부피 계산기

볼륨은 도형의 둘레 및 면적과 함께 가장 중요한 기하학적 특성 중 하나입니다. 하지만 길이와 너비뿐만 아니라 높이/두께로 특징지어지는 입체적인 신체에만 적용할 수 있습니다.

구, 정육면체, 원기둥, 피라미드, 원뿔, 평행 육면체 - 이 모든 것은 3차원 수치이며 그 계산은 특별한 공식에 따라 수행되며 그 중 다수는 우리 시대 이전에 과학자들에 의해 발견되었습니다.

역사적 배경

고대 이집트와 바빌론

입체 도형의 사용에 대한 첫 번째 증거는 고대 이집트, 아니 오히려 그것의 구조와 건축을 가리킨다. 따라서 질량과 부피를 결정하는 기본 원리를 모르면 장엄한 피라미드 구조를 만들 수 없습니다. 이것은 적어도 고대 이집트인들은 정육면체, 프리즘 및 피라미드의 부피를 계산할 수 있었다는 것을 의미합니다.

가장 생생한 예는 피라미드의 이상적인 기하학적 모양을 가진 147m 높이의 파라오 쳅스의 무덤입니다. 4,500년 이상 버틸 수 있는 방식으로 개별 벽돌과 블록을 조립하는 것은 불가능합니다. 이를 위해서는 고정밀 수학적 및 공학적 계산이 필요합니다.

고대 이집트인과 바빌로니아인이 부피를 계산하기 위해 특정 공식을 사용했다는 기록적인 증거는 없으며 아마도 명확하게 공식화된 규칙이 아니라 별도의 원칙에 따라 그래픽 및 구두 형식으로만 사용되었을 것입니다.

고대 바빌론에서 잘려진(완전하지 않은) 피라미드를 계산하는 규칙을 설명하는 점토판만이 우리에게 내려왔지만 그러한 규모의 물체를 구성하기에는 충분하지 않습니다. 많은 고대 문명이 밑면의 면적에 높이를 곱하여 기본 수치의 부피를 계산한 것으로 알려져 있지만 이것은 원뿔, 피라미드, 사면체와 같은 물체에는 적용되지 않습니다. 고대 건축물에서 흔히 볼 수 있고 비율이 잘 정의되어 있지만

고대 그리스

서적을 찾는 원칙은 기원전 5세기부터 기원전 2세기까지 고대 그리스에서 더욱 명확하게 공식화되었습니다. Euclid는 같은 이름의 그림의 부피와 숫자를 3제곱으로 올리는 것을 동시에 의미하는 입방체의 개념을 소개합니다. 그리고 기원전 5세기에 Democritus는 피라미드의 부피를 찾는 규칙을 처음으로 공식화했는데, 그의 연구에 따르면 항상 같은 높이와 같은 프리즘 부피의 1/3과 같습니다. 베이스.

기원전 6세기에서 2세기 사이에 고대 그리스 수학자들은 모든 둥근 숫자를 계산하는 데 필요한 이미 발견된 숫자 "파이"를 사용하여 프리즘, 원기둥 및 원뿔의 부피를 계산하는 방법을 배웠습니다. 아르키메데스의 연구는 미적분학의 통합 방법의 기초를 형성했으며, 공의 부피가 항상 주위에 설명된 실린더의 부피보다 2/3 작다는 공식을 그의 주요 발견으로 간주했습니다. 아르키메데스 외에도 Democritus와 Cnidus의 Eudoxus도 기하학 연구에 큰 공헌을 했습니다.

새 시간

고대에는 3차원 도형을 계산하기 위한 모든 기본 공식이 도출되었으며, 중세에는 이 분야에서 근본적으로 새로운 발견이 하나도 없었습니다. 반 경계라는 새로운 가치가 추가 된 6-7 세기 규칙. 근본적으로 새로운 접근 방식은 XVI-XVII 세기의 현대에만 적용되었습니다.

1635년 이탈리아 과학자 보나벤투라 카발리에리(Bonaventura Cavalieri)는 그의 저서 "기하학(Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota)"에서 피라미드의 부피를 찾는 새로운 원리를 제시하고 수학과 물리학의 발전을 위한 토대를 마련했습니다. 앞으로 300년 동안. 원칙은 주어진 평면에 평행한 평면에 의해 두 물체의 교차점에서 단면적이 같다면 이 물체의 부피도 같다는 것입니다.

19세기까지 3차원 물체의 부피에 대한 정확한 정의가 없었고 1887년 Giuseppe Peano가, 1892년 Marie Enmond Camille Jordan이 공식화했다는 점은 주목할 만합니다. SI 시스템에 따르면 입방 미터가 주요 부피 측정 단위가 되었고 다른 모든 단위(온스, 피트, 배럴, 부셸)는 대체 단위로 유지되었습니다.

3D 기하학은 추상주의의 발전과 함께 20세기에 특별한 관심을 불러일으켰습니다. 1966년 사진작가 Charles F. Cochran은 뒤집힌 입방체의 유명한 "미친 상자" 사진을 만들었고, 그 후 입방체 눈송이, 떠다니는, 반복되는, 2층 입방체 등이 불가능한 3D 모양 목록에 포함되었습니다. 현대 3D 아트는 일반적으로 용적을 찾는 공식을 사용하지 않고는 불가능합니다. 이 공식은 컴퓨터로 계산되지만 수세기 전에 만들어졌습니다.

둘레를 계산하기 위해 열에 여러 숫자를 추가하는 것으로 충분하다면 부피를 결정하기 위해 엔지니어링 계산기 또는 특수 온라인 응용 프로그램이 필요할 수 있습니다. 이는 입방체, 프리즘, 공, 평행 육면체, 원뿔, 원기둥, 사면체 및 피라미드와 같은 모든 기본 3차원 도형에 적용됩니다.

큐브

입방체의 모든 면의 길이가 같고 모든 각도가 90도이므로 이 그림의 부피 계산은 기본입니다. 그에게는 미지수가 하나인 공식을 사용하는 것으로 충분합니다.

V = a³.

따라서 V는 정육면체의 부피이고 a는 면의 길이입니다. 부피 단위는 미터, 데시미터, 센티미터, 밀리미터 등이 표준입니다.

프리즘

이 기하학적 도형은 두 변의 모양과 면적이 같고 평행한 평면에 있는 다면체입니다. 그리고 그들 사이에는 밑면에 수직인 직사각형이 있습니다. 후자는 삼각형, 오각형, 육각형과 같은 다면체 모양을 가질 수 있습니다. 어떤 경우에도 볼륨을 결정하는 공식은 동일합니다.

V = Sₒ ⋅ h.

식에서 h는 프리즘의 높이이고 Sₒ는 밑면의 면적입니다. 후자는 삼각형, 마름모꼴, 사다리꼴 등 이 특정 그림에 해당하는 공식에 따라 계산됩니다.

평행육면체

이 그림은 다양한 프리즘 중 하나이지만 후자의 면이 밑면에 대해 엄격하게 수직인 경우 첫 번째 면은 90도 이외의 각도로 경사진 면을 가질 수 있습니다. 그러나 상자의 부피를 계산하는 공식은 같습니다.

V = Sₒ ⋅ h.

높이 h는 상단 베이스의 모서리에서 아래쪽으로 수직으로 그려지며 경사진 모서리는 하단 베이스의 모서리와 일치하지 않습니다. 상자가 직사각형인 경우 부피는 변의 곱으로 계산됩니다.

V = a ⋅ b ⋅ h.

따라서 a와 b는 밑변의 길이이고 h는 상자의 높이입니다. 이 경우 높이는 모든 측면 가장자리와 완전히 일치합니다.

피라미드

다각형 밑면과 밑면의 변의 수와 같은 삼각형 면으로 구성된 계산하기 어려운 도형입니다. 삼각형이면 면이 3개, 정사각형이면 4개, 육각형이면 6개입니다. 모든 측면에는 공통 정점이 있으며 부피는 보편적인 공식을 사용하여 계산됩니다.

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

이전 공식에서와 같이 Sₒ는 밑면의 면적, h는 도형의 높이입니다. 베이스를 바꿔도 표정이 바뀌지 않고, 모든 종류의 피라미드가 동일합니다.

정사면체

이 도형은 변의 이면각이 모두 같고, 면은 밑변을 포함하여 정삼각형입니다. 따라서 정사면체는 네 면이 동일한 삼각형 피라미드라고 할 수 있습니다. 볼륨은 다음 공식으로 계산됩니다.

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

정사면체의 가장자리 길이에 해당하는 - a라는 표현에는 단 하나의 미지수가 있습니다. 모든 가장자리가 동일하므로 세제곱한 다음 루트를 곱하고 12로 나누면 충분합니다.

실린더

이 기하학적 도형은 직경이 동일하고 서로 평행한 두 개의 둥근 밑면으로 구성되어 있습니다. 이들은 베이스에 수직인 하나의 연속적인 측면에 의해 상호 연결됩니다. 후자는 원과 타원 모두로 나타낼 수 있습니다. 어쨌든 볼륨 계산 공식은 동일합니다.

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

이 방정식에서 Sₒ는 원통 밑면의 면적, h는 원기둥의 높이, R은 밑면의 반지름입니다. 첫 번째 공식은 바닥이 완벽한 원형 실린더에만 적합하며 두 번째 공식은 타원형 및 타원형을 포함한 모든 실린더에 적합합니다.

콘

또 다른 일반적인 3D 모양은 둥근 바닥과 날카로운 끝이 있는 원뿔입니다. 부피를 계산하려면 다음 두 가지 수학 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다.

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

첫 번째는 밑면이 둥근 원뿔에만 적합하고 두 번째는 보편적이며 타원형 및 타원체 밑면이 있는 도형을 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 공식의 표기법은 표준입니다. Sₒ는 밑면의 면적, R은 밑면의 반경, h는 원뿔의 높이입니다.

공

마지막으로 구의 부피를 계산하려면 상수 π(3.14...와 같음)와 반지름만 있으면 됩니다.

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

따라서 R은 공의 반지름으로 이 수치의 부피를 결정하기에 충분합니다.

복잡한 계산에 시간을 낭비하고 당황하지 않으려면 근과 도가 있는 푸시 버튼(또는 소프트웨어) 공학 계산기를 사용하거나 3차원 도형의 특성을 입력하기 위한 빈 필드가 있는 특수 온라인 계산기를 사용할 수 있습니다. .

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부피 계산기