Kalkulator volumena

Volumen je jedna od najvažnijih geometrijskih karakteristika: uz opseg i površinu figura. Ali može se primijeniti samo na trodimenzionalna tijela, koja se ne odlikuju samo duljinom i širinom, već i visinom/debljinom.

Kugle, kocke, cilindri, piramide, stošci, paralelepipedi - sve su to trodimenzionalne figure, čiji se izračun provodi prema posebnim formulama, od kojih su mnoge znanstvenici otkrili prije naše ere.

Povijesna pozadina

Stari Egipat i Babilon

Prvi dokazi o korištenju trodimenzionalnih figura odnose se na Stari Egipat, odnosno na njegovu konstrukciju i arhitekturu. Dakle, veličanstvene piramidalne građevine ne bi se mogle graditi bez poznavanja osnovnih principa za određivanje mase i volumena. To znači da su stari Egipćani barem mogli izračunati obujam kocki, prizmi i piramida.

Živopisan primjer je grobnica faraona Keopsa, visoka 147 metara, koja ima idealan geometrijski oblik piramide. Nemoguće ga je sastaviti od pojedinačnih cigli i blokova na takav način da stoji više od 4500 godina; za to su potrebni matematički i inženjerski izračuni visoke preciznosti.

Ne postoje dokumentarni dokazi da su stari Egipćani i Babilonci koristili posebne formule za izračunavanje volumena, a možda su se koristile samo u grafičkom i usmenom obliku - slijedeći odvojena načela, a ne jasno formulirana pravila.

Iz starog Babilona do nas su došle samo glinene pločice koje opisuju pravila za izračunavanje krnje (ne potpune) piramide, ali one ne bi bile dovoljne za gradnju objekata takvih razmjera. Poznato je da su mnoge drevne civilizacije izračunavale volumen elementarnih figura množenjem površine njihove baze s visinom, ali to nije primjenjivo na objekte kao što su stošci, piramide, tetraedri. Iako se često nalaze u drevnoj arhitekturi i imaju dobro definirane proporcije.

Stara Grčka

Načela pronalaženja svezaka jasnije su formulirana u staroj Grčkoj - od 5. do 2. stoljeća prije Krista. Euklid uvodi pojam kocke, koji istovremeno označava i volumen istoimene figure i dizanje broja na 3. potenciju. A Demokrit je u 5. stoljeću prije Krista prvi put formulirao pravilo za pronalaženje volumena piramide, koji je prema njegovim istraživanjima uvijek jednak 1/3 volumena prizme iste visine i s istim baza.

U razdoblju od 6. do 2. stoljeća prije Krista starogrčki matematičari također su naučili izračunati obujam prizmi, valjka i stošca, koristeći već otkriveni broj "pi", koji je neophodan za izračunavanje svih okruglih brojeva. Arhimedova su istraživanja bila temelj integralne metode računa, a svojim glavnim otkrićem smatrao je formulu prema kojoj je volumen lopte uvijek 2/3 manji od volumena cilindra koji je oko nje opisan. Osim Arhimeda, veliki doprinos proučavanju geometrije dali su i Demokrit i Eudoks iz Knida.

Novo vrijeme

Tijekom antike izvedene su sve osnovne formule za izračunavanje trodimenzionalnih figura, a srednji vijek nije dao niti jedno temeljno novo otkriće u ovom području - s iznimkom indijskih istraživača (uglavnom Brahmagupta), koji su stvorili nekoliko geometrijskih vlada u 6.-7.st.s dodatkom nove vrijednosti – poluoboda. Temeljito novi pristup primijenjen je tek u moderno doba - u XVI-XVII stoljeću.

U svom djelu "Geometrija" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) iz 1635. talijanski znanstvenik Bonaventura Cavalieri predložio je novi princip za pronalaženje volumena piramide i postavio temelje za daljnji razvoj matematike i fizike za 300 godina koji dolaze. Načelo je da ako su u sjecištu dvaju tijela bilo kojom ravninom paralelnom s nekom zadanom ravninom površine poprečnih presjeka jednake, volumeni tih tijela također su jednaki.

Zanimljivo je da sve do 19. stoljeća nije bilo točnih definicija za volumene trodimenzionalnih tijela, a formulirao ih je tek 1887. Giuseppe Peano, a 1892. Marie Enmond Camille Jordan. Prema SI sustavu, kubični metar postao je glavna jedinica za mjerenje volumena, a sve ostale jedinice (unce, stope, bareli, bušeli) ostale su kao alternativne.

3D geometrija pobudila je poseban interes u 20. stoljeću, s razvojem apstrakcionizma. Godine 1966. fotograf Charles F. Cochran napravio je svoju poznatu fotografiju "lude kutije" kocke okrenute iznutra prema van, nakon čega su kubične snježne pahulje, lebdeće, ponavljajuće, dvokatne kocke i još mnogo toga ušle na popis nemogućih 3D oblika. Moderna 3D umjetnost također je nemoguća bez korištenja općeprihvaćenih formula za određivanje volumena, koje su, iako računalno izračunate, stvorene prije mnogo stoljeća.

Kako pronaći volumen (formule za volumen)

Ako je za izračun opsega dovoljno dodati nekoliko brojeva u stupac, tada će za određivanje volumena možda biti potreban inženjerski kalkulator ili posebna online aplikacija. Ovo se odnosi na sve osnovne trodimenzionalne figure: kocku, prizmu, loptu, paralelopiped, stožac, cilindar, tetraedar i piramidu.

Kocka

Budući da su sve stranice kocke iste duljine i svi kutovi imaju 90 stupnjeva, izračun volumena ove figure je elementaran. Za njega je dovoljno koristiti formulu s jednom nepoznatom:

V = a³.

Prema tome, V je volumen kocke, a je duljina njezine strane. Jedinice za volumen su standardne: metar, decimetar, centimetar, milimetar i tako dalje.

Prizma

Ova geometrijska figura je poliedar, čije su dvije strane istog oblika i površine i nalaze se u paralelnim ravninama. A između njih su pravokutnici strogo okomiti na baze. Potonji može imati bilo koji poliedarski oblik: trokut, peterokut, šesterokut. Formula za određivanje volumena u svakom slučaju izgleda isto:

V = Sₒ ⋅ h.

U izrazu, h je visina prizme, a Sₒ je površina njezine baze. Potonji se izračunava prema formuli koja odgovara ovoj određenoj figuri, bilo da se radi o trokutu, rombu, trapezu.

Paralepiped

Ova je figura jedna od varijanti prizme, ali ako su lica potonje strogo okomite na baze, tada prva može imati zakošene - s kutovima koji nisu 90 stupnjeva. Međutim, formula za izračun volumena kutije izgleda isto:

V = Sₒ ⋅ h.

Visina h povučena je iz kuta gornje baze okomito prema dolje, a zakošenim rubovima ne poklapa se s kutom donje baze. Ako je okvir pravokutan, volumen se izračunava kao umnožak stranica:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Prema tome, a i b su duljine stranica baze, h je visina kutije. U ovom slučaju, visina se potpuno podudara s bilo kojim bočnim rubom.

Piramida

Lik koji je teže izračunati, a sastoji se od poligonalne baze i trokutastih stranica, čiji je broj jednak broju stranica baze. Ako je trokut, ima 3 lica, ako je kvadrat 4, ako je šesterokut 6. Sve bočne strane imaju zajednički vrh, a volumen se izračunava pomoću univerzalne formule:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Kao u prethodnim formulama, Sₒ je površina baze, h je visina figure. Izraz se ne mijenja pri promjeni baze i isti je za sve varijante piramida.

Pravilan tetraedar

Ova figura ima jednake sve diedralne kutove na rubovima, a lica su jednakostraničnog trokuta, uključujući bazu. Stoga se pravilni tetraedar može nazvati trokutastom piramidom s četiri identične strane. Njegov volumen izračunava se formulom:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Postoji samo jedna nepoznanica u izrazu - a, koja odgovara duljini brida pravilnog tetraedra. Svi bridovi u njemu su isti, pa je dovoljno sastaviti na kocku, zatim pomnožiti s korijenom i podijeliti s 12.

Cilindar

Ova geometrijska figura sastoji se od dvije okrugle baze, identičnog promjera i paralelne jedna s drugom. Oni su međusobno povezani jednom kontinuiranom bočnom plohom okomitom na baze. Potonji se mogu prikazati i krugovima i ovalima. U svakom slučaju, formule za izračun volumena izgledaju isto:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

U ovim jednadžbama, Sₒ je površina baze cilindra, h je visina cilindra, a R je polumjer baze. Prva formula je prikladna samo za cilindre sa savršenom okruglom bazom, a druga formula je prikladna za sve cilindre, uključujući ovalne i eliptične.

Konus

Još jedan uobičajeni 3D oblik je stožac, s okruglom bazom i oštrim vrhom. Da biste izračunali njegov volumen, možete koristiti jednu od dvije matematičke formule:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Prvi je prikladan samo za čunjeve s okruglom bazom, a drugi je univerzalan i može se koristiti za izračunavanje likova s ovalnom i elipsoidnom bazom. Oznaka u formulama je standardna: Sₒ je površina baze, R je polumjer baze, h je visina konusa.

Lopta

Konačno, da biste izračunali obujam sfere, potrebna vam je samo konstanta π (jednaka 3,14...) i njen polumjer:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Prema tome, R je polumjer lopte, što je dovoljno za određivanje volumena ove figure.

Kako ne biste gubili vrijeme i razmišljali o složenim izračunima, možete koristiti tipkasti (ili softverski) inženjerski kalkulator s korijenima i stupnjevima ili poseban online kalkulator s praznim poljima za unos karakteristika trodimenzionalnih figura .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Kalkulator volumena