Εργαλείο υπολογισμού όγκου

Ο όγκος είναι ένα από τα πιο σημαντικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά: μαζί με την περίμετρο και το εμβαδόν των μορφών. Αλλά μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε τρισδιάστατα σώματα, τα οποία χαρακτηρίζονται όχι μόνο από μήκος και πλάτος, αλλά και από ύψος/πάχος.

Σφαίρες, κύβοι, κύλινδροι, πυραμίδες, κώνοι, παραλληλεπίπεδα - όλα αυτά είναι τρισδιάστατα σχήματα, ο υπολογισμός των οποίων πραγματοποιείται σύμφωνα με ειδικούς τύπους, πολλοί από τους οποίους ανακαλύφθηκαν από επιστήμονες πριν από την εποχή μας.

Ιστορικό υπόβαθρο

Αρχαία Αίγυπτος και Βαβυλώνα

Η πρώτη απόδειξη της χρήσης τρισδιάστατων μορφών αναφέρεται στην Αρχαία Αίγυπτο ή μάλλον στην κατασκευή και την αρχιτεκτονική της. Έτσι, οι μεγαλοπρεπείς πυραμιδικές κατασκευές δεν θα μπορούσαν να κατασκευαστούν χωρίς να γνωρίζουμε τις βασικές αρχές για τον προσδιορισμό της μάζας και του όγκου. Αυτό σημαίνει ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, τουλάχιστον, μπορούσαν να υπολογίσουν τον όγκο των κύβων, των πρισμάτων και των πυραμίδων.

Ένα ζωντανό παράδειγμα είναι ο τάφος του Φαραώ Χέοπα, ύψους 147 μέτρων, ο οποίος έχει ιδανικό γεωμετρικό σχήμα πυραμίδας. Είναι αδύνατο να το συνδυάσετε από μεμονωμένα τούβλα και τετράγωνα με τέτοιο τρόπο ώστε να έχει παραμείνει για περισσότερα από 4500 χρόνια· αυτό απαιτεί μαθηματικούς και μηχανικούς υπολογισμούς υψηλής ακρίβειας.

Δεν υπάρχει τεκμηριωμένη απόδειξη ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν συγκεκριμένους τύπους για τον υπολογισμό του όγκου και ίσως χρησιμοποιούνταν μόνο σε γραφική και προφορική μορφή - ακολουθώντας ξεχωριστές αρχές, όχι σαφώς διατυπωμένους κανόνες.

Από την Αρχαία Βαβυλώνα, μόνο πήλινες πλάκες έχουν έρθει σε εμάς, οι οποίες περιγράφουν τους κανόνες για τον υπολογισμό μιας κολοβωμένης (όχι πλήρους) πυραμίδας, αλλά δεν θα ήταν αρκετές για την κατασκευή αντικειμένων τέτοιας κλίμακας. Είναι γνωστό ότι πολλοί αρχαίοι πολιτισμοί υπολόγιζαν τον όγκο των στοιχειωδών μορφών πολλαπλασιάζοντας την περιοχή της βάσης τους με το ύψος, αλλά αυτό δεν ισχύει για αντικείμενα όπως κώνοι, πυραμίδες, τετράεδρα. Αν και απαντώνται συχνά στην αρχαία αρχιτεκτονική και έχουν σαφώς καθορισμένες αναλογίες.

Αρχαία Ελλάδα

Οι αρχές της εύρεσης τόμων διατυπώθηκαν πιο ξεκάθαρα στην Αρχαία Ελλάδα - από τον 5ο έως τον 2ο αιώνα π.Χ. Ο Ευκλείδης εισάγει την έννοια του κύβου, που σημαίνει ταυτόχρονα και τον όγκο του ομώνυμου σχήματος και την αύξηση ενός αριθμού στην 3η δύναμη. Και ο Δημόκριτος τον 5ο αιώνα π.Χ. διατύπωσε για πρώτη φορά έναν κανόνα για την εύρεση του όγκου μιας πυραμίδας, ο οποίος, σύμφωνα με την έρευνά του, ισούται πάντα με το 1/3 του όγκου ενός πρίσματος ίδιου ύψους και με το ίδιο ύψος. βάση.

Στην περίοδο από τον 6ο έως τον 2ο αιώνα π.Χ., οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί έμαθαν επίσης να υπολογίζουν τον όγκο των πρισμάτων, των κυλίνδρων και των κώνων, χρησιμοποιώντας τον ήδη ανακαλυφθέν αριθμό "pi", ο οποίος είναι απαραίτητος για τον υπολογισμό όλων των στρογγυλών ψηφίων. Η έρευνα του Αρχιμήδη αποτέλεσε τη βάση της ολοκληρωμένης μεθόδου του λογισμού και θεώρησε ότι η κύρια ανακάλυψή του ήταν ο τύπος σύμφωνα με τον οποίο ο όγκος μιας μπάλας είναι πάντα 2/3 μικρότερος από τον όγκο του κυλίνδρου που περιγράφεται γύρω της. Εκτός από τον Αρχιμήδη, μεγάλη συμβολή στη μελέτη της γεωμετρίας συνέβαλαν και ο Δημόκριτος και ο Εύδοξος ο Κνίδος.

Νέα ώρα

Κατά την Αρχαιότητα, προέκυψαν όλοι οι βασικοί τύποι για τον υπολογισμό των τρισδιάστατων μορφών και ο Μεσαίωνας δεν έδωσε ούτε μία θεμελιωδώς νέα ανακάλυψη σε αυτόν τον τομέα - με εξαίρεση Ινδούς ερευνητές (κυρίως Brahmagupta), οι οποίοι δημιούργησαν πολλά γεωμετρικά κυριαρχεί τον 6ο-7ο αιώνα με την προσθήκη μιας νέας τιμής - της ημιπεριμέτρου. Μια θεμελιωδώς νέα προσέγγιση εφαρμόστηκε μόνο στη σύγχρονη εποχή - στους XVI-XVII αιώνες.

Στο έργο του "Geometry" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) του 1635, ο Ιταλός επιστήμονας Bonaventura Cavalieri πρότεινε μια νέα αρχή για την εύρεση του όγκου μιας πυραμίδας και έθεσε τα θεμέλια για την περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών και της φυσικής για τα επόμενα 300 χρόνια. Η αρχή είναι ότι εάν στη τομή δύο σωμάτων από οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο σε κάποιο δεδομένο επίπεδο, τα εμβαδά της διατομής είναι ίσα, οι όγκοι αυτών των σωμάτων είναι επίσης ίσοι.

Αξίζει να σημειωθεί ότι μέχρι τον 19ο αιώνα δεν υπήρχαν ακριβείς ορισμοί για τους όγκους των τρισδιάστατων σωμάτων και διατυπώθηκαν μόνο το 1887 από τον Giuseppe Peano και το 1892 από τη Marie Enmond Camille Jordan. Σύμφωνα με το σύστημα SI, το κυβικό μέτρο έγινε η κύρια μονάδα μέτρησης του όγκου και όλες οι άλλες μονάδες (ουγγιές, πόδια, βαρέλια, μπουσέλες) παρέμειναν ως εναλλακτικές.

Η τρισδιάστατη γεωμετρία προκάλεσε ιδιαίτερο ενδιαφέρον τον 20ο αιώνα, με την ανάπτυξη του αφαιρετικού. Το 1966, ο φωτογράφος Charles F. Cochran δημιούργησε τη διάσημη φωτογραφία του "τρελό κουτί" ενός κύβου μέσα προς τα έξω, μετά την οποία κυβικές νιφάδες χιονιού, αιωρούμενοι, επαναλαμβανόμενοι, διώροφοι κύβοι και άλλα μπήκαν στη λίστα των αδύνατων τρισδιάστατων σχημάτων. Η σύγχρονη τρισδιάστατη τέχνη είναι επίσης αδύνατη χωρίς τη χρήση γενικά αποδεκτών τύπων εύρεσης όγκου, οι οποίοι, αν και υπολογίζονται από υπολογιστή, δημιουργήθηκαν πριν από πολλούς αιώνες.

Πώς να βρείτε τον όγκο (τύποι όγκου)

Αν αρκεί να προσθέσετε πολλούς αριθμούς σε μια στήλη για να υπολογίσετε την περίμετρο, τότε μπορεί να χρειαστείτε μια μηχανική αριθμομηχανή ή μια ειδική ηλεκτρονική εφαρμογή για τον προσδιορισμό του όγκου. Αυτό ισχύει για όλα τα βασικά τρισδιάστατα σχήματα: κύβος, πρίσμα, μπάλα, παραλληλεπίπεδο, κώνος, κύλινδρος, τετράεδρο και πυραμίδα.

Κύβος

Δεδομένου ότι όλες οι όψεις ενός κύβου έχουν το ίδιο μήκος και όλες οι γωνίες είναι 90 μοίρες, ο υπολογισμός του όγκου αυτού του σχήματος είναι στοιχειώδης. Για αυτόν, αρκεί να χρησιμοποιήσει έναν τύπο με ένα άγνωστο:

V = a³.

Συνεπώς, V είναι ο όγκος του κύβου, a είναι το μήκος της όψης του. Οι μονάδες έντασης είναι τυπικές: μέτρο, δεκατόμετρο, εκατοστό, χιλιοστό κ.ο.κ.

Πρίσμα

Αυτό το γεωμετρικό σχήμα είναι ένα πολύεδρο, οι δύο πλευρές του οποίου είναι ίδιες σε σχήμα και εμβαδόν και είναι σε παράλληλα επίπεδα. Και μεταξύ τους υπάρχουν ορθογώνια αυστηρά κάθετα στις βάσεις. Το τελευταίο μπορεί να έχει οποιοδήποτε πολυεδρικό σχήμα: τρίγωνο, πεντάγωνο, εξάγωνο. Ο τύπος για τον προσδιορισμό του όγκου σε κάθε περίπτωση είναι ο ίδιος:

V = Sₒ ⋅ h.

Στην έκφραση, h είναι το ύψος του πρίσματος και Sₒ είναι το εμβαδόν της βάσης του. Το τελευταίο υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο που αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο σχήμα, είτε πρόκειται για τρίγωνο, είτε για ρόμβο, είτε για ένα τραπέζιο.

Παραλληλεπίπεδο

Αυτό το σχήμα είναι μία από τις ποικιλίες ενός πρίσματος, αλλά αν οι όψεις του τελευταίου είναι αυστηρά κάθετες στις βάσεις, τότε το πρώτο μπορεί να έχει λοξότμητες - με γωνίες διαφορετικές από 90 μοίρες. Ωστόσο, ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός κουτιού μοιάζει με τον ίδιο:

V = Sₒ ⋅ h.

Το ύψος h τραβιέται από τη γωνία της άνω βάσης κάθετα προς τα κάτω και με λοξότμητες άκρες δεν συμπίπτει με τη γωνία της κάτω βάσης. Εάν το πλαίσιο είναι ορθογώνιο, ο όγκος υπολογίζεται ως το γινόμενο των πλευρών:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Αντίστοιχα, τα a και b είναι τα μήκη των πλευρών της βάσης, h είναι το ύψος του κουτιού. Σε αυτήν την περίπτωση, το ύψος συμπίπτει πλήρως με οποιοδήποτε από τα πλευρικά άκρα.

Πυραμίδα

Ένα σχήμα πιο δύσκολο να υπολογιστεί, που αποτελείται από πολυγωνική βάση και τριγωνικές όψεις, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με τον αριθμό των πλευρών της βάσης. Αν είναι τρίγωνο, υπάρχουν 3 όψεις, αν ένα τετράγωνο είναι 4, αν ένα εξάγωνο είναι 6. Όλες οι πλευρικές όψεις έχουν κοινή κορυφή και ο όγκος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Όπως και στους προηγούμενους τύπους, Sₒ είναι το εμβαδόν της βάσης, h είναι το ύψος του σχήματος. Η έκφραση δεν αλλάζει κατά την αλλαγή της βάσης και είναι η ίδια για όλες τις ποικιλίες πυραμίδων.

Κανονικό τετράεδρο

Αυτό το σχήμα έχει όλες τις δίεδρες γωνίες στις άκρες ίσες και οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα, συμπεριλαμβανομένης της βάσης. Έτσι, ένα κανονικό τετράεδρο μπορεί να ονομαστεί τριγωνική πυραμίδα με τέσσερις ίδιες πλευρές. Ο όγκος του υπολογίζεται με τον τύπο:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Υπάρχει μόνο ένα άγνωστο στην έκφραση - a, που αντιστοιχεί στο μήκος της άκρης ενός κανονικού τετραέδρου. Όλες οι άκρες σε αυτό είναι ίδιες, επομένως αρκεί να κάνετε κύβους, στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε με τη ρίζα και να διαιρέσετε με το 12.

Κύλινδρος

Αυτό το γεωμετρικό σχήμα αποτελείται από δύο στρογγυλές βάσεις, ίδιας διαμέτρου και παράλληλες μεταξύ τους. Διασυνδέονται με μία συνεχή πλευρική επιφάνεια κάθετη στις βάσεις. Το τελευταίο μπορεί να αναπαρασταθεί τόσο με κύκλους όσο και με οβάλ. Σε κάθε περίπτωση, οι τύποι για τον υπολογισμό του όγκου μοιάζουν ίδιοι:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

Σε αυτές τις εξισώσεις, Sₒ είναι το εμβαδόν της βάσης του κυλίνδρου, h είναι το ύψος του κυλίνδρου και R είναι η ακτίνα της βάσης. Η πρώτη φόρμουλα είναι κατάλληλη μόνο για κυλίνδρους με τέλεια στρογγυλή βάση και η δεύτερη φόρμουλα είναι κατάλληλη για όλους τους κυλίνδρους, συμπεριλαμβανομένων των οβάλ και ελλειπτικών.

Κώνος

Ένα άλλο κοινό τρισδιάστατο σχήμα είναι ο κώνος, με στρογγυλή βάση και αιχμηρή κορυφή. Για να υπολογίσετε τον όγκο του, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν από τους δύο μαθηματικούς τύπους:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Το πρώτο είναι κατάλληλο μόνο για κώνους με στρογγυλή βάση και το δεύτερο είναι καθολικό και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό ψηφίων με οβάλ και ελλειψοειδείς βάσεις. Ο συμβολισμός στους τύπους είναι τυπικός: Sₒ είναι το εμβαδόν της βάσης, R είναι η ακτίνα της βάσης, h είναι το ύψος του κώνου.

Μπάλα

Τέλος, για να υπολογίσετε τον όγκο μιας σφαίρας, χρειάζεστε μόνο τη σταθερά π (ίση με 3,14...) και την ακτίνα της:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Συνεπώς, το R είναι η ακτίνα της μπάλας, η οποία είναι αρκετή για να προσδιορίσει τον όγκο αυτού του αριθμού.

Για να μην χάνετε χρόνο και παζλ σε πολύπλοκους υπολογισμούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή μηχανικής με κουμπιά (ή λογισμικό) με ρίζες και βαθμούς ή μια ειδική ηλεκτρονική αριθμομηχανή με κενά πεδία για την εισαγωγή των χαρακτηριστικών τρισδιάστατων μορφών .

Εργαλείο υπολογισμού όγκου

Άλλα εργαλεία