Kalkulator isi padu

Alat lain

Kalkulator kawasan{$ ',' | translate $}
Kalkulator perimeter{$ ',' | translate $}
Jadual pendaraban{$ ',' | translate $}
Jadual berkala{$ ',' | translate $}
Kalkulator matriks{$ ',' | translate $}
Kalkulator LCM{$ ',' | translate $}
Kalkulator trigonometri{$ ',' | translate $}
Kalkulator GCF

Kalkulator isi padu

Volume ialah salah satu ciri geometri yang paling penting: bersama dengan perimeter dan luas rajah. Tetapi ia hanya boleh digunakan pada badan tiga dimensi, yang dicirikan bukan sahaja dengan panjang dan lebar, tetapi juga dengan ketinggian/tebal.

Sfera, kiub, silinder, piramid, kon, parallelepiped - semua ini adalah angka tiga dimensi, yang pengiraannya dilakukan mengikut formula khas, yang kebanyakannya ditemui oleh saintis sebelum era kita.

Latar belakang sejarah

Mesir Purba dan Babylon

Bukti pertama penggunaan angka tiga dimensi merujuk kepada Mesir Purba, atau lebih tepat, kepada pembinaan dan seni binanya. Oleh itu, struktur piramid yang megah tidak dapat dibina tanpa mengetahui prinsip asas untuk menentukan jisim dan isipadu. Ini bermakna orang Mesir purba, sekurang-kurangnya, boleh mengira isipadu kubus, prisma dan piramid.

Contoh yang jelas ialah makam Firaun Cheops, setinggi 147 meter, yang mempunyai bentuk geometri ideal piramid. Adalah mustahil untuk menggabungkannya daripada batu bata dan blok individu sedemikian rupa sehingga ia telah berdiri selama lebih daripada 4500 tahun; ini memerlukan pengiraan matematik dan kejuruteraan berketepatan tinggi.

Tiada bukti dokumentari bahawa orang Mesir dan Babylon purba menggunakan formula khusus untuk mengira isipadu, dan mungkin ia hanya digunakan dalam bentuk grafik dan lisan - mengikut prinsip yang berasingan, bukan peraturan yang dirumus dengan jelas.

Dari Babylon Purba, hanya tablet tanah liat yang diturunkan kepada kami, yang menerangkan peraturan untuk mengira piramid terpotong (tidak lengkap), tetapi ia tidak akan mencukupi untuk pembinaan objek skala sedemikian. Adalah diketahui bahawa banyak tamadun purba mengira jumlah angka asas dengan mendarabkan luas pangkalannya dengan ketinggian, tetapi ini tidak terpakai untuk objek seperti kon, piramid, tetrahedra. Walaupun ia sering dijumpai dalam seni bina purba dan mempunyai perkadaran yang jelas.

Yunani Purba

Prinsip mencari jilid lebih jelas dirumuskan di Yunani Purba - dari abad ke-5 hingga ke-2 SM. Euclid memperkenalkan konsep kubus, yang secara serentak bermaksud kedua-dua isipadu rajah dengan nama yang sama dan peningkatan nombor kepada kuasa ke-3. Dan Democritus pada abad ke-5 SM buat pertama kalinya merumuskan peraturan untuk mencari isipadu piramid, yang, menurut penyelidikannya, sentiasa sama dengan 1/3 daripada isipadu prisma dengan ketinggian yang sama dan dengan yang sama asas.

Dalam tempoh dari abad ke-6 hingga abad ke-2 SM, ahli matematik Yunani kuno juga belajar mengira isipadu prisma, silinder dan kon, menggunakan nombor "pi" yang telah ditemui, yang diperlukan untuk mengira semua angka bulat. Penyelidikan Archimedes membentuk asas kaedah kamiran kalkulus, dan dia menganggap penemuan utamanya sebagai formula mengikut mana isipadu bola sentiasa 2/3 kurang daripada isipadu silinder yang diterangkan di sekelilingnya. Selain Archimedes, Democritus dan Eudoxus of Cnidus juga memberi sumbangan besar kepada kajian geometri.

Masa baharu

Semasa Antikuiti, semua formula asas untuk mengira angka tiga dimensi telah diperoleh, dan Zaman Pertengahan tidak memberikan satu penemuan asas baru dalam bidang ini - kecuali penyelidik India (terutamanya Brahmagupta), yang mencipta beberapa geometri peraturan pada abad ke-6-7 dengan penambahan nilai baru - separuh perimeter. Pendekatan asasnya baru digunakan hanya pada zaman moden - pada abad XVI-XVII.

Dalam karyanya "Geometri" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) pada tahun 1635, saintis Itali Bonaventura Cavalieri mencadangkan prinsip baru untuk mencari isipadu piramid, dan meletakkan asas untuk perkembangan selanjutnya matematik dan fizik untuk 300 tahun akan datang. Prinsipnya ialah jika di persilangan dua jasad oleh mana-mana satah selari dengan satah tertentu, luas keratan rentas adalah sama, isipadu jasad ini juga sama.

Perlu diperhatikan bahawa sehingga abad ke-19 tidak ada definisi yang tepat untuk jilid badan tiga dimensi, dan ia hanya dirumuskan pada tahun 1887 oleh Giuseppe Peano, dan pada tahun 1892 oleh Marie Enmond Camille Jordan. Menurut sistem SI, meter padu menjadi unit utama ukuran isipadu dan semua unit lain (auns, kaki, tong, gantang) kekal sebagai unit alternatif.

Geometri 3D menimbulkan minat khusus pada abad ke-20, dengan perkembangan abstraksiisme. Pada tahun 1966, jurugambar Charles F. Cochran mencipta foto terkenalnya "kotak gila" kiub dalam-luar, selepas itu kepingan salji padu, terapung, berulang, kiub dua tingkat, dan banyak lagi memasuki senarai bentuk 3D yang mustahil. Seni 3D moden juga mustahil tanpa menggunakan formula yang diterima umum untuk mencari volum, yang, walaupun dikira oleh komputer, telah dicipta berabad-abad yang lalu.

Kaedah mencari isipadu (rumus isipadu)

Jika cukup untuk menambah beberapa nombor dalam lajur untuk mengira perimeter, maka kalkulator kejuruteraan atau aplikasi dalam talian khas mungkin diperlukan untuk menentukan volum. Ini terpakai kepada semua rajah tiga dimensi asas: kubus, prisma, bola, selari, kon, silinder, tetrahedron dan piramid.

Kiub

Memandangkan semua muka kubus adalah sama panjang dan semua sudut ialah 90 darjah, pengiraan isipadu rajah ini adalah asas. Baginya, cukup menggunakan formula dengan satu yang tidak diketahui:

V = a³.

Oleh itu, V ialah isipadu kubus, a ialah panjang mukanya. Unit volum adalah standard: meter, desimeter, sentimeter, milimeter dan sebagainya.

Prisma

Rajah geometri ini ialah polihedron, kedua-dua sisinya adalah sama dalam bentuk dan luas serta berada dalam satah selari. Dan di antara mereka adalah segi empat tepat berserenjang dengan asas. Yang terakhir boleh mempunyai bentuk polihedral: segi tiga, pentagon, heksagon. Formula untuk menentukan volum dalam apa jua keadaan kelihatan sama:

V = Sₒ ⋅ h.

Dalam ungkapan, h ialah ketinggian prisma, dan Sₒ ialah luas tapaknya. Yang terakhir dikira mengikut formula yang sepadan dengan angka tertentu ini, sama ada segitiga, rombus, trapezoid.

Paip selari

Angka ini adalah salah satu jenis prisma, tetapi jika muka yang kedua berserenjang dengan tapaknya, maka yang pertama boleh mempunyai yang serong - dengan sudut selain daripada 90 darjah. Walau bagaimanapun, formula untuk mengira isipadu kotak kelihatan sama:

V = Sₒ ⋅ h.

Ketinggian h dilukis dari sudut tapak atas secara berserenjang ke bawah, dan dengan tepi serong tidak bertepatan dengan sudut tapak bawah. Jika kotak itu segi empat tepat, isipadu dikira sebagai hasil darab sisi:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Oleh itu, a dan b ialah panjang sisi tapak, h ialah tinggi kotak. Dalam kes ini, ketinggian sepenuhnya bertepatan dengan mana-mana tepi sisi.

Piramid

Angka yang lebih sukar untuk dikira, terdiri daripada tapak poligon dan muka segi tiga, yang bilangannya sama dengan bilangan sisi tapak. Jika ia adalah segi tiga, terdapat 3 muka, jika segi empat sama ialah 4, jika heksagon ialah 6. Semua muka sisi mempunyai bucu sepunya, dan isipadu dikira menggunakan formula universal:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Seperti dalam formula sebelumnya, Sₒ ialah luas tapak, h ialah ketinggian rajah. Ungkapan tidak berubah apabila menukar tapak, dan adalah sama untuk semua jenis piramid.

Tetrahedron biasa

Angka ini mempunyai semua sudut dihedral di tepi sama, dan muka adalah segi tiga sama sisi, termasuk tapaknya. Oleh itu, tetrahedron biasa boleh dipanggil piramid segi tiga dengan empat sisi yang sama. Isipadunya dikira dengan formula:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Hanya terdapat satu yang tidak diketahui dalam ungkapan - a, sepadan dengan panjang tepi tetrahedron biasa. Semua tepi di dalamnya adalah sama, jadi cukup untuk kubus, kemudian darab dengan punca dan bahagi dengan 12.

Silinder

Rajah geometri ini terdiri daripada dua tapak bulat, sama diameter dan selari antara satu sama lain. Mereka disambungkan oleh satu permukaan sisi berterusan berserenjang dengan tapak. Yang terakhir boleh diwakili oleh bulatan dan bujur. Walau apa pun, formula untuk mengira isipadu kelihatan sama:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

Dalam persamaan ini, Sₒ ialah luas tapak silinder, h ialah ketinggian silinder, dan R ialah jejari tapak. Formula pertama hanya sesuai untuk silinder dengan tapak bulat sempurna, dan formula kedua sesuai untuk semua silinder, termasuk bujur dan elips.

Kon

Satu lagi bentuk 3D yang biasa ialah kon, dengan tapak bulat dan puncak yang tajam. Untuk mengira isipadunya, anda boleh menggunakan salah satu daripada dua formula matematik:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Yang pertama hanya sesuai untuk kon dengan tapak bulat, dan yang kedua adalah universal, dan boleh digunakan untuk mengira angka dengan tapak bujur dan elipsoid. Notasi dalam formula adalah standard: Sₒ ialah luas tapak, R ialah jejari tapak, h ialah ketinggian kon.

Bola

Akhir sekali, untuk mengira isipadu sfera, anda hanya memerlukan pemalar π (sama dengan 3.14...), dan jejarinya:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Oleh itu, R ialah jejari bola, yang cukup untuk menentukan isipadu rajah ini.

Untuk tidak membuang masa dan teka-teki tentang pengiraan yang rumit, anda boleh menggunakan butang tekan (atau perisian) kalkulator kejuruteraan dengan akar dan darjah, atau kalkulator dalam talian khas dengan medan kosong untuk memasukkan ciri-ciri angka tiga dimensi .