består af to runde baser, identiske i diameter og parallelle med hinanden. De er forbundet med en sammenhængende sideflade vinkelret på baserne. Sidstnævnte kan repræsenteres både af cirkler og ovaler. Under alle omstændigheder ser formlerne til beregning af volumen ens ud:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

I disse ligninger er Sₒ arealet af bunden af cylinderen, h er højden af cylinderen, og R er radius af bunden. Den første formel er kun egnet til cylindre med en perfekt rund base, og den anden formel er egnet til alle cylindre, inklusive ovale og elliptiske.

kegle

En anden almindelig 3D-form er keglen med en rund base og en skarp top. For at beregne dens volumen kan du bruge en af to matematiske formler:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Den første er kun egnet til kegler med en rund base, og den anden er universel og kan bruges til at beregne figurer med ovale og ellipsoide baser. Notationen i formlerne er standard: Sₒ er arealet af basen, R er radius af basen, h er højden af keglen.

Kugle

Til sidst, for at beregne rumfanget af en kugle, behøver du kun konstanten π (lig med 3,14...) og dens radius:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

R er følgelig kuglens radius, hvilket er nok til at bestemme volumenet af denne figur.

For ikke at spilde tid og pusle over komplekse beregninger, kan du bruge en trykknap (eller software) teknisk lommeregner med rødder og grader, eller en speciel online lommeregner med tomme felter til at indtaste karakteristika for tredimensionelle figurer .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Rumfangsberegner