Tūrio skaičiuotuvas

Tūris yra viena iš svarbiausių geometrinių charakteristikų: kartu su figūrų perimetru ir plotu. Bet tai gali būti taikoma tik trimačiams kūnams, kuriems būdingas ne tik ilgis ir plotis, bet ir aukštis/storis.

Sferos, kubai, cilindrai, piramidės, kūgiai, gretasieniai – visa tai yra trimatės figūros, kurios apskaičiuojamos pagal specialias formules, kurių daugelį mokslininkai atrado dar prieš mūsų erą.

Istorinis fonas

Senovės Egiptas ir Babilonas

Pirmieji trimačių figūrų naudojimo įrodymai susiję su Senovės Egiptu, tiksliau, jo konstrukcija ir architektūra. Taigi, nežinant pagrindinių masės ir tūrio nustatymo principų, nebuvo galima statyti didingų piramidinių konstrukcijų. Tai reiškia, kad bent jau senovės egiptiečiai galėjo apskaičiuoti kubelių, prizmių ir piramidžių tūrį.

Ryškus pavyzdys yra 147 metrų aukščio faraono Cheopso kapas, turintis idealią geometrinę piramidės formą. Neįmanoma iš atskirų plytų ir blokelių sudėti taip, kad stovėtų daugiau nei 4500 metų, tam reikia labai tikslių matematinių ir inžinerinių skaičiavimų.

Nėra dokumentinių įrodymų, kad senovės egiptiečiai ir babiloniečiai tūriui apskaičiuoti naudojo specifines formules, o galbūt jos buvo naudojamos tik grafine ir žodine forma – vadovaujantis atskirais principais, o ne aiškiai suformuluotomis taisyklėmis.

Iš Senovės Babilono pas mus atkeliavo tik molinės lentelės, kuriose aprašomos nupjautinės (nebaigtos) piramidės skaičiavimo taisyklės, tačiau jų nepakaktų tokio masto objektų statybai. Yra žinoma, kad daugelis senovės civilizacijų apskaičiavo elementariųjų figūrų tūrį, padaugindamos jų pagrindo plotą iš aukščio, tačiau tai netaikoma tokiems objektams kaip kūgiai, piramidės, tetraedrai. Nors jie dažnai randami senovinėje architektūroje ir turi aiškiai apibrėžtas proporcijas.

Senovės Graikija

Tomų radimo principai buvo aiškiau suformuluoti Senovės Graikijoje – V–II a. pr. Kr. Euklidas pristato kubo sąvoką, kuri vienu metu reiškia ir to paties pavadinimo figūros tūrį, ir skaičiaus pakėlimą į 3 laipsnį. O Demokritas V amžiuje prieš Kristų pirmą kartą suformulavo piramidės tūrio radimo taisyklę, kuri, pagal jo tyrimus, visada yra lygi 1/3 to paties aukščio ir tokio paties prizmės tūrio. bazė.

VI–II amžiuje prieš Kristų senovės Graikijos matematikai taip pat išmoko apskaičiuoti prizmių, cilindrų ir kūgių tūrį, naudodami jau atrastą skaičių „pi“, reikalingą apskaičiuojant visas apvalias figūras. Archimedo tyrinėjimai sudarė integralinio skaičiavimo metodo pagrindą, o pagrindiniu savo atradimu jis laikė formulę, pagal kurią rutulio tūris visada yra 2/3 mažesnis nei aplink jį aprašyto cilindro tūris. Be Archimedo, Demokritas ir Eudoksas Knidas taip pat labai prisidėjo prie geometrijos studijų.

Naujas laikas

Antikoje buvo išvestos visos pagrindinės trimačių figūrų skaičiavimo formulės, o viduramžiai nedavė nei vieno iš esmės naujo atradimo šioje srityje – išskyrus Indijos tyrinėtojus (daugiausia Brahmaguptą), sukūrusius keletą geometrinių taisyklės VI-VII a., pridėjus naują reikšmę – pusperimetrą. Iš esmės naujas požiūris buvo taikomas tik naujaisiais laikais – XVI-XVII a.

Italų mokslininkas Bonaventura Cavalieri savo 1635 m. darbe „Geometrija“ (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) pasiūlė naują piramidės tūrio nustatymo principą ir padėjo pamatą tolimesnei matematikos ir fizikos raidai. 300 metų į priekį. Principas yra tas, kad jei dviejų kūnų susikirtimo vietoje su bet kuria plokštuma, lygiagrečia tam tikrai plokštumai, skerspjūvio plotai yra lygūs, šių kūnų tūriai taip pat yra lygūs.

Pažymėtina, kad iki XIX amžiaus nebuvo tikslių trimačių kūnų tūrių apibrėžimų ir juos tik 1887 m. suformulavo Giuseppe Peano, o 1892 m. Marie Enmond Camille Jordan. Pagal SI sistemą kubinis metras tapo pagrindiniu tūrio matavimo vienetu, o visi kiti vienetai (uncijos, pėdos, statinės, bušeliai) liko kaip alternatyvūs.

3D geometrija ypač susidomėjo XX amžiuje, vystantis abstrakcionizmui. 1966 m. fotografas Charlesas F. Cochranas sukūrė savo garsiąją „beprotiškos dėžutės“ nuotrauką, kurioje yra išverstas kubas, po kurio į neįmanomų 3D formų sąrašą pateko kubinės snaigės, plaukiojantys, besikartojantys, dviejų aukštų kubeliai ir kt. Šiuolaikinis 3D menas taip pat neįmanomas nenaudojant visuotinai priimtų tūrio nustatymo formulių, kurios, nors ir apskaičiuotos kompiuteriu, buvo sukurtos prieš daugelį amžių.

Kaip apskaičiuotį tūrį (tūrio formulės)

Jei perimetrui apskaičiuoti pakanka stulpelyje pridėti kelis skaičius, tūriui nustatyti gali prireikti inžinerinio skaičiuotuvo arba specialios internetinės programos. Tai taikoma visoms pagrindinėms trimačioms figūroms: kubui, prizmei, rutuliui, gretasieniui, kūgiui, cilindrui, tetraedrui ir piramidei.

Kubas

Kadangi visi kubo paviršiai yra vienodo ilgio ir visi kampai yra 90 laipsnių, šios figūros tūrio apskaičiavimas yra elementarus. Jam pakanka naudoti formulę su vienu nežinomu:

V = a³.

Atitinkamai, V yra kubo tūris, a yra jo veido ilgis. Tūrio vienetai yra standartiniai: metras, decimetras, centimetras, milimetras ir pan.

Prizmė

Ši geometrinė figūra yra daugiakampis, kurio dvi kraštinės yra vienodos formos ir ploto ir yra lygiagrečiose plokštumose. Ir tarp jų yra stačiakampiai, griežtai statmeni pagrindams. Pastarasis gali turėti bet kokią daugiakampę formą: trikampį, penkiakampį, šešiakampį. Tūrio nustatymo formulė bet kuriuo atveju atrodo taip pat:

V = Sₒ ⋅ h.

Išraiškoje h yra prizmės aukštis, o Sₒ yra jos pagrindo plotas. Pastarasis apskaičiuojamas pagal formulę, atitinkančią šį konkretų paveikslą, ar tai būtų trikampis, rombas, trapecija.

Lygiagretainis

Ši figūra yra viena iš prizmės atmainų, tačiau jei pastarosios paviršiai yra griežtai statmenai pagrindams, tai pirmasis gali turėti nuožulnus – kitokiais nei 90 laipsnių kampais. Tačiau dėžutės tūrio apskaičiavimo formulė atrodo taip pat:

V = Sₒ ⋅ h.

Aukštis h nubrėžtas nuo viršutinio pagrindo kampo statmenai žemyn, o nuožulniais kraštais nesutampa su apatinio pagrindo kampu. Jei dėžutė yra stačiakampio formos, tūris apskaičiuojamas kaip kraštinių sandauga:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Atitinkamai, a ir b yra pagrindo kraštų ilgiai, h yra dėžutės aukštis. Šiuo atveju aukštis visiškai sutampa su bet kuriuo iš šoninių kraštų.

Piramidė

Sunkiau apskaičiuojama figūra, sudaryta iš daugiakampio pagrindo ir trikampių paviršių, kurių skaičius lygus pagrindo kraštinių skaičiui. Jei tai trikampis, yra 3 paviršiai, jei kvadratas yra 4, jei šešiakampis yra 6. Visi šoniniai paviršiai turi bendrą viršūnę, o tūris apskaičiuojamas naudojant universalią formulę:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Kaip ir ankstesnėse formulėse, Sₒ yra pagrindo plotas, h yra figūros aukštis. Išraiška nesikeičia keičiant pagrindą ir yra vienoda visoms piramidžių atmainoms.

Įprastas tetraedras

Šios figūros kraštų dvikampiai kampai yra lygūs, o paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai, įskaitant pagrindą. Taigi taisyklingą tetraedrą galima pavadinti trikampe piramide su keturiomis vienodomis kraštinėmis. Jo tūris apskaičiuojamas pagal formulę:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Išraiškoje yra tik vienas nežinomasis – a, atitinkantis taisyklingo tetraedro briaunos ilgį. Visi kraštai jame yra vienodi, todėl užtenka kubeliuoti, tada padauginti iš šaknies ir padalyti iš 12.

Cilindras

Ši geometrinė figūra susideda iš dviejų apvalių pagrindų, vienodo skersmens ir lygiagrečių vienas kitam. Jie yra tarpusavyje sujungti vienu ištisiniu šoniniu paviršiumi, statmenu pagrindams. Pastarasis gali būti pavaizduotas tiek apskritimais, tiek ovalais. Bet kokiu atveju tūrio skaičiavimo formulės atrodo taip pat:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

Šiose lygtyse Sₒ yra cilindro pagrindo plotas, h yra cilindro aukštis, o R yra pagrindo spindulys. Pirmoji formulė tinka tik cilindrams su tobulu apvaliu pagrindu, o antroji formulė tinka visiems cilindrams, įskaitant ovalius ir elipsinius.

Kūgis

Kita įprasta 3D forma yra kūgis su apvaliu pagrindu ir aštria viršūne. Norėdami apskaičiuoti jo tūrį, galite naudoti vieną iš dviejų matematinių formulių:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Pirmasis tinka tik kūgiams su apvaliu pagrindu, o antrasis yra universalus ir gali būti naudojamas skaičiuojant figūras su ovaliais ir elipsoidiniais pagrindais. Formulių žymėjimas yra standartinis: Sₒ – pagrindo plotas, R – pagrindo spindulys, h – kūgio aukštis.

Kamuolis

Galiausiai, norint apskaičiuoti sferos tūrį, reikia tik konstantos π (lygios 3,14...) ir jos spindulio:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Atitinkamai, R yra rutulio spindulys, kurio pakanka šios figūros tūriui nustatyti.

Kad negaištumėte laiko ir nesusimąstytumėte dėl sudėtingų skaičiavimų, galite naudoti mygtukų (arba programinės įrangos) inžinerinį skaičiuotuvą su šaknimis ir laipsniais arba specialią internetinę skaičiuotuvą su tuščiais laukeliais trimačių figūrų charakteristikoms įvesti. .

Tūrio skaičiuotuvas

Kiti įrankiai