Calculateur de volume

Le volume est l'une des caractéristiques géométriques les plus importantes : avec le périmètre et l'aire des figures. Mais cela ne peut être appliqué qu'aux corps tridimensionnels, qui sont caractérisés non seulement par la longueur et la largeur, mais aussi par la hauteur/épaisseur.

Sphères, cubes, cylindres, pyramides, cônes, parallélépipèdes - ce sont tous des figures en trois dimensions, dont le calcul est effectué selon des formules spéciales, dont beaucoup ont été découvertes par des scientifiques avant notre ère.

Contexte historique

Égypte ancienne et Babylone

La première preuve de l'utilisation de figures tridimensionnelles fait référence à l'Égypte ancienne, ou plutôt à sa construction et à son architecture. Ainsi, de majestueuses structures pyramidales ne pourraient être construites sans connaître les principes de base pour déterminer la masse et le volume. Cela signifie que les anciens Égyptiens, au moins, pouvaient calculer le volume des cubes, des prismes et des pyramides.

Un exemple frappant est le tombeau du pharaon Khéops, haut de 147 mètres, qui a une forme géométrique idéale de pyramide. Il est impossible de l'assembler à partir de briques et de blocs individuels de manière à ce qu'il ait résisté pendant plus de 4500 ans ; cela nécessite des calculs mathématiques et techniques de haute précision.

Il n'y a aucune preuve documentaire que les anciens Égyptiens et Babyloniens utilisaient des formules spécifiques pour calculer le volume, et peut-être qu'elles n'étaient utilisées que sous forme graphique et orale - suivant des principes distincts, pas des règles clairement formulées.

De l'ancienne Babylone, seules des tablettes d'argile nous sont parvenues, qui décrivent les règles de calcul d'une pyramide tronquée (incomplète), mais elles ne suffiraient pas pour la construction d'objets d'une telle échelle. On sait que de nombreuses civilisations anciennes calculaient le volume des figures élémentaires en multipliant l'aire de leur base par la hauteur, mais cela ne s'applique pas à des objets tels que les cônes, les pyramides, les tétraèdres. Bien qu'ils se retrouvent souvent dans l'architecture ancienne et qu'ils aient des proportions bien définies.

Grèce antique

Les principes de la recherche de volumes ont été plus clairement formulés dans la Grèce antique - du 5ème au 2ème siècle avant JC. Euclide introduit le concept de cube, qui désigne à la fois le volume de la figure du même nom et l'élévation d'un nombre à la puissance 3. Et Démocrite au 5ème siècle avant JC a formulé pour la première fois une règle pour trouver le volume d'une pyramide, qui, selon ses recherches, est toujours égal à 1/3 du volume d'un prisme de même hauteur et avec le même base.

Dans la période du 6ème au 2ème siècle avant JC, les mathématiciens grecs anciens ont également appris à calculer le volume des prismes, des cylindres et des cônes, en utilisant le nombre déjà découvert "pi", qui est nécessaire pour calculer tous les chiffres ronds. Les recherches d'Archimède ont formé la base de la méthode intégrale de calcul, et il considérait que sa principale découverte était la formule selon laquelle le volume d'une boule est toujours 2/3 inférieur au volume du cylindre décrit autour d'elle. En plus d'Archimède, Démocrite et Eudoxe de Cnide ont également apporté une grande contribution à l'étude de la géométrie.

Nouvelle heure

Pendant l'Antiquité, toutes les formules de base pour le calcul des figures tridimensionnelles ont été dérivées, et le Moyen Âge n'a pas donné une seule découverte fondamentalement nouvelle dans ce domaine - à l'exception des chercheurs indiens (principalement Brahmagupta), qui ont créé plusieurs géométries règles aux 6e-7e siècles avec l'ajout d'une nouvelle valeur - le demi-périmètre. Une approche fondamentalement nouvelle n'a été appliquée qu'à l'époque moderne - aux XVIe-XVIIe siècles.

Dans son ouvrage "Géométrie" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) de 1635, le scientifique italien Bonaventura Cavalieri a proposé un nouveau principe pour trouver le volume d'une pyramide et a jeté les bases du développement ultérieur des mathématiques et de la physique pour les 300 ans à venir. Le principe est que si à l'intersection de deux corps par un plan parallèle à un plan donné, les aires des sections sont égales, les volumes de ces corps sont également égaux.

Il est à noter que jusqu'au XIXe siècle, il n'y avait pas de définitions exactes des volumes des corps tridimensionnels, et elles n'ont été formulées qu'en 1887 par Giuseppe Peano et en 1892 par Marie Enmond Camille Jordan. Selon le système SI, le mètre cube est devenu l'unité principale de mesure du volume, et toutes les autres unités (onces, pieds, barils, boisseaux) sont restées alternatives.

La géométrie 3D a suscité un intérêt particulier au 20ème siècle, avec le développement de l'abstractionnisme. En 1966, le photographe Charles F. Cochran a créé sa célèbre photo "boîte folle" d'un cube à l'envers, après quoi des flocons de neige cubiques, des cubes flottants, répétitifs, à deux étages, etc. sont entrés dans la liste des formes 3D impossibles. L'art 3D moderne est également impossible sans l'utilisation de formules généralement acceptées pour trouver le volume, qui, bien que calculées par un ordinateur, ont été créées il y a plusieurs siècles.

Comment trouver le volume (formules de volume)

S'il suffit d'ajouter plusieurs nombres dans une colonne pour calculer le périmètre, une calculatrice technique ou une application en ligne spéciale peut être nécessaire pour déterminer le volume. Cela s'applique à toutes les figures tridimensionnelles de base : cube, prisme, boule, parallélépipède, cône, cylindre, tétraèdre et pyramide.

Cube

Étant donné que toutes les faces d'un cube ont la même longueur et que tous les angles sont de 90 degrés, le calcul du volume de cette figure est élémentaire. Pour lui, il suffit d'utiliser une formule à une inconnue :

V = a³.

En conséquence, V est le volume du cube, a est la longueur de sa face. Les unités de volume sont standard : mètre, décimètre, centimètre, millimètre, etc.

Prisme

Cette figure géométrique est un polyèdre dont les deux côtés ont la même forme et la même surface et sont dans des plans parallèles. Et entre eux se trouvent des rectangles strictement perpendiculaires aux bases. Ce dernier peut avoir n'importe quelle forme polyédrique : triangle, pentagone, hexagone. La formule pour déterminer le volume dans tous les cas est la même :

V = Sₒ ⋅ h.

Dans l'expression, h est la hauteur du prisme et Sₒ est l'aire de sa base. Ce dernier est calculé selon la formule correspondant à cette figure particulière, que ce soit un triangle, un losange, un trapèze.

Parallépipède

Cette figure est l'une des variétés d'un prisme, mais si les faces de ce dernier sont strictement perpendiculaires aux bases, alors la première peut avoir des biseautés - avec des angles autres que 90 degrés. Cependant, la formule de calcul du volume d'une boîte est la même :

V = Sₒ ⋅ h.

La hauteur h est dessinée à partir du coin de la base supérieure perpendiculairement vers le bas, et avec des bords biseautés ne coïncide pas avec le coin de la base inférieure. Si la boîte est rectangulaire, le volume est calculé comme le produit des côtés :

V = une ⋅ b ⋅ h.

En conséquence, a et b sont les longueurs des côtés de la base, h est la hauteur de la boîte. Dans ce cas, la hauteur coïncide complètement avec l'un des bords latéraux.

Pyramide

Une figure plus difficile à calculer, constituée d'une base polygonale et de faces triangulaires dont le nombre est égal au nombre de côtés de la base. Si c'est un triangle, il y a 3 faces, si un carré vaut 4, si un hexagone vaut 6. Toutes les faces latérales ont un sommet commun, et le volume est calculé à l'aide de la formule universelle :

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Comme dans les formules précédentes, Sₒ est l'aire de la base, h est la hauteur de la figure. L'expression ne change pas lors du changement de base, et est la même pour toutes les variétés de pyramides.

Tétraèdre régulier

Cette figure a tous les angles dièdres aux bords égaux, et les faces sont des triangles équilatéraux, y compris la base. Ainsi, un tétraèdre régulier peut être appelé une pyramide triangulaire à quatre côtés identiques. Son volume est calculé par la formule :

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Il n'y a qu'une seule inconnue dans l'expression - a, correspondant à la longueur de l'arête d'un tétraèdre régulier. Toutes les arêtes sont identiques, il suffit donc de réduire au cube, puis de multiplier par la racine et de diviser par 12.

Cylindre

Cette figure géométrique se compose de deux bases rondes, de diamètre identique et parallèles l'une à l'autre. Ils sont reliés entre eux par une surface latérale continue perpendiculaire aux bases. Ce dernier peut être représenté à la fois par des cercles et des ovales. Dans tous les cas, les formules de calcul du volume se ressemblent :

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

Dans ces équations, Sₒ est l'aire de la base du cylindre, h est la hauteur du cylindre et R est le rayon de la base. La première formule convient uniquement aux cylindres à base ronde parfaite, et la seconde formule convient à tous les cylindres, y compris ovales et elliptiques.

Cône

Une autre forme 3D courante est le cône, avec une base ronde et un sommet pointu. Pour calculer son volume, vous pouvez utiliser l'une des deux formules mathématiques :

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Le premier convient uniquement aux cônes à base ronde, et le second est universel et peut être utilisé pour calculer des figures à base ovale et ellipsoïde. La notation dans les formules est standard : Sₒ est l'aire de la base, R est le rayon de la base, h est la hauteur du cône.

Balle

Enfin, pour calculer le volume d'une sphère, vous n'avez besoin que de la constante π (égale à 3,14...), et de son rayon :

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

En conséquence, R est le rayon de la balle, ce qui est suffisant pour déterminer le volume de cette figure.

Afin de ne pas perdre de temps et de faire des calculs complexes, vous pouvez utiliser une calculatrice d'ingénierie à bouton-poussoir (ou logiciel) avec des racines et des degrés, ou une calculatrice en ligne spéciale avec des champs vides pour saisir les caractéristiques des figures en trois dimensions .

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