Das Volumen ist neben dem Umfang und der Fläche von Figuren eines der wichtigsten geometrischen Merkmale. Es kann jedoch nur auf dreidimensionale Körper angewendet werden, die nicht nur durch Länge und Breite, sondern auch durch Höhe/Dicke gekennzeichnet sind.
Kugeln, Würfel, Zylinder, Pyramiden, Kegel, Parallelepipede – all das sind dreidimensionale Figuren, deren Berechnung nach speziellen Formeln erfolgt, von denen viele bereits vor unserer Zeitrechnung von Wissenschaftlern entdeckt wurden.
Historischer Hintergrund
Altes Ägypten und Babylon
Die ersten Hinweise auf die Verwendung dreidimensionaler Figuren beziehen sich auf das alte Ägypten bzw. auf dessen Bauweise und Architektur. Daher könnten majestätische Pyramidenstrukturen nicht gebaut werden, ohne die Grundprinzipien zur Bestimmung von Masse und Volumen zu kennen. Das bedeutet, dass zumindest die alten Ägypter das Volumen von Würfeln, Prismen und Pyramiden berechnen konnten.
Ein anschauliches Beispiel ist das 147 Meter hohe Grab des Pharao Cheops, das die ideale geometrische Form einer Pyramide hat. Es ist unmöglich, es aus einzelnen Ziegeln und Blöcken so zusammenzusetzen, dass es mehr als 4500 Jahre Bestand hat; dazu sind hochpräzise mathematische und ingenieurtechnische Berechnungen erforderlich.
Es gibt keine dokumentarischen Beweise dafür, dass die alten Ägypter und Babylonier spezifische Formeln zur Volumenberechnung verwendeten, und vielleicht wurden sie nur in grafischer und mündlicher Form verwendet – nach separaten Prinzipien, nicht nach klar formulierten Regeln.
Aus dem antiken Babylon sind uns lediglich Tontafeln überliefert, die die Regeln für die Berechnung eines Pyramidenstumpfes (nicht vollständig) beschreiben, aber für den Bau von Objekten dieser Größenordnung würden sie nicht ausreichen. Es ist bekannt, dass viele antike Zivilisationen das Volumen elementarer Figuren berechneten, indem sie die Fläche ihrer Basis mit der Höhe multiplizierten. Dies gilt jedoch nicht für Objekte wie Kegel, Pyramiden und Tetraeder. Obwohl sie oft in der antiken Architektur zu finden sind und klar definierte Proportionen haben.
Antikes Griechenland
Die Prinzipien des Auffindens von Bänden wurden im antiken Griechenland – vom 5. bis zum 2. Jahrhundert v. Chr. – klarer formuliert. Euklid führt den Begriff eines Würfels ein, der sowohl das Volumen der gleichnamigen Figur als auch die Potenzierung einer Zahl in die 3. Potenz bedeutet. Und Demokrit formulierte im 5. Jahrhundert v. Chr. erstmals eine Regel zur Ermittlung des Volumens einer Pyramide, die nach seinen Forschungen immer gleich 1/3 des Volumens eines Prismas gleicher Höhe und gleicher Höhe ist Base.
In der Zeit vom 6. bis zum 2. Jahrhundert v. Chr. lernten antike griechische Mathematiker auch, das Volumen von Prismen, Zylindern und Kegeln zu berechnen, und zwar anhand der bereits entdeckten Zahl „Pi“, die für die Berechnung aller runden Zahlen notwendig ist. Die Forschungen von Archimedes bildeten die Grundlage der Integralrechnungsmethode und er betrachtete seine wichtigste Entdeckung als die Formel, nach der das Volumen einer Kugel immer 2/3 kleiner ist als das Volumen des um sie herum beschriebenen Zylinders. Neben Archimedes leisteten auch Demokrit und Eudoxos von Knidos einen großen Beitrag zum Studium der Geometrie.
Neue Zeit
In der Antike wurden alle Grundformeln zur Berechnung dreidimensionaler Figuren abgeleitet, und das Mittelalter brachte auf diesem Gebiet keine einzige grundlegend neue Entdeckung – mit Ausnahme indischer Forscher (hauptsächlich Brahmagupta), die mehrere geometrische Formen schufen Regeln im 6.-7. Jahrhundert mit der Hinzufügung eines neuen Wertes - des Halbumfangs. Ein grundlegend neuer Ansatz wurde erst in der Neuzeit angewendet – im 16. und 17. Jahrhundert.
In seinem Werk „Geometrie“ (Geometria indivisibilibus continueorum nova quadam ratione promota) von 1635 schlug der italienische Wissenschaftler Bonaventura Cavalieri ein neues Prinzip zur Bestimmung des Volumens einer Pyramide vor und legte den Grundstein für die weitere Entwicklung von Mathematik und Physik für die nächsten 300 Jahre. Das Prinzip besteht darin, dass, wenn am Schnittpunkt zweier Körper durch eine Ebene parallel zu einer gegebenen Ebene die Querschnittsflächen gleich sind, auch die Volumina dieser Körper gleich sind.
Bemerkenswert ist, dass es bis zum 19. Jahrhundert keine genauen Definitionen für das Volumen dreidimensionaler Körper gab und diese erst 1887 von Giuseppe Peano und 1892 von Marie Enmond Camille Jordan formuliert wurden. Nach dem SI-System wurde der Kubikmeter zur Hauptmaßeinheit für das Volumen, alle anderen Einheiten (Unzen, Fuß, Barrel, Scheffel) blieben als alternative Einheiten bestehen.
Die 3D-Geometrie erweckte im 20. Jahrhundert mit der Entwicklung des Abstraktionismus besonderes Interesse. Im Jahr 1966 schuf der Fotograf Charles F. Cochran sein berühmtes „Crazy Box“-Foto eines umgedrehten Würfels, woraufhin kubische Schneeflocken, schwebende, sich wiederholende, zweistöckige Würfel und mehr in die Liste der unmöglichen 3D-Formen aufgenommen wurden. Moderne 3D-Kunst ist auch ohne die Verwendung allgemein anerkannter Formeln zur Volumenermittlung nicht möglich, die zwar von einem Computer berechnet, aber vor vielen Jahrhunderten erstellt wurden.
