ماشین حساب حجم

حجم یکی از مهم ترین ویژگی های هندسی است: همراه با محیط و مساحت شکل ها. اما فقط می‌توان آن را برای بدنه‌های سه‌بعدی اعمال کرد که نه تنها از نظر طول و عرض، بلکه از نظر ارتفاع/ضخامت نیز مشخص می‌شوند.

کره‌ها، مکعب‌ها، استوانه‌ها، اهرام، مخروط‌ها، موازی‌پاها - همه این‌ها ارقام سه‌بعدی هستند که محاسبه آن‌ها بر اساس فرمول‌های خاصی انجام می‌شود که بسیاری از آنها قبل از دوران ما توسط دانشمندان کشف شده بودند.

پیشینه تاریخی

مصر باستان و بابل

اولین شواهد استفاده از فیگورهای سه بعدی به مصر باستان یا بهتر بگوییم ساخت و معماری آن اشاره دارد. بنابراین، سازه های هرمی با شکوه را نمی توان بدون دانستن اصول اولیه برای تعیین جرم و حجم ساخت. این بدان معنی است که مصریان باستان حداقل می توانستند حجم مکعب ها، منشورها و اهرام را محاسبه کنند.

یک نمونه بارز مقبره فرعون خئوپس با ارتفاع 147 متر است که شکل هندسی ایده آلی از هرم دارد. غیرممکن است که آن را از روی آجرها و بلوک‌ها به گونه‌ای کنار هم قرار دهیم که بیش از 4500 سال استوار باشد؛ این به محاسبات ریاضی و مهندسی با دقت بالایی نیاز دارد.

هیچ مدرک مستندی مبنی بر اینکه مصریان و بابلیان باستان از فرمول‌های خاصی برای محاسبه حجم استفاده می‌کردند، وجود ندارد، و شاید آنها فقط به صورت گرافیکی و شفاهی استفاده می‌شدند - پیرو اصول جداگانه‌ای، نه قواعد به‌روشنی تدوین‌شده.

از بابل باستان فقط لوح‌های گلی به ما رسیده است که قوانین محاسبه هرم بریده (نه کامل) را شرح می‌دهند، اما برای ساخت اشیایی در چنین مقیاسی کافی نیستند. مشخص است که بسیاری از تمدن های باستانی حجم شکل های ابتدایی را با ضرب مساحت پایه آنها در ارتفاع محاسبه می کردند، اما این برای اشیایی مانند مخروط ها، اهرام، چهار وجهی قابل استفاده نیست. اگرچه آنها اغلب در معماری باستانی یافت می شوند و نسبت های مشخصی دارند.

یونان باستان

اصول یافتن جلدها به وضوح در یونان باستان - از قرن 5 تا 2 قبل از میلاد - فرموله شده است. اقلیدس مفهوم مکعب را معرفی می کند که به طور همزمان به معنای حجم شکل همنام و افزایش یک عدد به توان 3 است. و دموکریتوس در قرن پنجم قبل از میلاد برای اولین بار قاعده ای را برای یافتن حجم هرم تدوین کرد که طبق تحقیقات او همیشه برابر با 1/3 حجم منشوری هم ارتفاع و با همان ارتفاع است. پایه.

در دوره از قرن ششم تا دوم پیش از میلاد، ریاضیدانان یونان باستان همچنین یاد گرفتند که حجم منشورها، استوانه‌ها و مخروط‌ها را با استفاده از عدد پی که قبلاً کشف شده بود، محاسبه کنند، که برای محاسبه تمام ارقام گرد ضروری است. تحقیقات ارشمیدس اساس روش انتگرال حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل داد و او کشف اصلی خود را فرمولی دانست که بر اساس آن حجم یک توپ همیشه 2/3 کمتر از حجم استوانه توصیف شده در اطراف آن است. علاوه بر ارشمیدس، دموکریتوس و اودوکسوس کنیدوس نیز سهم زیادی در مطالعه هندسه داشتند.

زمان جدید

در دوران باستان، تمام فرمول‌های اساسی برای محاسبه ارقام سه‌بعدی به دست آمد، و قرون وسطی به استثنای محققان هندی (عمدتا براهماگوپتا)، که چندین هندسه را ایجاد کردند، یک کشف اساسی جدید در این زمینه ارائه نکرد. در قرون 6-7 با افزودن یک مقدار جدید - نیمه محیطی قوانین. یک رویکرد اساسی جدید فقط در دوران مدرن - در قرن های شانزدهم تا هفدهم - به کار گرفته شد.

دانشمند ایتالیایی بوناونتورا کاوالیری در کار خود "هندسه" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) در سال 1635، اصل جدیدی را برای یافتن حجم یک هرم پیشنهاد کرد و پایه و اساس توسعه بیشتر ریاضیات و ریاضیات را گذاشت. برای 300 سال آینده اصل این است که اگر در محل تلاقی دو جسم با هر صفحه موازی با یک صفحه معین، سطح مقطع برابر باشد، حجم این اجسام نیز برابر است.

قابل توجه است که تا قرن نوزدهم تعاریف دقیقی برای حجم اجسام سه بعدی وجود نداشت و تنها در سال 1887 توسط Giuseppe Peano و در سال 1892 توسط Marie Enmond Camille Jordan فرموله شد. طبق سیستم SI، متر مکعب به واحد اصلی اندازه گیری حجم تبدیل شد و تمام واحدهای دیگر (اونس، فوت، بشکه، بوشل) به عنوان واحدهای جایگزین باقی ماندند.

هندسه سه بعدی در قرن بیستم با توسعه انتزاع گرایی، علاقه خاصی را برانگیخت. در سال 1966، عکاس چارلز اف. کوکران، عکس معروف خود را از "جعبه دیوانه" از یک مکعب درون بیرون ساخت، پس از آن دانه های برف مکعبی، مکعب های شناور، تکرار شونده، دو طبقه و موارد دیگر وارد لیست اشکال سه بعدی غیرممکن شدند. هنر سه بعدی مدرن نیز بدون استفاده از فرمول های پذیرفته شده عمومی برای یافتن حجم غیرممکن است، که اگرچه توسط رایانه محاسبه شده است، اما قرن ها پیش ایجاد شده است.

نحوه محاسبه حجم (فرمولهای حجم)

اگر برای محاسبه محیط کافی است چندین عدد در یک ستون اضافه کنید، ممکن است برای تعیین حجم به یک ماشین حساب مهندسی یا یک برنامه آنلاین ویژه نیاز باشد. این در مورد تمام اشکال سه بعدی اصلی صدق می کند: مکعب، منشور، توپ، موازی، مخروط، استوانه، چهار وجهی و هرم.

مکعب

از آنجایی که طول تمام وجوه یک مکعب یکسان است و تمام زوایا 90 درجه هستند، محاسبه حجم این شکل ابتدایی است. برای او، استفاده از فرمولی با یک مجهول کافی است:

V = a³.

بر این اساس، V حجم مکعب، a طول وجه آن است. واحدهای صدا استاندارد هستند: متر، دسی متر، سانتی متر، میلی متر و غیره.

منشور

این شکل هندسی چندوجهی است که دو ضلع آن از نظر شکل و مساحت یکسان و در صفحات موازی هستند. و بین آنها مستطیل هایی کاملاً عمود بر پایه ها قرار دارد. دومی می تواند هر شکل چند وجهی داشته باشد: مثلث، پنج ضلعی، شش ضلعی. فرمول تعیین حجم در هر صورت یکسان به نظر می رسد:

V = Sₒ ⋅ ساعت.

در عبارت، h ارتفاع منشور و Sₒ مساحت قاعده آن است. دومی بر اساس فرمول مربوط به این شکل خاص محاسبه می شود، خواه مثلث، لوزی، ذوزنقه باشد.

پارالپیپ

این شکل یکی از انواع یک منشور است، اما اگر وجه‌های منشور کاملاً عمود بر پایه‌ها باشند، اولین شکل می‌تواند دارای منشورهایی باشد - با زوایایی غیر از 90 درجه. با این حال، فرمول محاسبه حجم یک جعبه یکسان است:

V = Sₒ ⋅ ساعت.

ارتفاع h از گوشه پایه بالایی به صورت عمود به پایین کشیده می شود و با لبه های اریب با گوشه پایه پایین منطبق نیست. اگر جعبه مستطیل باشد، حجم به صورت حاصل ضرب اضلاع محاسبه می شود:

V = a ⋅ b ⋅ h.

بر این اساس، a و b طول اضلاع پایه، h ارتفاع جعبه است. در این حالت، ارتفاع کاملاً با هر یک از لبه های جانبی منطبق است.

هرم

شکلی که محاسبه آن دشوارتر است، متشکل از یک پایه چند ضلعی و وجوه مثلثی، که تعداد آنها برابر با تعداد اضلاع پایه است. اگر مثلث باشد، 3 وجه وجود دارد، اگر مربع 4 باشد، اگر شش ضلعی 6 باشد. همه وجه های جانبی یک راس مشترک دارند و حجم با استفاده از فرمول جهانی محاسبه می شود:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ ساعت.

همانطور که در فرمول های قبلی، Sₒ مساحت پایه، h ارتفاع شکل است. عبارت هنگام تغییر پایه تغییر نمی کند و برای همه انواع اهرام یکسان است.

چهاروجهی منظم

این شکل دارای تمام زوایای دو وجهی در لبه‌ها برابر است و وجه‌ها مثلث متساوی الاضلاع هستند، از جمله قاعده. بنابراین، یک چهار وجهی منظم را می توان یک هرم مثلثی با چهار ضلع یکسان نامید. حجم آن با فرمول:

محاسبه می شود

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

فقط یک ناشناخته در عبارت وجود دارد - a که مربوط به طول لبه یک چهار وجهی منظم است. تمام لبه های آن یکسان است، بنابراین کافی است مکعب کنید، سپس در ریشه ضرب کنید و بر 12 تقسیم کنید.

سیلندر

این شکل هندسی از دو پایه گرد با قطر یکسان و موازی با یکدیگر تشکیل شده است. آنها توسط یک سطح جانبی پیوسته عمود بر پایه ها به هم متصل می شوند. دومی را می توان با دایره و بیضی نشان داد. در هر صورت، فرمول های محاسبه حجم یکسان هستند:

V = π ⋅ R² ⋅ ساعت.
V = Sₒ ⋅ ساعت.

در این معادلات، Sₒ مساحت قاعده استوانه، h ارتفاع استوانه و R شعاع پایه است. فرمول اول فقط برای سیلندرهایی با پایه گرد کامل و فرمول دوم برای همه سیلندرها از جمله بیضی و بیضی مناسب است.

مخروط

یکی دیگر از شکل‌های سه بعدی رایج، مخروط است، با پایه‌ای گرد و راس تیز. برای محاسبه حجم آن، می توانید از یکی از دو فرمول ریاضی استفاده کنید:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ ساعت.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ ساعت.

اولی فقط برای مخروط هایی با پایه گرد مناسب است و دومی جهانی است و می توان از آن برای محاسبه ارقام با پایه های بیضی و بیضی استفاده کرد. علامت گذاری در فرمول ها استاندارد است: Sₒ مساحت پایه، R شعاع پایه، h ارتفاع مخروط است.

توپ

در نهایت، برای محاسبه حجم یک کره، فقط به ثابت π (برابر با 3.14...) و شعاع آن نیاز دارید:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

بر این اساس، R شعاع توپ است که برای تعیین حجم این رقم کافی است.

برای اینکه زمان و معمای محاسبات پیچیده را هدر ندهید، می توانید از یک ماشین حساب مهندسی دکمه ای (یا نرم افزاری) با ریشه و درجه یا یک ماشین حساب آنلاین ویژه با فیلدهای خالی برای وارد کردن مشخصات فیگورهای سه بعدی استفاده کنید. .

ماشین حساب حجم

ابزارهای دیگر