Térfogatszámítás

A térfogat az egyik legfontosabb geometriai jellemző: az alakzatok kerületével és területével együtt. De csak háromdimenziós testekre alkalmazható, amelyeket nem csak a hosszúság és a szélesség, hanem a magasság/vastagság is jellemez.

Gömbök, kockák, hengerek, piramisok, kúpok, paralelepipedonok – ezek mind háromdimenziós figurák, amelyek kiszámítása speciális képletek alapján történik, amelyek közül sokat a tudósok fedeztek fel még korszakunk előtt.

Történelmi háttér

Az ókori Egyiptom és Babilon

A háromdimenziós figurák használatának első bizonyítéka az ókori Egyiptomra, pontosabban annak felépítésére és építészetére vonatkozik. Így fenséges gúla alakú építményeket nem lehetett építeni a tömeg és térfogat meghatározásának alapelvei ismerete nélkül. Ez azt jelenti, hogy az ókori egyiptomiak legalább ki tudták számítani a kockák, prizmák és piramisok térfogatát.

Egy szemléletes példa erre Kheopsz fáraó 147 méter magas sírja, amely ideális geometrikus piramis alakú. Egyedi téglákból és tömbökből nem lehet úgy összerakni, hogy több mint 4500 éve álljon, ehhez nagy pontosságú matematikai és mérnöki számítások szükségesek.

Nincs okirati bizonyíték arra, hogy az ókori egyiptomiak és babilóniaiak speciális képleteket használtak volna a térfogat kiszámításához, és talán csak grafikus és szóbeli formában használták őket – külön elvek, nem egyértelműen megfogalmazott szabályok szerint.

Az ókori Babilonból csak agyagtáblák jutottak el hozzánk, amelyek leírják a csonka (nem teljes) piramis kiszámításának szabályait, de ezek nem lennének elegendőek ilyen léptékű objektumok felépítéséhez. Ismeretes, hogy sok ókori civilizáció úgy számította ki az elemi alakok térfogatát, hogy alapjuk területét megszorozta a magassággal, de ez nem vonatkozik az olyan tárgyakra, mint a kúpok, piramisok, tetraéderek. Bár gyakran megtalálhatók az ókori építészetben, és jól meghatározott arányokkal rendelkeznek.

Az ókori Görögország

A kötetek felkutatásának alapelveit az ókori Görögországban – a Kr.e. 5. és 2. század között – pontosabban fogalmazták meg. Euklidész bevezeti a kocka fogalmát, amely egyszerre jelenti az azonos nevű alak térfogatát és egy szám 3. hatványra emelését. Démokritosz pedig a Kr.e. V. században fogalmazott meg először egy szabályt a piramis térfogatának meghatározására, amely kutatásai szerint mindig megegyezik az azonos magasságú és azonos prizma térfogatának 1/3-ával. bázis.

A Kr.e. 6. és 2. század közötti időszakban az ókori görög matematikusok is megtanulták kiszámítani a prizmák, hengerek és kúpok térfogatát a már felfedezett "pi" szám segítségével, amely minden kerek szám kiszámításához szükséges. Arkhimédész kutatásai képezték az integrálszámítási módszer alapját, fő felfedezésének azt a képletet tartotta, amely szerint egy golyó térfogata mindig 2/3-al kisebb, mint a körülötte leírt henger térfogata. Arkhimédész mellett Démokritosz és Knidosz Eudoxosz is nagyban hozzájárult a geometria tanulmányozásához.

Új idő

Az ókorban a háromdimenziós alakzatok kiszámításához szükséges összes alapképletet levezették, és a középkor egyetlen alapvetően új felfedezést sem adott ezen a területen - kivéve az indiai kutatókat (főleg Brahmaguptát), akik számos geometriai képet alkottak. századi szabályokat egy új érték hozzáadásával - a fél kerülettel. Alapvetően új megközelítést csak a modern időkben - a XVI-XVII. században - alkalmaztak.

Bonaventura Cavalieri olasz tudós "Geometria" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) című 1635-ös művében új elvet javasolt a piramis térfogatának meghatározására, és megalapozta a matematika és a fizika további fejlődését. az elkövetkező 300 évre. Az elv az, hogy ha két test metszéspontjában bármely síkkal párhuzamos sík keresztmetszete egyenlő, akkor ezeknek a testeknek a térfogata is egyenlő.

Figyelemre méltó, hogy egészen a 19. századig nem voltak pontos meghatározások a háromdimenziós testek térfogatára vonatkozóan, és csak 1887-ben Giuseppe Peano, 1892-ben pedig Marie Enmond Camille Jordan fogalmazta meg azokat. Az SI-rendszer szerint a köbméter lett a térfogat fő mértékegysége, és az összes többi mértékegység (uncia, láb, hordó, köböl) maradt alternatívaként.

A 3D geometria különös érdeklődést váltott ki a 20. században, az absztrakcionizmus fejlődésével. 1966-ban Charles F. Cochran fotós elkészítette híres „őrült dobozos” fotóját egy kifelé fordított kockáról, amely után köbös hópelyhek, lebegő, ismétlődő, kétszintes kockák és egyebek kerültek a lehetetlen 3D formák listájára. A modern 3D művészet sem kivitelezhetetlen a térfogat meghatározására általánosan elfogadott képletek nélkül, amelyeket bár számítógéppel számítottak ki, de sok évszázaddal ezelőtt készítettek.