Формула объёма цилиндра, куба, конуса, пирамиды, призмы
Объём — одна из важнейших геометрических характеристик: наравне с периметром и площадью фигур. Но применяться она может только к трёхмерным телам, которые характеризуются не только длиной и шириной, но и высотой/толщиной.
Шары, кубы, цилиндры, пирамиды, конусы, параллелепипеды — всё это объёмные фигуры, расчёт которых проводится по специальным формулам, многие из которых были открыты учёными ещё до нашей эры.
Историческая справка
Древний Египет и Вавилон
Первые свидетельства применения объёмных фигур относятся к Древнему Египту, а точнее — к его строительству и архитектуре. Так, величественные пирамидальные постройки невозможно было бы возвести, не зная базовых принципов определения массы и объёма. А значит, древние египтяне, как минимум, могли рассчитывать объём кубов, призм и пирамид.
Яркий пример — гробница фараона Хеопса высотой в 147 метров, имеющая идеальную геометрическую форму пирамиды. Сложить её из отдельных кирпичей и блоков на глаз таким образом, чтобы она простояла более 4500 лет, невозможно, для этого нужны математические и инженерные расчёты высокой точности.
Документальных подтверждений того, что древние египтяне и вавилоняне пользовались конкретными формулами для вычисления объёма, не существует и, возможно они применялись только в графической и устной форме — с соблюдением отдельных принципов, а не чётко сформулированных правил.
Из Древнего Вавилона до нас дошли только глиняные таблички, на которых описывались правила расчёта усечённой (не полной) пирамиды, но их было бы недостаточно для строительства объектов таких масштабов. Известно, что многие древние цивилизации рассчитывали объём элементарных фигур, умножая площадь их основания на высоту, но это неприменимо к таким объектам, как конусы, пирамиды, тетраэдры. Хотя они часто встречаются в древней архитектуре и имеют чётко выверенные пропорции.
Древняя Греция
Более чётко принципы нахождения объёмов были сформулированы в Древней Греции — с V по II века до нашей эры. Евклид (Εὐκλείδης) вводит понятие куба, который одновременно означает и объём одноимённой фигуры, и возведение числа в 3 степень. А Демокрит (Δημόκριτος) в V веке до нашей эры впервые сформулировал правило для нахождения объёма пирамиды, который, согласно его исследованиям, всегда равен 1/3 объёма призмы такой же высоты и с таким же основанием.
В период с VI по II века до нашей эры древнегреческие математики также научились рассчитывать объём призм, цилиндров и конусов, используя уже открытое число «пи», необходимое для расчётов всех округлых фигур. Исследования Архимеда (Ἀρχιμήδης) легли в основу интегрального метода исчисления, а своим главным открытием он считал формулу, согласной которой объём шара всегда на 2/3 меньше объёма описанного вокруг него цилиндра. Кроме Архимеда, большой вклад в изучение геометрии также внесли Демокрит и Евдокс Книдский (Εὔδοξος ὁ Κνίδιος).
Новое время
Во времена Античности были выведены все основные формулы для расчёта объёмных фигур, и Средневековье не дало ни одного принципиально нового открытия в этой области — за исключением индийских исследователей (главным образом — Брахмагупты (ब्रह्मगुप्त)), которые в VI–VII веках создали несколько геометрических правил с добавлением новой величины — полупериметра. Принципиально новый подход был применён только в Новое время — в XVI–XVII веках.
В своём труде «Геометрия» (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) 1635 года итальянский учёный Бонавентура Кавальери (Bonaventura Francesco Cavalieri) предложил новый принцип для нахождения объёма пирамиды, и заложил фундамент для дальнейшего развития математики и физики на 300 лет вперёд. Принцип заключается в том, что если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, площади сечений равны, объёмы этих тел тоже равны между собой.
Примечательно, что до XIX века точных определений для объёмов трёхмерных тел не существовало, и они были сформулированы только в 1887 году — Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano), и в 1892 году — Мари Энмоном Камилем Жорданом (Marie Ennemond Camille Jordan). Согласно системе СИ (Système international d’unités, SI), основной единицей измерения объёма стал кубический метр, а все прочие единицы (унции, футы, баррели, бушели) остались в качестве альтернативных.
Объёмная геометрия вызвала к себе особый интерес в XX веке — с развитием абстракционизма. В 1966 году фотограф Чарльз Ф. Кокран (Charles F. Cochran) создал свою знаменитую фотографию «сумасшедший ящик» с кубом, вывернутым наизнанку, после чего список невозможных трёхмерных фигур пополнили кубические снежинки, парящие, повторяющиеся, двухэтажные кубы и многое другое. Современное 3D-искусство тоже невозможно без использования общепринятых формул для нахождения объёма, которые, хотя и рассчитываются компьютером, но были созданы многие века назад.
