Calcolatore di volume

Il volume è una delle caratteristiche geometriche più importanti: insieme al perimetro e all'area delle figure. Ma può essere applicato solo a corpi tridimensionali, che sono caratterizzati non solo da lunghezza e larghezza, ma anche da altezza/spessore.

Sfere, cubi, cilindri, piramidi, coni, parallelepipedi: tutte queste sono figure volumetriche, il cui calcolo viene effettuato secondo formule speciali, molte delle quali sono state scoperte dagli scienziati prima della nostra era.

Cenni storici

Antico Egitto e Babilonia

La prima testimonianza dell'uso di figure tridimensionali si riferisce all'Antico Egitto, o meglio, alla sua costruzione e architettura. Quindi, i maestosi edifici piramidali non potevano essere eretti senza conoscere i principi di base per determinare massa e volume. Ciò significa che almeno gli antichi egizi potevano calcolare il volume di cubi, prismi e piramidi.

Un vivido esempio è la tomba del faraone Cheope, alta 147 metri, che ha una forma geometrica ideale di una piramide. È impossibile assemblarlo da singoli mattoni e blocchi in modo tale che sia rimasto in piedi per più di 4500 anni; ciò richiede calcoli matematici e ingegneristici di alta precisione.

Non ci sono prove documentali che gli antichi egizi e babilonesi usassero formule specifiche per calcolare il volume, e forse erano usate solo in forma grafica e orale, seguendo principi separati, regole non chiaramente formulate.

Dall'Antica Babilonia ci sono pervenute solo tavolette d'argilla, che descrivono le regole per il calcolo di una piramide tronca (non completa), ma non sarebbero sufficienti per la costruzione di oggetti di tale scala. È noto che molte antiche civiltà calcolavano il volume delle figure elementari moltiplicando l'area della loro base per l'altezza, ma questo non è applicabile a oggetti come coni, piramidi, tetraedri. Sebbene si trovino spesso nell'architettura antica e abbiano proporzioni ben definite.

Antica Grecia

I principi della ricerca dei volumi furono formulati più chiaramente nell'antica Grecia, dal V al II secolo a.C. Euclide introduce il concetto di cubo, che significa contemporaneamente sia il volume della figura omonima sia l'elevazione di un numero alla terza potenza. E Democrito nel V secolo a.C. formulò per la prima volta una regola per trovare il volume di una piramide, che, secondo le sue ricerche, è sempre uguale a 1/3 del volume di un prisma della stessa altezza e con lo stesso base.

Nel periodo dal VI al II secolo a.C., gli antichi matematici greci impararono anche a calcolare il volume di prismi, cilindri e coni, utilizzando il numero già scoperto "pi", necessario per calcolare tutte le cifre tonde. La ricerca di Archimede ha costituito la base del metodo integrale del calcolo e considerava la sua principale scoperta la formula secondo la quale il volume di una palla è sempre 2/3 inferiore al volume del cilindro descritto attorno ad essa. Oltre ad Archimede, anche Democrito ed Eudosso di Cnido diedero un grande contributo allo studio della geometria.

Nuovo orario

Durante l'antichità, sono state derivate tutte le formule di base per il calcolo di figure tridimensionali e il Medioevo non ha dato una sola scoperta fondamentalmente nuova in quest'area, ad eccezione dei ricercatori indiani (principalmente Brahmagupta), che hanno creato diversi geometrici regole nei secoli VI-VII con l'aggiunta di un nuovo valore: il semiperimetro. Un approccio fondamentalmente nuovo è stato applicato solo in tempi moderni - nei secoli XVI-XVII.

Nella sua opera "Geometria" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) del 1635, lo scienziato italiano Bonaventura Cavalieri propose un nuovo principio per trovare il volume di una piramide e pose le basi per l'ulteriore sviluppo della matematica e della fisica per 300 anni a venire. Il principio è che se all'intersezione di due corpi con qualsiasi piano parallelo a un dato piano, le aree della sezione trasversale sono uguali, anche i volumi di questi corpi sono uguali.

È interessante notare che fino al XIX secolo non esistevano definizioni esatte per i volumi dei corpi tridimensionali, e furono formulate solo nel 1887 da Giuseppe Peano e nel 1892 da Marie Enmond Camille Jordan. Secondo il sistema SI, il metro cubo divenne la principale unità di misura del volume, e tutte le altre unità (once, piedi, barili, bushel) rimasero come unità alternative.

La geometria 3D ha suscitato particolare interesse nel XX secolo, con lo sviluppo dell'astrattismo. Nel 1966, il fotografo Charles F. Cochran ha creato la sua famosa foto "scatola pazza" di un cubo rovesciato, dopo di che fiocchi di neve cubici, cubi fluttuanti, ripetuti, a due piani e altro ancora sono entrati nell'elenco delle forme 3D impossibili. Anche la moderna arte 3D è impossibile senza l'uso di formule generalmente accettate per trovare il volume, che, sebbene calcolate da un computer, sono state create molti secoli fa.

Come trovare il volume (formule del volume)

Se è sufficiente aggiungere più numeri in una colonna per calcolare il perimetro, potrebbe essere necessario un calcolatore tecnico o un'applicazione online speciale per determinare il volume. Questo vale per tutte le figure tridimensionali di base: cubo, prisma, sfera, parallelepipedo, cono, cilindro, tetraedro e piramide.

Cubo

Poiché tutte le facce di un cubo hanno la stessa lunghezza e tutti gli angoli sono di 90 gradi, il calcolo del volume di questa figura è elementare. Per lui è sufficiente usare una formula con un'incognita:

V = a³.

Di conseguenza, V è il volume del cubo, a è la lunghezza della sua faccia. Le unità di volume sono standard: metro, decimetro, centimetro, millimetro e così via.

Prisma

Questa figura geometrica è un poliedro, i cui due lati sono uguali per forma e area e sono su piani paralleli. E tra loro ci sono rettangoli rigorosamente perpendicolari alle basi. Quest'ultimo può avere qualsiasi forma poliedrica: triangolo, pentagono, esagono. La formula per determinare il volume in ogni caso sembra la stessa:

V = Sₒ ⋅ h.

Nell'espressione, h è l'altezza del prisma e Sₒ è l'area della sua base. Quest'ultimo viene calcolato secondo la formula corrispondente a questa particolare figura, sia essa un triangolo, un rombo, un trapezio.

Parallepipedo

Questa figura è una delle varietà di un prisma, ma se le facce di quest'ultimo sono strettamente perpendicolari alle basi, allora la prima può avere quelle smussate - con angoli diversi da 90 gradi. Tuttavia, la formula per calcolare il volume di una scatola sembra la stessa:

V = Sₒ ⋅ h.

L'altezza h è ricavata dall'angolo della base superiore perpendicolarmente verso il basso, e con i bordi smussati non coincide con l'angolo della base inferiore. Se la scatola è rettangolare, il volume viene calcolato come prodotto dei lati:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Di conseguenza, aeb sono le lunghezze dei lati della base, h è l'altezza della scatola. In questo caso, l'altezza coincide completamente con uno qualsiasi dei bordi laterali.

Piramide

Una figura più difficile da calcolare, costituita da una base poligonale e da facce triangolari, il cui numero è uguale al numero dei lati della base. Se è un triangolo, ci sono 3 facce, se un quadrato è 4, se un esagono è 6. Tutte le facce laterali hanno un vertice comune e il volume viene calcolato utilizzando la formula universale:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Come nelle formule precedenti, Sₒ è l'area della base, h è l'altezza della figura. L'espressione non cambia quando si cambia la base ed è la stessa per tutte le varietà di piramidi.

Tetraedro regolare

Questa figura ha tutti gli angoli diedri ai bordi uguali e le facce sono triangoli equilateri, compresa la base. Pertanto, un tetraedro regolare può essere chiamato piramide triangolare con quattro lati identici. Il suo volume è calcolato dalla formula:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

C'è solo un'incognita nell'espressione: a, corrispondente alla lunghezza del bordo di un tetraedro regolare. Tutti i bordi sono uguali, quindi è sufficiente fare un cubo, quindi moltiplicare per la radice e dividere per 12.

Cilindro

Questa figura geometrica è composta da due basi rotonde, di diametro identico e parallele tra loro. Sono interconnessi da una superficie laterale continua perpendicolare alle basi. Quest'ultimo può essere rappresentato sia da cerchi che da ovali. In ogni caso, le formule per il calcolo del volume sembrano le stesse:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

In queste equazioni, Sₒ è l'area della base del cilindro, h è l'altezza del cilindro e R è il raggio della base. La prima formula è adatta solo per cilindri con una base rotonda perfetta, e la seconda formula è adatta a tutti i cilindri, inclusi ovali ed ellittici.

Cono

Un'altra forma 3D comune è il cono, con una base rotonda e un apice appuntito. Per calcolarne il volume, puoi utilizzare una delle due formule matematiche:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Il primo è adatto solo per coni a base rotonda, il secondo è universale e può essere utilizzato per calcolare figure con base ovale ed ellissoidale. La notazione nelle formule è standard: Sₒ è l'area della base, R è il raggio della base, h è l'altezza del cono.

Palla

Infine, per calcolare il volume di una sfera, ti basta la costante π (pari a 3,14...), e il suo raggio:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Di conseguenza, R è il raggio della palla, che è sufficiente per determinare il volume di questa figura.

Per non perdere tempo e risolvere problemi con calcoli complessi, puoi utilizzare un calcolatore ingegneristico a pulsante (o software) con radici e gradi o uno speciale calcolatore online con campi vuoti per inserire le caratteristiche delle figure tridimensionali .

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