Volumkalkulator

Volum er en av de viktigste geometriske egenskapene: sammen med omkretsen og arealet til figurene. Men det kan bare brukes på tredimensjonale kropper, som ikke bare er preget av lengde og bredde, men også av høyde/tykkelse.

Kuler, terninger, sylindre, pyramider, kjegler, parallellepipeder - alle disse er tredimensjonale figurer, hvis beregning er utført i henhold til spesielle formler, hvorav mange ble oppdaget av forskere før vår tidsregning.

Historisk bakgrunn

Det gamle Egypt og Babylon

Det første beviset på bruken av tredimensjonale figurer refererer til det gamle Egypt, eller rettere sagt, til dets konstruksjon og arkitektur. Majestetiske pyramidale strukturer kunne derfor ikke bygges uten å kjenne til de grunnleggende prinsippene for å bestemme masse og volum. Dette betyr at de gamle egypterne i det minste kunne beregne volumet av terninger, prismer og pyramider.

Et levende eksempel er graven til farao Cheops, 147 meter høy, som har en ideell geometrisk form som en pyramide. Det er umulig å sette den sammen fra individuelle klosser og blokker på en slik måte at den har stått i mer enn 4500 år; dette krever høypresisjons matematiske og tekniske beregninger.

Det er ingen dokumentarisk bevis for at de gamle egypterne og babylonerne brukte spesifikke formler for å beregne volum, og kanskje de ble brukt bare i grafisk og muntlig form – etter separate prinsipper, ikke klart formulerte regler.

Fra det gamle Babylon er det bare leirtavler som har kommet ned til oss, som beskriver reglene for å beregne en avkortet (ikke komplett) pyramide, men de ville ikke være nok for konstruksjon av gjenstander i en slik skala. Det er kjent at mange eldgamle sivilisasjoner beregnet volumet av elementære figurer ved å multiplisere arealet av basen deres med høyden, men dette er ikke aktuelt for slike gjenstander som kjegler, pyramider, tetraedre. Selv om de ofte finnes i gammel arkitektur og har veldefinerte proporsjoner.

Det gamle Hellas

Prinsippene for å finne volumer ble tydeligere formulert i antikkens Hellas - fra det 5. til det 2. århundre f.Kr. Euklid introduserer konseptet med en kube, som samtidig betyr både volumet av figuren med samme navn og heving av et tall til 3. potens. Og Demokritos på 500-tallet f.Kr. formulerte for første gang en regel for å finne volumet til en pyramide, som ifølge hans forskning alltid er lik 1/3 av volumet til et prisme av samme høyde og med samme utgangspunkt.

I perioden fra 6. til 2. århundre f.Kr. lærte antikke greske matematikere også å beregne volumet av prismer, sylindre og kjegler, ved å bruke det allerede oppdagede tallet "pi", som er nødvendig for å beregne alle runde tall. Arkimedes' forskning dannet grunnlaget for den integrale metoden for kalkulering, og han anså hans hovedoppdagelse som formelen der volumet til en kule alltid er 2/3 mindre enn volumet til sylinderen som er beskrevet rundt den. I tillegg til Arkimedes, ga Democritus og Eudoxus fra Cnidus også et stort bidrag til studiet av geometri.

Ny tid

Under antikken ble alle de grunnleggende formlene for beregning av tredimensjonale figurer utledet, og middelalderen ga ikke en eneste fundamentalt ny oppdagelse på dette området - med unntak av indiske forskere (hovedsakelig Brahmagupta), som skapte flere geometriske regler i det 6.-7. århundre med tillegg av en ny verdi - semi-perimeteren. En fundamentalt ny tilnærming ble brukt bare i moderne tid - i XVI-XVII århundrer.

I sitt arbeid "Geometri" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) fra 1635 foreslo den italienske forskeren Bonaventura Cavalieri et nytt prinsipp for å finne volumet til en pyramide, og la grunnlaget for videre utvikling av matematikk og fysikk i 300 år framover. Prinsippet er at hvis tverrsnittsarealene er like ved skjæringspunktet mellom to kropper med et plan parallelt med et gitt plan, er volumene til disse legemene også like.

Det er bemerkelsesverdig at frem til 1800-tallet var det ingen eksakte definisjoner for volumene til tredimensjonale kropper, og de ble formulert først i 1887 av Giuseppe Peano, og i 1892 av Marie Enmond Camille Jordan. I henhold til SI-systemet ble kubikkmeter hovedenheten for måling av volum, og alle andre enheter (unser, fot, fat, skjepper) forble som alternative enheter.

3D-geometri vakte særlig interesse på 1900-tallet, med utviklingen av abstraksjonismen. I 1966 skapte fotografen Charles F. Cochran sitt berømte «crazy box»-bilde av en kube inne og ut, hvoretter kubiske snøflak, flytende, repeterende, to-etasjers kuber og mer kom inn på listen over umulige 3D-former. Moderne 3D-kunst er også umulig uten bruk av allment aksepterte formler for å finne volum, som, selv om de beregnes av en datamaskin, ble laget for mange århundrer siden.

Hvis det er nok å legge til flere tall i en kolonne for å beregne omkretsen, kan det være nødvendig med en teknisk kalkulator eller en spesiell nettapplikasjon for å bestemme volumet. Dette gjelder alle grunnleggende tredimensjonale figurer: terning, prisme, ball, parallellepiped, kjegle, sylinder, tetraeder og pyramide.

Kube

Siden alle flater av en terning er like lange og alle vinkler er 90 grader, er beregningen av volumet til denne figuren elementær. For ham er det nok å bruke en formel med en ukjent:

V = a³.

Følgelig er V volumet til kuben, a er lengden på overflaten. Volumenheter er standard: meter, desimeter, centimeter, millimeter og så videre.

Prisme

Denne geometriske figuren er et polyeder, hvis to sider er like i form og areal og er i parallelle plan. Og mellom dem er rektangler strengt vinkelrett på basene. Sistnevnte kan ha hvilken som helst polyedrisk form: trekant, femkant, sekskant. Formelen for å bestemme volumet ser uansett den samme ut:

V = Sₒ ⋅ h.

I uttrykket er h høyden på prismet, og Sₒ er arealet av basen. Sistnevnte beregnes i henhold til formelen som tilsvarer denne spesielle figuren, det være seg en trekant, en rombe, en trapes.

Parallepiped

Denne figuren er en av variantene av et prisme, men hvis flatene til sistnevnte er strengt vinkelrett på basene, kan den første ha skrå - med andre vinkler enn 90 grader. Formelen for å beregne volumet til en boks ser imidlertid den samme ut:

V = Sₒ ⋅ h.

Høyden h er tegnet fra hjørnet på den øvre basen vinkelrett nedover, og med skråkanter faller ikke sammen med hjørnet på den nedre basen. Hvis boksen er rektangulær, beregnes volumet som produktet av sidene:

V = a ⋅ b ⋅ h.

A og b er følgelig lengdene på sidene av basen, h er høyden på boksen. I dette tilfellet faller høyden helt sammen med hvilken som helst av sidekantene.

Pyramid

En figur som er vanskeligere å beregne, som består av en polygonal base og trekantede flater, hvor antallet er lik antall sider av basen. Hvis det er en trekant, er det 3 flater, hvis en firkant er 4, hvis en sekskant er 6. Alle sideflater har et felles toppunkt, og volumet beregnes ved hjelp av den universelle formelen:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ t.

Som i de foregående formlene er Sₒ arealet av basen, h er høyden på figuren. Uttrykket endres ikke ved endring av basen, og er det samme for alle varianter av pyramider.

Vanlig tetraeder

Denne figuren har alle dihedriske vinkler ved kantene like, og flatene er likesidede trekanter, inkludert grunnflaten. Dermed kan et vanlig tetraeder kalles en trekantet pyramide med fire identiske sider. Volumet beregnes av formelen:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Det er bare en ukjent i uttrykket - a, som tilsvarer lengden på kanten av et vanlig tetraeder. Alle kantene i den er like, så det er nok å kube, deretter multiplisere med roten og dele på 12.

Sylinder

Denne geometriske figuren består av to runde baser, identiske i diameter og parallelle med hverandre. De er forbundet med en sammenhengende sideflate vinkelrett på basene. Sistnevnte kan representeres både av sirkler og ovaler. Uansett ser formlene for å beregne volumet like ut:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

I disse ligningene er Sₒ arealet av sylinderens basis, h er høyden til sylinderen, og R er radiusen til basen. Den første formelen er kun egnet for sylindre med en perfekt rund base, og den andre formelen passer for alle sylindre, inkludert ovale og elliptiske.

kjegle

En annen vanlig 3D-form er kjeglen, med en rund base og en skarp spiss. For å beregne volumet kan du bruke en av to matematiske formler:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ t.

Den første er kun egnet for kjegler med rund base, og den andre er universell, og kan brukes til å beregne figurer med ovale og ellipsoide baser. Notasjonen i formlene er standard: Sₒ er arealet av basen, R er radiusen til basen, h er høyden til kjeglen.

Ball

Til slutt, for å beregne volumet til en kule, trenger du bare konstanten π (lik 3,14...), og dens radius:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

R er følgelig radiusen til ballen, som er nok til å bestemme volumet til denne figuren.

For ikke å kaste bort tid og puslespill over komplekse beregninger, kan du bruke en trykkknapp (eller programvare) teknisk kalkulator med røtter og grader, eller en spesiell online kalkulator med tomme felt for å angi egenskapene til tredimensjonale figurer .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Volumkalkulator