Ruumala kalkulaator

Maht on üks olulisemaid geomeetrilisi omadusi: koos kujundite perimeetri ja pindalaga. Kuid seda saab rakendada ainult kolmemõõtmeliste kehade puhul, mida ei iseloomusta mitte ainult pikkus ja laius, vaid ka kõrgus/paksus.

Sfäärid, kuubikud, silindrid, püramiidid, koonused, rööptahukad – kõik need on kolmemõõtmelised kujundid, mille arvutamine toimub spetsiaalsete valemite järgi, millest paljud avastasid teadlased juba enne meie ajastut.

Ajalooline taust

Vana-Egiptus ja Babülon

Esimesed tõendid kolmemõõtmeliste figuuride kasutamise kohta viitavad Vana-Egiptusele või õigemini selle ehitusele ja arhitektuurile. Seega ei saanud majesteetlikke püramiidkonstruktsioone ehitada ilma massi ja mahu määramise põhiprintsiipe teadmata. See tähendab, et vähemalt muistsed egiptlased oskasid välja arvutada kuubikute, prismade ja püramiidide ruumala.

Ere näide on vaarao Cheopsi 147 meetri kõrgune haud, millel on ideaalne püramiidi geomeetriline kuju. Seda pole võimalik üksikutest tellistest ja plokkidest kokku panna nii, et see oleks seisnud üle 4500 aasta, selleks on vaja ülitäpseid matemaatilisi ja tehnilisi arvutusi.

Puuduvad dokumentaalsed tõendid selle kohta, et muistsed egiptlased ja babüloonlased kasutasid mahu arvutamiseks konkreetseid valemeid ning võib-olla kasutati neid ainult graafilisel ja suulisel kujul – järgides eraldi põhimõtteid, mitte selgelt sõnastatud reegleid.

Muistsest Babülonist on meieni jõudnud vaid savitahvlid, mis kirjeldavad kärbitud (mittetäieliku) püramiidi arvutamise reegleid, kuid sellise mastaabiga objektide ehitamiseks neist ei piisaks. On teada, et paljud iidsed tsivilisatsioonid arvutasid elementaarfiguuride mahu, korrutades nende aluse pindala kõrgusega, kuid see ei kehti selliste objektide kohta nagu koonused, püramiidid, tetraeedrid. Kuigi neid leidub sageli iidses arhitektuuris ja neil on täpselt määratletud proportsioonid.

Vana-Kreeka

Käidete leidmise põhimõtted olid selgemini sõnastatud Vana-Kreekas – 5.–2. sajandil eKr. Eukleides tutvustab kuubi mõistet, mis tähendab samaaegselt nii samanimelise kujundi mahtu kui ka arvu tõstmist 3. astmeni. Ja Demokritos sõnastas 5. sajandil eKr esimest korda püramiidi ruumala leidmise reegli, mis tema uurimistöö järgi on alati võrdne 1/3 sama kõrguse ja sama prisma ruumalaga. alus.

Ajavahemikul 6. kuni 2. sajand eKr õppisid Vana-Kreeka matemaatikud ka prismade, silindrite ja koonuste ruumala arvutama, kasutades selleks juba avastatud arvu "pi", mis on vajalik kõigi ümmarguste arvude arvutamiseks. Archimedese uurimustöö pani aluse integraalarvutuse meetodile ja ta pidas oma peamiseks avastuseks valemit, mille järgi kuuli ruumala on alati 2/3 võrra väiksem selle ümber kirjeldatud silindri mahust. Lisaks Archimedesele andsid geomeetria uurimisse suure panuse ka Demokritos ja Eudoxus of Cnidus.

Uus aeg

Antiikajal tuletati kõik kolmemõõtmeliste kujundite arvutamise põhivalemid ja keskaeg ei andnud selles vallas ühtegi põhimõtteliselt uut avastust – välja arvatud India uurijad (peamiselt Brahmagupta), kes lõid mitmeid geomeetrilisi kujundeid. reeglid 6.-7.sajandil koos uue väärtuse – poolperimeetri – lisandumisega. Põhimõtteliselt uut lähenemist rakendati ainult uusajal – XVI-XVII sajandil.

Itaalia teadlane Bonaventura Cavalieri pakkus oma 1635. aasta töös "Geomeetria" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) välja uue põhimõtte püramiidi ruumala leidmiseks ning pani aluse matemaatika ja füüsika edasisele arengule. 300 aastaks. Põhimõte seisneb selles, et kui kahe keha ristumiskohas mis tahes tasapinnaga, mis on paralleelne mõne antud tasapinnaga, on ristlõike pindalad võrdsed, on ka nende kehade ruumalad võrdsed.

Märkimisväärne on, et kuni 19. sajandini puudusid kolmemõõtmeliste kehade ruumalade täpsed määratlused ja need sõnastas alles 1887. aastal Giuseppe Peano ja 1892. aastal Marie Enmond Camille Jordan. SI-süsteemi järgi sai ruumala peamiseks mõõtühikuks kuupmeeter ja kõik muud mõõtühikud (untsid, jalad, tünnid, bušelid) jäid alternatiivseteks.

3D-geomeetria äratas erilist huvi 20. sajandil koos abstraktsionismi arenguga. 1966. aastal lõi fotograaf Charles F. Cochran oma kuulsa "hullu kasti" foto seestpoolt välja keeratud kuubist, mille järel sisenesid võimatute 3D-kujundite nimekirja kuupmeetrilised lumehelbed, hõljuvad, korduvad kahekorruselised kuubikud ja palju muud. Kaasaegne 3D-kunst on võimatu ka ilma üldtunnustatud ruumala leidmise valemeid kasutamata, mis küll arvutati arvuti abil, kuid loodi sajandeid tagasi.

Kui perimeetri arvutamiseks piisab veerus mitme numbri lisamisest, võib mahu määramiseks olla vaja insenerikalkulaatorit või spetsiaalset veebirakendust. See kehtib kõigi põhiliste kolmemõõtmeliste kujundite kohta: kuubik, prisma, kuul, rööptahukas, koonus, silinder, tetraeeder ja püramiid.

Kuup

Kuna kuubi kõik tahud on ühepikkused ja kõik nurgad 90 kraadi, on selle kujundi ruumala arvutamine elementaarne. Tema jaoks piisab valemi kasutamisest ühe tundmatuga:

V = a³.

Sellest tulenevalt on V kuubi ruumala, a on selle esikülje pikkus. Mahuühikud on standardsed: meeter, detsimeeter, sentimeeter, millimeeter ja nii edasi.

Prisma

See geomeetriline kujund on hulktahukas, mille kaks külge on kuju ja pindala poolest ühesugused ning paralleelsed. Ja nende vahel on ristkülikud, mis on aluste suhtes rangelt risti. Viimasel võib olla mis tahes hulktahuline kuju: kolmnurk, viisnurk, kuusnurk. Helitugevuse määramise valem näeb igal juhul välja sama:

V = Sₒ ⋅ h.

Avaldises on h prisma kõrgus ja Sₒ selle aluse pindala. Viimane arvutatakse sellele konkreetsele joonisele vastava valemi järgi, olgu selleks kolmnurk, romb, trapets.

Rööptoru

See kujund on üks prisma variante, kuid kui viimaste küljed on alustega rangelt risti, siis esimene võib olla kaldsed - 90-kraadise nurga all. Kasti mahu arvutamise valem näeb aga välja sama:

V = Sₒ ⋅ h.

Kõrgus h on tõmmatud ülemise aluse nurgast risti allapoole ja kaldservadega ei lange kokku alumise aluse nurgaga. Kui kast on ristkülikukujuline, arvutatakse maht külgede korrutisena:

V = a ⋅ b ⋅ h.

A ja b on vastavalt aluse külgede pikkused, h on kasti kõrgus. Sel juhul kattub kõrgus täielikult mis tahes külgservaga.

Püramiid

Raskemini arvutatav kujund, mis koosneb hulknurksest alusest ja kolmnurksetest tahkudest, mille arv on võrdne aluse külgede arvuga. Kui tegemist on kolmnurgaga, on tahkusid 3, kui ruut on 4, kui kuusnurk on 6. Kõigil külgpindadel on ühine tipp ja ruumala arvutatakse universaalse valemi abil:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Nagu eelmistes valemites, on Sₒ aluse pindala, h on joonise kõrgus. Avaldis ei muutu aluse muutmisel ja on sama kõigi püramiidide sortide puhul.

Tavaline tetraeeder

Sellel joonisel on kõik kahetahulised nurgad servades võrdsed ja küljed on võrdkülgsed kolmnurgad, sealhulgas alus. Seega võib korrapärast tetraeedrit nimetada kolmnurkseks püramiidiks, millel on neli identset külge. Selle maht arvutatakse järgmise valemiga:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Avaldises on ainult üks tundmatu – a, mis vastab korrapärase tetraeedri serva pikkusele. Kõik selle servad on ühesugused, nii et piisab kuubitamisest, seejärel korrutada juurega ja jagada 12-ga.

Silinder

See geomeetriline kujund koosneb kahest ümmargusest alusest, mis on identse läbimõõduga ja üksteisega paralleelsed. Need on omavahel ühendatud ühe pideva külgpinnaga, mis on alustega risti. Viimast saab kujutada nii ringide kui ka ovaalidena. Igal juhul näevad helitugevuse arvutamise valemid välja samad:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

Nendes võrrandites on Sₒ silindri aluse pindala, h on silindri kõrgus ja R on aluse raadius. Esimene valem sobib ainult täiusliku ümara põhjaga silindritele ja teine valem sobib kõikidele balloonidele, sealhulgas ovaalsetele ja elliptilistele.

Koonus

Teine levinud 3D-kujund on ümara põhja ja terava tipuga koonus. Selle mahu arvutamiseks võite kasutada ühte kahest matemaatilisest valemist:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Esimene sobib ainult ümara põhjaga koonuste jaoks ja teine on universaalne ning seda saab kasutada ovaalse ja ellipsoidse alusega kujundite arvutamiseks. Valemite tähistus on standardne: Sₒ on aluse pindala, R on aluse raadius, h on koonuse kõrgus.

Pall

Lõpuks on sfääri ruumala arvutamiseks vaja ainult konstanti π (võrdne 3,14-ga...) ja selle raadiust:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Seega on R kuuli raadius, millest piisab selle kujundi helitugevuse määramiseks.

Selleks et mitte raisata aega ja mõistatusi keeruliste arvutuste üle, võite kolmemõõtmeliste kujundite karakteristikute sisestamiseks kasutada nupu (või tarkvara) insenerikalkulaatorit juurte ja kraadidega või spetsiaalset tühjade väljadega veebikalkulaatorit. .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Ruumala kalkulaator