מחשבון נפח

נפח הוא אחד המאפיינים הגיאומטריים החשובים ביותר: יחד עם ההיקף והשטח של דמויות. אבל זה יכול להיות מיושם רק על גופים תלת מימדיים, אשר מאופיינים לא רק באורך ורוחב, אלא גם בגובה/עובי.

כדורים, קוביות, גלילים, פירמידות, קונוסים, מקבילים - כל אלה הם דמויות תלת מימדיות, שחישובן מתבצע על פי נוסחאות מיוחדות, שרבות מהן התגלו על ידי מדענים לפני תקופתנו.

רקע היסטורי

מצרים העתיקה ובבל

העדות הראשונה לשימוש בדמויות תלת מימדיות מתייחסת למצרים העתיקה, או ליתר דיוק, לבנייתה ולארכיטקטורה שלה. לפיכך, לא ניתן היה לבנות מבנים פירמידליים מלכותיים מבלי להכיר את העקרונות הבסיסיים לקביעת המסה והנפח. זה אומר שהמצרים הקדמונים, לפחות, יכלו לחשב את נפח הקוביות, הפריזמות והפירמידות.

דוגמה חיה היא קברו של פרעה צ'אופס, בגובה 147 מטר, שיש לו צורה גיאומטרית אידיאלית של פירמידה. אי אפשר להרכיב אותו מלבנים ובלוקים בודדים בצורה כזו שהיא עומדת יותר מ-4500 שנה; זה דורש חישובים מתמטיים והנדסיים מדויקים.

אין ראיות תיעודיות לכך שהמצרים והבבלים הקדמונים השתמשו בנוסחאות ספציפיות לחישוב נפח, ואולי הם שימשו רק בצורה גרפית ובעל פה - בעקבות עקרונות נפרדים, חוקים לא ברורים.

מבבל העתיקה הגיעו אלינו רק לוחות חרס, המתארים את הכללים לחישוב פירמידה קטומה (לא שלמה), אך הם לא יספיקו לבניית עצמים בקנה מידה כזה. ידוע שתרבויות עתיקות רבות חישבו את נפח הדמויות היסודיות על ידי הכפלת שטח הבסיס שלהן בגובה, אך זה לא חל על עצמים כמו קונוסים, פירמידות, טטרהדרות. למרות שהם נמצאים לעתים קרובות באדריכלות עתיקה ויש להם פרופורציות מוגדרות היטב.

יוון העתיקה

עקרונות מציאת כרכים נוסחו בצורה ברורה יותר ביוון העתיקה - מהמאות ה-5 עד ה-2 לפני הספירה. אוקלידס מציג את המושג קובייה, שמשמעותו בו זמנית הן נפח הדמות בעלת אותו השם והן העלאת מספר בחזקת 3. ודמוקריטוס במאה ה-5 לפני הספירה ניסח לראשונה כלל למציאת נפח פירמידה, שלפי מחקריו תמיד שווה ל-1/3 מנפחה של פריזמה באותו גובה ובאותו נפח. בסיס.

בתקופה שבין המאה ה-6 למאה ה-2 לפנה"ס, גם מתמטיקאים יווניים עתיקים למדו לחשב את נפח המנסרות, הגלילים והקונוסים, באמצעות המספר שכבר התגלה "pi", הדרוש לחישוב כל הדמויות העגולות. מחקרו של ארכימדס היווה את הבסיס לשיטת החשבון האינטגרלית, והוא ראה בתגליתו העיקרית הנוסחה לפיה נפח הכדור תמיד קטן ב-2/3 מנפח הגליל המתואר סביבו. בנוסף לארכימדס, גם דמוקריטוס ו-Eudoxus of Cnidus תרמו תרומה רבה לחקר הגיאומטריה.

זמן חדש

בתקופת העת העתיקה, נגזרו כל הנוסחאות הבסיסיות לחישוב דמויות תלת מימדיות, וימי הביניים לא נתנו ולו תגלית חדשה מהותית בתחום זה - למעט חוקרים הודים (בעיקר Brahmagupta), שיצרו כמה גיאומטרים שולט במאות ה-6-7 בתוספת ערך חדש - החצי-פרימטר. גישה חדשה ביסודה יושמה רק בתקופה המודרנית - במאות ה-16-17.

בעבודתו "גיאומטריה" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) משנת 1635, הציע המדען האיטלקי Bonaventura Cavalieri עיקרון חדש למציאת נפח הפירמידה, והניח את היסודות להמשך הפיתוח של המתמטיקה והפיסיקה ל-300 שנה קדימה. העיקרון הוא שאם במפגש של שני גופים על ידי מישור כלשהו המקביל למישור נתון כלשהו, שטחי החתך שווים, הנפחים של הגופים הללו שווים גם הם.

ראוי לציין שעד המאה ה-19 לא היו הגדרות מדויקות לנפחים של גופים תלת מימדיים, והם נוסחו רק בשנת 1887 על ידי ג'וזפה פיאנו, ובשנת 1892 על ידי מארי אנמונד קמיל ג'ורדן. לפי מערכת SI, המטר מעוקב הפך ליחידת המדידה העיקרית של נפח, וכל שאר היחידות (אונקיות, רגל, חביות, בושלים) נשארו כאלטרנטיבות.

גיאומטריה תלת מימדית עוררה עניין מיוחד במאה ה-20, עם התפתחות ההפשטה. בשנת 1966, הצלם צ'ארלס פ. קוקרן יצר את תמונת "הקופסה המטורפת" המפורסמת שלו של קובייה מבפנים החוצה, שלאחריה נכנסו פתיתי שלג קוביים, צפים, חוזרים, קוביות דו-קומתיות ועוד לרשימת צורות התלת-ממד הבלתי אפשריות. אמנות תלת מימד מודרנית היא גם בלתי אפשרית ללא שימוש בנוסחאות מקובלות למציאת נפח, שלמרות שחושבו על ידי מחשב, נוצרו לפני מאות שנים רבות.

אם מספיק להוסיף מספר מספרים בעמודה כדי לחשב את ההיקף, ייתכן שיידרש מחשבון הנדסי או יישום מקוון מיוחד כדי לקבוע את הנפח. זה חל על כל הדמויות התלת מימדיות הבסיסיות: קובייה, פריזמה, כדור, מקבילית, חרוט, גליל, טטרהדרון ופירמידה.

קוביה

מכיוון שכל פני הקוביה זהים באורך וכל הזוויות הן 90 מעלות, החישוב של נפח האיור הזה הוא יסודי. בשבילו, מספיק להשתמש בנוסחה עם אחד לא ידוע:

V = a³.

בהתאם לכך, V הוא נפח הקוביה, a הוא אורך פניה. יחידות נפח הן סטנדרטיות: מטר, דצימטר, סנטימטר, מילימטר וכן הלאה.

מנסרה

דמות גיאומטרית זו היא רב-הדרון, ששתי צלעותיו זהות בצורתן ובשטחן ונמצאות במישורים מקבילים. וביניהם מלבנים בניצב למהדרין לבסיסים. זה האחרון יכול להיות כל צורה פוליהדרלית: משולש, מחומש, משושה. הנוסחה לקביעת הנפח בכל מקרה נראית זהה:

V = Sₒ ⋅ h.

בביטוי, h הוא גובה הפריזמה, ו-Sₒ הוא שטח הבסיס שלה. זה האחרון מחושב לפי הנוסחה המתאימה לדמות המסוימת הזו, בין אם זה משולש, מעוין, טרפז.

מקביל

נתון זה הוא אחד מהזנים של פריזמה, אך אם פניה של האחרונה מאונכים בהחלט לבסיסים, אזי לראשון יכולים להיות משופעים - עם זוויות שאינן 90 מעלות. עם זאת, הנוסחה לחישוב נפח התיבה נראית זהה:

V = Sₒ ⋅ h.

גובה h נמשך מפינת הבסיס העליון בניצב כלפי מטה, ועם קצוות משופעים אינו עולה בקנה אחד עם פינת הבסיס התחתון. אם הקופסה מלבנית, הנפח מחושב כמכפלת הצדדים:

V = a ⋅ b ⋅ h.

בהתאם, a ו-b הם אורכי צלעות הבסיס, h הוא גובה התיבה. במקרה זה, הגובה עולה בקנה אחד עם כל אחד מהקצוות הצדדיים.

פירמידה

נתון קשה יותר לחישוב, המורכב מבסיס מצולע ומפנים משולשים, שמספרם שווה למספר צלעות הבסיס. אם זה משולש, יש 3 פרצופים, אם ריבוע הוא 4, אם משושה הוא 6. לכל פני הצד יש קודקוד משותף, והנפח מחושב באמצעות הנוסחה האוניברסלית:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

כמו בנוסחאות הקודמות, Sₒ הוא שטח הבסיס, h הוא גובה הדמות. הביטוי אינו משתנה בעת שינוי הבסיס, והוא זהה עבור כל סוגי הפירמידות.

טטרהדרון רגיל

לדמות זו יש כל הזוויות הדו-הדרליות בקצוות שוות, והפנים הם משולשים שווי צלעות, כולל הבסיס. לפיכך, טטרהדרון רגיל יכול להיקרא פירמידה משולשת בעלת ארבע צלעות זהות. נפחו מחושב על ידי הנוסחה:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

יש רק אחד לא ידוע בביטוי - a, המתאים לאורך הקצה של טטרהדרון רגיל. כל הקצוות בו זהים, אז די בקובייה, ואז להכפיל בשורש ולחלק ב-12.

צילינדר

דמות גיאומטרית זו מורכבת משני בסיסים עגולים, זהים בקוטר ומקבילים זה לזה. הם מחוברים זה לזה על ידי משטח צד רציף אחד בניצב לבסיסים. זה האחרון יכול להיות מיוצג הן על ידי עיגולים והן אליפסות. בכל מקרה, הנוסחאות לחישוב הנפח נראות זהות:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

במשוואות אלו, Sₒ הוא שטח בסיס הגליל, h הוא גובה הגליל, ו-R הוא רדיוס הבסיס. הנוסחה הראשונה מתאימה רק לצילינדרים בעלי בסיס עגול מושלם, והנוסחה השנייה מתאימה לכל הצילינדרים, כולל סגלגל ואליפטי.

קונוס

צורת תלת-ממד נפוצה נוספת היא החרוט, עם בסיס עגול וקודקוד חד. כדי לחשב את הנפח שלו, אתה יכול להשתמש באחת משתי נוסחאות מתמטיות:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

הראשון מתאים רק לקונוסים בעלי בסיס עגול, והשני הוא אוניברסלי, וניתן להשתמש בו לחישוב דמויות עם בסיס סגלגל ואליפסואידי. הסימון בנוסחאות הוא סטנדרטי: Sₒ הוא שטח הבסיס, R הוא רדיוס הבסיס, h הוא גובה החרוט.

כדור

לבסוף, כדי לחשב את הנפח של כדור, אתה צריך רק את הקבוע π (שווה ל-3.14...), ואת הרדיוס שלו:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

בהתאם לכך, R הוא הרדיוס של הכדור, וזה מספיק כדי לקבוע את נפח האיור הזה.

כדי לא לבזבז זמן ולהתלבט על חישובים מורכבים, ניתן להשתמש במחשבון הנדסי בלחיצת כפתור (או תוכנה) עם שורשים ומעלות, או מחשבון מקוון מיוחד עם שדות ריקים להזנת מאפיינים של דמויות תלת מימדיות .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

מחשבון נפח