वॉल्यूम कैलकुलेटर

आयतन सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय विशेषताओं में से एक है: आंकड़ों की परिधि और क्षेत्र के साथ। लेकिन इसे केवल त्रि-आयामी निकायों पर ही लागू किया जा सकता है, जिनकी विशेषता न केवल लंबाई और चौड़ाई, बल्कि ऊंचाई/मोटाई भी होती है।

गोले, घन, बेलन, पिरामिड, शंकु, समांतर चतुर्भुज - ये सभी त्रि-आयामी आकृतियाँ हैं, जिनकी गणना विशेष सूत्रों के अनुसार की जाती है, जिनमें से कई हमारे युग से पहले वैज्ञानिकों द्वारा खोजे गए थे।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

प्राचीन मिस्र और बेबीलोन

त्रि-आयामी आकृतियों के उपयोग का पहला प्रमाण प्राचीन मिस्र, या यूं कहें कि इसके निर्माण और वास्तुकला को संदर्भित करता है। इस प्रकार, द्रव्यमान और आयतन निर्धारित करने के बुनियादी सिद्धांतों को जाने बिना राजसी पिरामिड संरचनाएं नहीं बनाई जा सकतीं। इसका मतलब यह है कि प्राचीन मिस्रवासी, कम से कम, घनों, प्रिज्मों और पिरामिडों के आयतन की गणना कर सकते थे।

एक ज्वलंत उदाहरण 147 मीटर ऊंचा फिरौन चेओप्स का मकबरा है, जिसमें एक पिरामिड का आदर्श ज्यामितीय आकार है। इसे अलग-अलग ईंटों और ब्लॉकों से इस तरह से एक साथ रखना असंभव है कि यह 4500 से अधिक वर्षों से खड़ा है; इसके लिए उच्च-सटीक गणितीय और इंजीनियरिंग गणना की आवश्यकता होती है।

इस बात का कोई दस्तावेजी प्रमाण नहीं है कि प्राचीन मिस्र और बेबीलोनियों ने आयतन की गणना के लिए विशिष्ट सूत्रों का उपयोग किया था, और शायद उनका उपयोग केवल ग्राफिक और मौखिक रूप में किया गया था - अलग-अलग सिद्धांतों का पालन करते हुए, स्पष्ट रूप से तैयार किए गए नियमों का नहीं।

प्राचीन बेबीलोन से, केवल मिट्टी की गोलियाँ ही हमारे पास आई हैं, जो एक काटे गए (पूर्ण नहीं) पिरामिड की गणना के नियमों का वर्णन करती हैं, लेकिन वे ऐसे पैमाने की वस्तुओं के निर्माण के लिए पर्याप्त नहीं होंगी। यह ज्ञात है कि कई प्राचीन सभ्यताओं ने प्राथमिक आकृतियों के आयतन की गणना उनके आधार के क्षेत्रफल को ऊंचाई से गुणा करके की थी, लेकिन यह शंकु, पिरामिड, टेट्राहेड्रा जैसी वस्तुओं पर लागू नहीं है। हालाँकि वे अक्सर प्राचीन वास्तुकला में पाए जाते हैं और उनका अनुपात अच्छी तरह से परिभाषित होता है।

प्राचीन ग्रीस

आयतन खोजने के सिद्धांत प्राचीन ग्रीस में अधिक स्पष्ट रूप से तैयार किए गए थे - 5वीं से दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व तक। यूक्लिड ने एक घन की अवधारणा प्रस्तुत की, जिसका अर्थ एक ही नाम की आकृति का आयतन और किसी संख्या को तीसरी घात तक बढ़ाना दोनों है। और 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में डेमोक्रिटस ने पहली बार एक पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए एक नियम बनाया, जो उनके शोध के अनुसार, हमेशा समान ऊंचाई और समान के साथ प्रिज्म के आयतन के 1/3 के बराबर होता है। आधार।

छठी से दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व की अवधि में, प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने पहले से ही खोजी गई संख्या "पाई" का उपयोग करके प्रिज्म, सिलेंडर और शंकु की मात्रा की गणना करना भी सीखा, जो कि सभी गोल आंकड़ों की गणना के लिए आवश्यक है। आर्किमिडीज़ के शोध ने कैलकुलस की अभिन्न विधि को आधार बनाया और उन्होंने अपनी मुख्य खोज को वह सूत्र माना जिसके अनुसार एक गेंद का आयतन हमेशा उसके चारों ओर वर्णित सिलेंडर के आयतन से 2/3 कम होता है। आर्किमिडीज़ के अलावा, डेमोक्रिटस और कनिडस के यूडोक्सस ने भी ज्यामिति के अध्ययन में महान योगदान दिया।

नया समय

प्राचीन काल में, त्रि-आयामी आकृतियों की गणना के लिए सभी बुनियादी सूत्र प्राप्त किए गए थे, और मध्य युग ने इस क्षेत्र में एक भी मौलिक नई खोज नहीं दी - भारतीय शोधकर्ताओं (मुख्य रूप से ब्रह्मगुप्त) के अपवाद के साथ, जिन्होंने कई ज्यामितीय रचनाएं कीं 6ठी-7वीं शताब्दी में एक नए मूल्य - अर्ध-परिधि के साथ नियम। मौलिक रूप से नया दृष्टिकोण केवल आधुनिक समय में - XVI-XVII सदियों में लागू किया गया था।

1635 के अपने काम "ज्यामिति" (जियोमेट्रिया इंडिविसिबिलिबस कंटिन्यूओरम नोवा क्वाडम राशन प्रोमोटा) में, इतालवी वैज्ञानिक बोनावेंटुरा कैवेलियरी ने पिरामिड का आयतन खोजने के लिए एक नया सिद्धांत प्रस्तावित किया, और गणित और भौतिकी के आगे के विकास की नींव रखी। आने वाले 300 वर्षों के लिए। सिद्धांत यह है कि यदि किसी दिए गए विमान के समानांतर किसी भी विमान द्वारा दो निकायों के चौराहे पर, क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र बराबर होते हैं, तो इन निकायों की मात्रा भी बराबर होती है।

यह उल्लेखनीय है कि 19वीं शताब्दी तक त्रि-आयामी निकायों की मात्रा के लिए कोई सटीक परिभाषा नहीं थी, और उन्हें केवल 1887 में ग्यूसेप पीनो द्वारा और 1892 में मैरी एनमंड केमिली जॉर्डन द्वारा तैयार किया गया था। एसआई प्रणाली के अनुसार, क्यूबिक मीटर आयतन मापने की मुख्य इकाई बन गया, और अन्य सभी इकाइयाँ (औंस, फीट, बैरल, बुशेल) वैकल्पिक के रूप में बनी रहीं।

अमूर्तवाद के विकास के साथ, 20वीं शताब्दी में 3डी ज्यामिति ने विशेष रुचि जगाई। 1966 में, फ़ोटोग्राफ़र चार्ल्स एफ. कोचरन ने अंदर-बाहर वाले क्यूब की अपनी प्रसिद्ध "क्रेजी बॉक्स" तस्वीर बनाई, जिसके बाद क्यूबिक स्नोफ्लेक्स, फ्लोटिंग, रिपीटिंग, दो-मंजिला क्यूब्स और बहुत कुछ असंभव 3 डी आकृतियों की सूची में शामिल हो गए। आधुनिक 3डी कला भी आयतन ज्ञात करने के लिए आम तौर पर स्वीकृत फ़ार्मुलों के उपयोग के बिना असंभव है, जिनकी गणना कंप्यूटर द्वारा की जाती है, लेकिन कई सदियों पहले बनाई गई थी।

यदि परिधि की गणना करने के लिए किसी कॉलम में कई संख्याएँ जोड़ना पर्याप्त है, तो आयतन निर्धारित करने के लिए एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर या एक विशेष ऑनलाइन एप्लिकेशन की आवश्यकता हो सकती है। यह सभी बुनियादी त्रि-आयामी आकृतियों पर लागू होता है: घन, प्रिज्म, गेंद, समानांतर चतुर्भुज, शंकु, सिलेंडर, टेट्राहेड्रोन और पिरामिड।

घन

चूंकि एक घन के सभी फलकों की लंबाई समान होती है और सभी कोण 90 डिग्री के होते हैं, इसलिए इस आकृति के आयतन की गणना प्राथमिक है। उसके लिए, एक अज्ञात के साथ एक सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है:

V = a³.

तदनुसार, V घन का आयतन है, a उसके फलक की लंबाई है। आयतन इकाइयाँ मानक हैं: मीटर, डेसीमीटर, सेंटीमीटर, मिलीमीटर इत्यादि।

प्रिज्म

यह ज्यामितीय आकृति एक बहुफलक है, जिसकी दोनों भुजाएँ आकार और क्षेत्रफल में समान हैं और समानांतर तलों में हैं। और उनके बीच आधारों के बिल्कुल लंबवत आयत हैं। उत्तरार्द्ध में कोई भी बहुफलकीय आकार हो सकता है: त्रिकोण, पंचकोण, षट्भुज। किसी भी स्थिति में आयतन निर्धारित करने का सूत्र समान दिखता है:

V = Sₒ ⋅ h.

अभिव्यक्ति में, h प्रिज्म की ऊंचाई है, और Sₒ इसके आधार का क्षेत्र है। उत्तरार्द्ध की गणना इस विशेष आकृति के अनुरूप सूत्र के अनुसार की जाती है, चाहे वह एक त्रिकोण हो, एक समचतुर्भुज हो, एक समलम्ब हो।

पैरालेपाइप्ड

यह आकृति प्रिज्म की किस्मों में से एक है, लेकिन यदि बाद वाले के चेहरे आधारों के बिल्कुल लंबवत हैं, तो पहले वाले में बेवल वाले हो सकते हैं - 90 डिग्री के अलावा अन्य कोणों के साथ। हालाँकि, किसी बॉक्स के आयतन की गणना करने का सूत्र समान दिखता है:

V = Sₒ ⋅ h.

ऊंचाई h ऊपरी आधार के कोने से लंबवत नीचे की ओर खींची गई है, और बेवेल्ड किनारों के साथ निचले आधार के कोने से मेल नहीं खाती है। यदि बॉक्स आयताकार है, तो आयतन की गणना पक्षों के गुणनफल के रूप में की जाती है:

V = a ⋅ b ⋅ h.

तदनुसार, a और b आधार की भुजाओं की लंबाई हैं, h बॉक्स की ऊंचाई है। इस मामले में, ऊंचाई पूरी तरह से किसी भी किनारे के साथ मेल खाती है।

पिरामिड

एक आकृति की गणना करना अधिक कठिन है, जिसमें एक बहुभुज आधार और त्रिकोणीय फलक शामिल हैं, जिनकी संख्या आधार की भुजाओं की संख्या के बराबर है। यदि यह एक त्रिभुज है, तो 3 फलक हैं, यदि एक वर्ग है तो 4 है, यदि एक षट्भुज है तो 6 है। सभी पार्श्व फलकों में एक सामान्य शीर्ष है, और आयतन की गणना सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

पिछले सूत्रों की तरह, Sₒ आधार का क्षेत्रफल है, h आकृति की ऊंचाई है। आधार बदलने पर अभिव्यक्ति नहीं बदलती है, और सभी प्रकार के पिरामिडों के लिए समान है।

नियमित चतुष्फलक

इस आकृति में किनारों पर सभी विकर्ण कोण समान हैं, और आधार सहित फलक समबाहु त्रिभुज हैं। इस प्रकार, एक नियमित चतुष्फलक को चार समान भुजाओं वाला त्रिकोणीय पिरामिड कहा जा सकता है। इसकी मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

अभिव्यक्ति में केवल एक अज्ञात है - ए, एक नियमित टेट्राहेड्रोन के किनारे की लंबाई के अनुरूप। इसमें सभी किनारे समान हैं, इसलिए यह घन करने के लिए पर्याप्त है, फिर मूल से गुणा करें और 12 से विभाजित करें।

सिलेंडर

इस ज्यामितीय आकृति में दो गोल आधार हैं, जो व्यास में समान हैं और एक दूसरे के समानांतर हैं। वे आधारों के लंबवत् एक सतत पार्श्व सतह द्वारा आपस में जुड़े हुए हैं। उत्तरार्द्ध को वृत्त और अंडाकार दोनों द्वारा दर्शाया जा सकता है। किसी भी स्थिति में, आयतन की गणना के सूत्र समान दिखते हैं:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

इन समीकरणों में, Sₒ सिलेंडर के आधार का क्षेत्रफल है, h सिलेंडर की ऊंचाई है, और R आधार की त्रिज्या है। पहला सूत्र केवल पूर्ण गोल आधार वाले सिलेंडरों के लिए उपयुक्त है, और दूसरा सूत्र अंडाकार और अण्डाकार सहित सभी सिलेंडरों के लिए उपयुक्त है।

शंकु

एक अन्य सामान्य 3डी आकार शंकु है, जिसका आधार गोल और शीर्ष नुकीला है। इसकी मात्रा की गणना करने के लिए, आप दो गणितीय सूत्रों में से एक का उपयोग कर सकते हैं:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

पहला केवल गोल आधार वाले शंकुओं के लिए उपयुक्त है, और दूसरा सार्वभौमिक है, और इसका उपयोग अंडाकार और दीर्घवृत्ताभ आधार वाले आंकड़ों की गणना करने के लिए किया जा सकता है। सूत्रों में अंकन मानक है: Sₒ आधार का क्षेत्र है, R आधार की त्रिज्या है, h शंकु की ऊंचाई है।

गेंद

अंत में, एक गोले के आयतन की गणना करने के लिए, आपको केवल स्थिरांक π (3.14... के बराबर), और इसकी त्रिज्या की आवश्यकता है:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

तदनुसार, R गेंद की त्रिज्या है, जो इस आंकड़े का आयतन निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है।

जटिल गणनाओं पर समय और पहेली बर्बाद न करने के लिए, आप जड़ों और डिग्री के साथ एक पुश-बटन (या सॉफ़्टवेयर) इंजीनियरिंग कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं, या त्रि-आयामी आंकड़ों की विशेषताओं को दर्ज करने के लिए खाली फ़ील्ड वाले एक विशेष ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं। .

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