Volumecalculator

Het volume is een van de belangrijkste geometrische kenmerken: samen met de omtrek en oppervlakte van figuren. Maar het kan alleen worden toegepast op driedimensionale lichamen, die niet alleen worden gekenmerkt door lengte en breedte, maar ook door hoogte/dikte.

Bollen, kubussen, cilinders, piramiden, kegels, parallellepipedums - dit zijn allemaal driedimensionale figuren waarvan de berekening wordt uitgevoerd volgens speciale formules, waarvan er vele vóór onze jaartelling door wetenschappers zijn ontdekt.

Historische achtergrond

Het oude Egypte en Babylon

Het eerste bewijs van het gebruik van driedimensionale figuren verwijst naar het oude Egypte, of liever naar de constructie en architectuur ervan. Er konden dus geen majestueuze piramidale structuren worden gebouwd zonder de basisprincipes te kennen voor het bepalen van massa en volume. Dit betekent dat de oude Egyptenaren in ieder geval het volume van kubussen, prisma's en piramides konden berekenen.

Een sprekend voorbeeld is de tombe van farao Cheops, 147 meter hoog, die de ideale geometrische vorm van een piramide heeft. Het is onmogelijk om het zo samen te stellen uit afzonderlijke stenen en blokken dat het meer dan 4500 jaar heeft gestaan; dit vereist zeer nauwkeurige wiskundige en technische berekeningen.

Er is geen gedocumenteerd bewijs dat de oude Egyptenaren en Babyloniërs specifieke formules gebruikten om het volume te berekenen, en misschien werden ze alleen in grafische en mondelinge vorm gebruikt - volgens afzonderlijke principes, niet duidelijk geformuleerde regels.

Uit het oude Babylon zijn alleen kleitabletten tot ons gekomen, die de regels beschrijven voor het berekenen van een afgeknotte (niet complete) piramide, maar ze zouden niet voldoende zijn voor de constructie van objecten van zo'n schaal. Het is bekend dat veel oude beschavingen het volume van elementaire figuren berekenden door het oppervlak van hun basis te vermenigvuldigen met de hoogte, maar dit is niet van toepassing op objecten als kegels, piramides, tetraëders. Hoewel ze vaak worden aangetroffen in oude architectuur en goed gedefinieerde verhoudingen hebben.

Het oude Griekenland

De principes van het vinden van volumes werden duidelijker geformuleerd in het oude Griekenland - van de 5e tot de 2e eeuw voor Christus. Euclides introduceert het concept van een kubus, wat tegelijkertijd zowel het volume van de figuur met dezelfde naam betekent als het verheffen van een getal tot de 3e macht. En Democritus formuleerde in de 5e eeuw voor Christus voor het eerst een regel voor het vinden van het volume van een piramide, die volgens zijn onderzoek altijd gelijk is aan 1/3 van het volume van een prisma van dezelfde hoogte en met hetzelfde baseren.

In de periode van de 6e tot de 2e eeuw voor Christus leerden de oude Griekse wiskundigen ook het volume van prisma's, cilinders en kegels te berekenen met behulp van het reeds ontdekte getal "pi", dat nodig is voor het berekenen van alle ronde getallen. Het onderzoek van Archimedes vormde de basis van de integrale methode van calculus, en hij beschouwde zijn belangrijkste ontdekking als de formule volgens welke het volume van een bal altijd 2/3 kleiner is dan het volume van de beschreven cilinder eromheen. Naast Archimedes hebben ook Democritus en Eudoxus van Cnidus een grote bijdrage geleverd aan de studie van geometrie.

Nieuwe tijd

Tijdens de oudheid werden alle basisformules voor het berekenen van driedimensionale figuren afgeleid, en de middeleeuwen brachten geen enkele fundamenteel nieuwe ontdekking op dit gebied - met uitzondering van Indiase onderzoekers (voornamelijk Brahmagupta), die verschillende geometrische regeert in de 6e-7e eeuw met de toevoeging van een nieuwe waarde - de halve omtrek. Een fundamenteel nieuwe benadering werd pas in de moderne tijd toegepast - in de XVI-XVII eeuw.

In zijn werk "Geometry" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) uit 1635 stelde de Italiaanse wetenschapper Bonaventura Cavalieri een nieuw principe voor om het volume van een piramide te vinden, en legde hij de basis voor de verdere ontwikkeling van wiskunde en natuurkunde voor de komende 300 jaar. Het principe is dat als op het snijpunt van twee lichamen door een vlak evenwijdig aan een bepaald vlak, de oppervlakten van de dwarsdoorsnede gelijk zijn, de volumes van deze lichamen ook gelijk zijn.

Het is opmerkelijk dat er tot de 19e eeuw geen exacte definities waren voor de volumes van driedimensionale lichamen, en ze werden pas in 1887 geformuleerd door Giuseppe Peano en in 1892 door Marie Enmond Camille Jordan. Volgens het SI-systeem werd de kubieke meter de belangrijkste maateenheid voor het volume en bleven alle andere eenheden (ounces, feet, barrels, bushels) als alternatieve eenheden.

3D-geometrie wekte bijzondere belangstelling in de 20e eeuw, met de ontwikkeling van het abstractionisme. In 1966 creëerde fotograaf Charles F. Cochran zijn beroemde "crazy box"-foto van een binnenstebuiten geplaatste kubus, waarna kubieke sneeuwvlokken, zwevende, zich herhalende kubussen met twee verdiepingen en meer op de lijst van onmogelijke 3D-vormen kwamen. Moderne 3D-kunst is ook onmogelijk zonder het gebruik van algemeen aanvaarde formules voor het vinden van volume, die, hoewel berekend door een computer, vele eeuwen geleden zijn gemaakt.

Als het voldoende is om meerdere getallen in een kolom op te tellen om de omtrek te berekenen, dan kan een technische rekenmachine of een speciale online applicatie nodig zijn om het volume te bepalen. Dit geldt voor alle driedimensionale basisfiguren: kubus, prisma, bal, parallellepipedum, kegel, cilinder, tetraëder en piramide.

Kubus

Aangezien alle vlakken van een kubus even lang zijn en alle hoeken 90 graden zijn, is de berekening van het volume van deze figuur elementair. Voor hem is het voldoende om een formule te gebruiken met één onbekende:

V = a³.

Dienovereenkomstig is V het volume van de kubus, a is de lengte van zijn vlak. Volume-eenheden zijn standaard: meter, decimeter, centimeter, millimeter enzovoort.

Prisma

Deze geometrische figuur is een veelvlak, waarvan de twee zijden dezelfde vorm en oppervlakte hebben en in parallelle vlakken liggen. En daartussen bevinden zich rechthoeken die strikt loodrecht op de basis staan. De laatste kan elke veelvlakkige vorm hebben: driehoek, vijfhoek, zeshoek. De formule voor het bepalen van het volume ziet er in ieder geval hetzelfde uit:

V = Sₒ ⋅ h.

In de uitdrukking is h de hoogte van het prisma en is Sₒ de oppervlakte van de basis. Dit laatste wordt berekend volgens de formule die overeenkomt met dit specifieke cijfer, of het nu een driehoek, een ruit of een trapezium is.

Parallelpipedum

Deze figuur is een van de varianten van een prisma, maar als de vlakken van de laatste strikt loodrecht op de basis staan, dan kan de eerste afgeschuinde zijn - met andere hoeken dan 90 graden. De formule voor het berekenen van het volume van een doos ziet er echter hetzelfde uit:

V = Sₒ ⋅ h.

Hoogte h wordt vanaf de hoek van de bovenste basis loodrecht naar beneden getekend en valt met afgeschuinde randen niet samen met de hoek van de onderste basis. Als de doos rechthoekig is, wordt het volume berekend als het product van de zijkanten:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Dienovereenkomstig zijn a en b de lengtes van de zijkanten van de basis, h is de hoogte van de doos. In dit geval valt de hoogte volledig samen met een van de zijranden.

Piramide

Een moeilijker te berekenen figuur, bestaande uit een veelhoekige basis en driehoekige vlakken, waarvan het aantal gelijk is aan het aantal zijden van de basis. Als het een driehoek is, zijn er 3 vlakken, als een vierkant 4 is, als een zeshoek 6 is. Alle zijvlakken hebben een gemeenschappelijk hoekpunt en het volume wordt berekend met de universele formule:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Net als in de vorige formules is Sₒ de oppervlakte van de basis, h is de hoogte van de figuur. De uitdrukking verandert niet bij het veranderen van de basis en is hetzelfde voor alle soorten piramides.

Regelmatige tetraëder

Deze figuur heeft alle tweevlakshoeken aan de randen gelijk, en de vlakken zijn gelijkzijdige driehoeken, inclusief de basis. Zo kan een regelmatige tetraëder een driehoekige piramide met vier identieke zijden worden genoemd. Het volume wordt berekend met de formule:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Er is slechts één onbekende in de uitdrukking - a, overeenkomend met de lengte van de rand van een regelmatige tetraëder. Alle snijlijnen zijn hetzelfde, dus het volstaat om tot een derde macht te komen, dan te vermenigvuldigen met de wortel en te delen door 12.

Cilinder

Deze geometrische figuur bestaat uit twee ronde voetstukken, identiek in diameter en evenwijdig aan elkaar. Ze zijn onderling verbonden door een doorlopend zijvlak loodrecht op de bases. Dit laatste kan zowel worden weergegeven door cirkels als ovalen. In ieder geval zien de formules voor het berekenen van het volume er hetzelfde uit:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

In deze vergelijkingen is Sₒ de oppervlakte van de basis van de cilinder, h is de hoogte van de cilinder en R is de straal van de basis. De eerste formule is alleen geschikt voor cilinders met een perfect ronde basis, en de tweede formule is geschikt voor alle cilinders, ook ovaal en elliptisch.

Kegel

Een andere veel voorkomende 3D-vorm is de kegel, met een ronde basis en een scherpe top. Om het volume te berekenen, kunt u een van de volgende twee wiskundige formules gebruiken:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

De eerste is alleen geschikt voor kegels met een ronde basis en de tweede is universeel en kan worden gebruikt om figuren met ovale en ellipsoïde basis te berekenen. De notatie in de formules is standaard: Sₒ is de oppervlakte van de basis, R is de straal van de basis, h is de hoogte van de kegel.

Bal

Tot slot, om het volume van een bol te berekenen, heb je alleen de constante π (gelijk aan 3,14...) en de straal ervan nodig:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Dienovereenkomstig is R de straal van de bal, wat voldoende is om het volume van deze figuur te bepalen.

Om geen tijd te verspillen en te puzzelen over complexe berekeningen, kunt u een rekenmachine met drukknoppen (of software) gebruiken met wortels en graden, of een speciale online rekenmachine met lege velden voor het invoeren van de kenmerken van driedimensionale figuren .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Volumecalculator