Calculadora de volumen

El volumen es una de las características geométricas más importantes: junto con el perímetro y el área de las figuras. Pero solo se puede aplicar a cuerpos tridimensionales, que se caracterizan no solo por la longitud y el ancho, sino también por la altura/grosor.

Esferas, cubos, cilindros, pirámides, conos, paralelepípedos: todas estas son figuras tridimensionales, cuyo cálculo se lleva a cabo de acuerdo con fórmulas especiales, muchas de las cuales fueron descubiertas por científicos antes de nuestra era.

Antecedentes históricos

Antiguo Egipto y Babilonia

La primera evidencia del uso de figuras tridimensionales se refiere al Antiguo Egipto, o mejor dicho, a su construcción y arquitectura. Así, no se podrían construir majestuosas estructuras piramidales sin conocer los principios básicos para determinar la masa y el volumen. Esto significa que los antiguos egipcios, al menos, podían calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides.

Un vívido ejemplo es la tumba del faraón Keops, de 147 metros de altura, que tiene una forma geométrica ideal de pirámide. Es imposible ensamblarlo a partir de ladrillos y bloques individuales de tal manera que se haya mantenido en pie durante más de 4500 años; esto requiere cálculos matemáticos y de ingeniería de alta precisión.

No hay evidencia documental de que los antiguos egipcios y babilonios usaran fórmulas específicas para calcular el volumen, y tal vez solo se usaron en forma gráfica y oral, siguiendo principios separados, no reglas claramente formuladas.

De la antigua Babilonia, solo nos han llegado tablillas de arcilla, que describen las reglas para calcular una pirámide truncada (no completa), pero no serían suficientes para la construcción de objetos de tal escala. Se sabe que muchas civilizaciones antiguas calcularon el volumen de figuras elementales multiplicando el área de su base por la altura, pero esto no es aplicable a objetos como conos, pirámides, tetraedros. Aunque a menudo se encuentran en la arquitectura antigua y tienen proporciones bien definidas.

Antigua Grecia

Los principios para encontrar volúmenes se formularon con mayor claridad en la antigua Grecia, desde el siglo V hasta el siglo II a. C. Euclides introduce el concepto de cubo, que significa simultáneamente el volumen de la figura del mismo nombre y la elevación de un número a la tercera potencia. Y Demócrito en el siglo V a. C. formuló por primera vez una regla para encontrar el volumen de una pirámide que, según su investigación, siempre es igual a 1/3 del volumen de un prisma de la misma altura y con el mismo base.

En el período del siglo VI al II a. C., los matemáticos griegos antiguos también aprendieron a calcular el volumen de prismas, cilindros y conos, utilizando el número "pi", ya descubierto, que es necesario para calcular todas las figuras redondas. La investigación de Arquímedes formó la base del método integral de cálculo, y consideró que su principal descubrimiento era la fórmula según la cual el volumen de una bola es siempre 2/3 menor que el volumen del cilindro descrito a su alrededor. Además de Arquímedes, Demócrito y Eudoxo de Cnido también hicieron una gran contribución al estudio de la geometría.

Nuevo tiempo

Durante la Antigüedad, se derivaron todas las fórmulas básicas para calcular figuras tridimensionales, y la Edad Media no dio un solo descubrimiento fundamentalmente nuevo en esta área, con la excepción de los investigadores indios (principalmente Brahmagupta), que crearon varias formas geométricas. gobierna en los siglos VI-VII con la adición de un nuevo valor: el semiperímetro. Un enfoque fundamentalmente nuevo se aplicó solo en los tiempos modernos, en los siglos XVI-XVII.

En su obra "Geometría" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) de 1635, el científico italiano Bonaventura Cavalieri propuso un nuevo principio para encontrar el volumen de una pirámide y sentó las bases para el desarrollo posterior de las matemáticas y la física. por 300 años por venir. El principio es que si en la intersección de dos cuerpos por cualquier plano paralelo a algún plano dado, las áreas de las secciones transversales son iguales, los volúmenes de estos cuerpos también son iguales.

Cabe destacar que hasta el siglo XIX no existían definiciones exactas para los volúmenes de los cuerpos tridimensionales, y fueron formulados recién en 1887 por Giuseppe Peano, y en 1892 por Marie Enmond Camille Jordan. De acuerdo con el sistema SI, el metro cúbico se convirtió en la principal unidad de medida de volumen, y todas las demás unidades (onzas, pies, barriles, bushels) permanecieron como unidades alternativas.

La geometría 3D despertó especial interés en el siglo XX, con el desarrollo del abstraccionismo. En 1966, el fotógrafo Charles F. Cochran creó su famosa foto de "caja loca" de un cubo de adentro hacia afuera, después de lo cual copos de nieve cúbicos, cubos flotantes, repetitivos, de dos pisos y más ingresaron a la lista de formas 3D imposibles. El arte 3D moderno también es imposible sin el uso de fórmulas generalmente aceptadas para encontrar el volumen, las cuales, aunque calculadas por una computadora, fueron creadas hace muchos siglos.

Cómo encontrar volúmenes (fórmulas de volumen)

Si es suficiente sumar varios números en una columna para calcular el perímetro, es posible que se requiera una calculadora de ingeniería o una aplicación especial en línea para determinar el volumen. Esto se aplica a todas las figuras tridimensionales básicas: cubo, prisma, bola, paralelepípedo, cono, cilindro, tetraedro y pirámide.

Cubo

Como todas las caras de un cubo tienen la misma longitud y todos los ángulos miden 90 grados, el cálculo del volumen de esta figura es elemental. Para él, es suficiente usar una fórmula con una incógnita:

V = a³.

En consecuencia, V es el volumen del cubo, a es la longitud de su cara. Las unidades de volumen son estándar: metro, decímetro, centímetro, milímetro, etc.

Prisma

Esta figura geométrica es un poliedro, cuyos dos lados tienen la misma forma y área y están en planos paralelos. Y entre ellos hay rectángulos estrictamente perpendiculares a las bases. Este último puede tener cualquier forma poliédrica: triángulo, pentágono, hexágono. La fórmula para determinar el volumen en cualquier caso es la misma:

V = Sₒ ⋅ h.

En la expresión, h es la altura del prisma y Sₒ es el área de su base. Este último se calcula según la fórmula correspondiente a esta figura en particular, ya sea un triángulo, un rombo, un trapezoide.

Paralelepípedo

Esta figura es una de las variedades de un prisma, pero si las caras de este último son estrictamente perpendiculares a las bases, entonces el primero puede tener otras biseladas, con ángulos que no sean de 90 grados. Sin embargo, la fórmula para calcular el volumen de una caja es la misma:

V = Sₒ ⋅ h.

La altura h se dibuja desde la esquina de la base superior perpendicularmente hacia abajo, y con bordes biselados no coincide con la esquina de la base inferior. Si la caja es rectangular, el volumen se calcula como el producto de los lados:

V = un ⋅ segundo ⋅ h.

En consecuencia, a y b son las longitudes de los lados de la base, h es la altura de la caja. En este caso, la altura coincide completamente con cualquiera de los bordes laterales.

Pirámide

Figura más difícil de calcular, formada por una base poligonal y caras triangulares, cuyo número es igual al número de lados de la base. Si es un triángulo, tiene 3 caras, si un cuadrado tiene 4, si un hexágono tiene 6. Todas las caras laterales tienen un vértice común y el volumen se calcula con la fórmula universal:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Como en las fórmulas anteriores, Sₒ es el área de la base, h es la altura de la figura. La expresión no cambia al cambiar la base, y es la misma para todas las variedades de pirámides.

Tetraedro regular

Esta figura tiene todos los ángulos diedros en los bordes iguales y las caras son triángulos equiláteros, incluida la base. Por lo tanto, un tetraedro regular puede llamarse una pirámide triangular con cuatro lados idénticos. Su volumen se calcula mediante la fórmula:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Solo hay una incógnita en la expresión: a, que corresponde a la longitud de la arista de un tetraedro regular. Todas las aristas son iguales, por lo que basta con elevar al cubo, luego multiplicar por la raíz y dividir por 12.

Cilindro

Esta figura geométrica consta de dos bases redondas, de idéntico diámetro y paralelas entre sí. Están interconectados por una superficie lateral continua perpendicular a las bases. Este último se puede representar tanto con círculos como con óvalos. En cualquier caso, las fórmulas para calcular el volumen son las mismas:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

En estas ecuaciones, Sₒ es el área de la base del cilindro, h es la altura del cilindro y R es el radio de la base. La primera fórmula solo es adecuada para cilindros con una base redonda perfecta, y la segunda fórmula es adecuada para todos los cilindros, incluidos los ovalados y elípticos.

Cono

Otra forma 3D común es el cono, con una base redonda y un vértice afilado. Para calcular su volumen, puede usar una de dos fórmulas matemáticas:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

El primero es adecuado solo para conos con base redonda, y el segundo es universal, y se puede usar para calcular figuras con bases ovaladas y elipsoidales. La notación en las fórmulas es estándar: Sₒ es el área de la base, R es el radio de la base, h es la altura del cono.

Pelota

Finalmente, para calcular el volumen de una esfera, solo necesitas la constante π (igual a 3,14...), y su radio:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

En consecuencia, R es el radio de la bola, que es suficiente para determinar el volumen de esta figura.

Para no perder tiempo y desconcertar con cálculos complejos, puede usar una calculadora de ingeniería de botón (o software) con raíces y grados, o una calculadora en línea especial con campos vacíos para ingresar las características de figuras tridimensionales .

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