Калкулатор за волумен

Волуменот е една од најважните геометриски карактеристики: заедно со периметарот и површината на фигурите. Но, може да се примени само на тридимензионални тела, кои се карактеризираат не само по должина и ширина, туку и по висина/дебелина.

Сфери, коцки, цилиндри, пирамиди, конуси, паралелепипеди - сето тоа се тридимензионални фигури, чие пресметување се врши според посебни формули, од кои многумина биле откриени од научниците пред нашата ера.

Историска позадина

Антички Египет и Вавилон

Првиот доказ за употребата на тридимензионални фигури се однесува на Стариот Египет, или подобро кажано, на неговата градба и архитектура. Така, величествените пирамидални структури не би можеле да се изградат без да се знаат основните принципи за одредување маса и волумен. Ова значи дека старите Египќани, барем, можеле да го пресметаат волуменот на коцките, призмите и пирамидите.

Живописен пример е гробницата на фараонот Кеопс, висока 147 метри, која има идеална геометриска форма на пирамида. Невозможно е да се состави од поединечни тули и блокови на таков начин што стои повеќе од 4500 години; ова бара високопрецизни математички и инженерски пресметки.

Нема документарен доказ дека древните Египќани и Вавилонци користеле специфични формули за пресметување на јачината на звукот, а можеби тие биле користени само во графичка и усна форма - следејќи одделни принципи, а не јасно формулирани правила.

Од Античкиот Вавилон до нас дојдоа само глинени табли кои ги опишуваат правилата за пресметување на пресечена (не целосна) пирамида, но тие не би биле доволни за изградба на објекти од таков размер. Познато е дека многу древни цивилизации го пресметувале обемот на елементарните фигури со множење на површината на нивната основа со висината, но тоа не е применливо за предмети како конуси, пирамиди, тетраедри. Иако тие често се наоѓаат во античката архитектура и имаат добро дефинирани пропорции.

Античка Грција

Принципите за наоѓање томови биле појасно формулирани во Античка Грција - од 5 до 2 век п.н.е. Евклид го воведува концептот на коцка, што истовремено значи и волумен на истоимената фигура и подигање на број до 3-та сила. А Демокрит во 5 век п.н.е за прв пат формулирал правило за пронаоѓање на волумен на пирамида, кое според неговите истражувања секогаш е еднакво на 1/3 од волуменот на призма со иста висина и со иста база.

Во периодот од 6 до 2 век п.н.е., античките грчки математичари исто така научиле да го пресметуваат волуменот на призмите, цилиндрите и конусите, користејќи го веќе откриениот број „пи“, кој е неопходен за пресметување на сите кружни фигури. Истражувањето на Архимед ја формираше основата на интегралниот метод на пресметка, а неговото главно откритие го сметаше за формулата според која волуменот на топката е секогаш 2/3 помал од волуменот на цилиндерот опишан околу неа. Покрај Архимед, голем придонес во проучувањето на геометријата дадоа и Демокрит и Евдокс од Книд.

Ново време

За време на антиката, беа изведени сите основни формули за пресметување на тридимензионални фигури, а средниот век не даде ниту едно фундаментално ново откритие во оваа област - со исклучок на индиските истражувачи (главно Брамагупта), кои создадоа неколку геометриски владее во 6-7 век со додавање на нова вредност - полупериметарот. Фундаментално нов пристап се применува само во модерното време - во XVI-XVII век.

Во своето дело „Геометрија“ (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) од 1635 година, италијанскиот научник Бонавентура Кавалиери предложил нов принцип за пронаоѓање на волуменот на пирамидата и ги поставил темелите за понатамошен развој на математиката и физиката за 300 години што доаѓаат. Принципот е дека ако на пресекот на две тела со која било рамнина паралелна на одредена дадена рамнина, плоштините на попречните пресек се еднакви, волумените на овие тела исто така се еднакви.

Забележително е дека до 19 век немало точни дефиниции за волумените на тридимензионалните тела, а тие биле формулирани дури во 1887 година од Џузепе Пеано, а во 1892 година од Мари Енмонд Камил Џордан. Според системот SI, кубниот метар стана главна единица за мерење на волуменот, а сите други единици (унци, стапки, буриња, бушели) останаа како алтернативни.

3D геометријата предизвика особен интерес во 20 век, со развојот на апстракционизмот. Во 1966 година, фотографот Чарлс Ф. Модерната 3Д уметност е исто така невозможна без употреба на општоприфатени формули за пронаоѓање волумен, кои, иако пресметани од компјутер, биле создадени пред многу векови.

Како да се најде волумен (формули за волумен)

Ако е доволно да се додадат неколку броеви во колона за да се пресмета периметарот, тогаш може да биде потребен инженерски калкулатор или специјална онлајн апликација за да се одреди јачината на звукот. Ова се однесува на сите основни тридимензионални фигури: коцка, призма, топка, паралелепипед, конус, цилиндар, тетраедар и пирамида.

Коцка

Бидејќи сите страни на коцката се со иста должина и сите агли се 90 степени, пресметката на волуменот на оваа бројка е елементарна. За него е доволно да користи формула со една непозната:

V = a³.

Според тоа, V е волуменот на коцката, а е должината на нејзиното лице. Единиците за јачина на звук се стандардни: метар, дециметар, сантиметар, милиметар и така натаму.

Призма

Оваа геометриска фигура е полиедар, чии две страни се исти по форма и површина и се во паралелни рамнини. И меѓу нив има правоаголници строго нормални на основите. Вториот може да има каква било полиедрална форма: триаголник, петаголник, шестоаголник. Формулата за одредување на јачината на звукот во секој случај изгледа исто:

V = Sₒ ⋅ ч.

Во изразот, h е висината на призмата, а Sₒ е плоштината на нејзината основа. Последново се пресметува според формулата што одговара на оваа конкретна бројка, било да е тоа триаголник, ромб, трапез.

Паралепипед

Оваа бројка е една од сортите на призма, но ако лицата на втората се строго нормални на основите, тогаш првата може да има закосени - со агли различни од 90 степени. Сепак, формулата за пресметување на волуменот на кутијата изгледа исто:

V = Sₒ ⋅ ч.

Висината h е извлечена од аголот на горната основа нормално надолу, и со закосени рабови не се совпаѓа со аголот на долната основа. Ако кутијата е правоаголна, волуменот се пресметува како производ на страните:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Според тоа, a и b се должините на страните на основата, h е висината на кутијата. Во овој случај, висината целосно се совпаѓа со кој било од страничните рабови.

Пирамида

Потешка бројка за пресметување, која се состои од полигонална основа и триаголни лица, чиј број е еднаков на бројот на страните на основата. Ако е триаголник, има 3 лица, ако квадрат е 4, ако шестоаголник е 6. Сите странични лица имаат заедничко теме, а волуменот се пресметува со универзалната формула:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ ч.

Како и во претходните формули, Sₒ е плоштината на основата, h е висината на фигурата. Изразот не се менува при промена на основата и е ист за сите видови пирамиди.

Регуларен тетраедар

Оваа фигура ги има сите диедрални агли на рабовите еднакви, а лицата се рамнострани триаголници, вклучувајќи ја и основата. Така, правилен тетраедар може да се нарече триаголна пирамида со четири идентични страни. Неговиот волумен се пресметува со формулата:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Има само една непозната во изразот - a, што одговара на должината на работ на правилен тетраедар. Сите рабови во него се исти, па доволно е да се коцка, па да се помножи со коренот и да се подели со 12.

Цилиндар

Оваа геометриска фигура се состои од две тркалезни основи, идентични по дијаметар и паралелни една со друга. Тие се меѓусебно поврзани со една континуирана странична површина нормална на основите. Вториот може да биде претставен и со кругови и со овали. Во секој случај, формулите за пресметување на јачината на звукот изгледаат исто:

V = π ⋅ R² ⋅ ч.
V = Sₒ ⋅ ч.

Во овие равенки, Sₒ е плоштината на основата на цилиндерот, h е висината на цилиндерот, а R е радиусот на основата. Првата формула е погодна само за цилиндри со совршена тркалезна основа, а втората формула е погодна за сите цилиндри, вклучувајќи овални и елиптични.

Конус

Друга вообичаена 3Д форма е конусот, со тркалезна основа и остар врв. За да го пресметате неговиот волумен, можете да користите една од двете математички формули:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ ч.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ ч.

Првиот е погоден само за конуси со тркалезна основа, а вториот е универзален и може да се користи за пресметување фигури со овални и елипсоидни основи. Ознаката во формулите е стандардна: Sₒ е плоштината на основата, R е радиусот на основата, h е висината на конусот.

Топката

Конечно, за да се пресмета волуменот на сферата, потребна ви е само константата π (еднаква на 3,14...) и нејзиниот радиус:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Според тоа, R е радиусот на топката, што е доволно за да се одреди волуменот на оваа бројка.

За да не губите време и загатки за сложени пресметки, можете да користите инженерски калкулатор со копчиња (или софтверски) со корени и степени или специјален онлајн калкулатор со празни полиња за внесување карактеристики на тридимензионални фигури .

Калкулатор за волумен

Други алатки