Kalkulator prostornine

Obseg je ena najpomembnejših geometrijskih značilnosti: skupaj z obsegom in površino figur. Lahko pa se uporabi samo za tridimenzionalna telesa, za katera ni značilna samo dolžina in širina, temveč tudi višina/debelina.

Krogle, kocke, valji, piramide, stožci, paralelepipedi - vse to so tridimenzionalne figure, katerih izračun se izvaja po posebnih formulah, od katerih so mnoge odkrili znanstveniki pred našim štetjem.

Zgodovinsko ozadje

Stari Egipt in Babilon

Prvi dokazi o uporabi tridimenzionalnih figur se nanašajo na Stari Egipt, oziroma na njegovo gradnjo in arhitekturo. Tako veličastnih piramidnih struktur ni bilo mogoče zgraditi brez poznavanja osnovnih principov za določanje mase in prostornine. To pomeni, da so vsaj stari Egipčani znali izračunati prostornino kock, prizem in piramid.

Nazoren primer je grobnica faraona Keopsa, visoka 147 metrov, ki ima idealno geometrijsko obliko piramide. Nemogoče ga je sestaviti iz posameznih opek in blokov tako, da bi stal več kot 4500 let, za to so potrebni zelo natančni matematični in inženirski izračuni.

Ni dokumentarnih dokazov, da so stari Egipčani in Babilonci uporabljali posebne formule za izračun prostornine in morda so jih uporabljali samo v grafični in ustni obliki – po ločenih načelih, ne jasno oblikovanih pravilih.

Iz starega Babilona so do nas prišle le glinene tablice, ki opisujejo pravila za izračun prisekane (ne popolne) piramide, vendar ne bi bile dovolj za gradnjo objektov takšnega obsega. Znano je, da so številne starodavne civilizacije izračunale prostornino osnovnih figur tako, da so površino njihove osnove pomnožile z višino, vendar to ne velja za predmete, kot so stožci, piramide, tetraedri. Čeprav jih pogosto najdemo v starodavni arhitekturi in imajo dobro definirana razmerja.

Stara Grčija

Načela iskanja volumnov so bila jasneje oblikovana v stari Grčiji - od 5. do 2. stoletja pred našim štetjem. Evklid uvede pojem kocke, ki hkrati pomeni prostornino istoimenskega lika in dvig števila na 3. potenco. In Demokrit je v 5. stoletju pred našim štetjem prvič oblikoval pravilo za iskanje prostornine piramide, ki je po njegovih raziskavah vedno enaka 1/3 prostornine prizme enake višine in z enakim osnova.

V obdobju od 6. do 2. stoletja pred našim štetjem so se starogrški matematiki naučili izračunati tudi prostornino prizem, valjev in stožcev, pri čemer so uporabili že odkrito število "pi", ki je nujno za izračun vseh okroglih številk. Arhimedove raziskave so bile osnova integralne metode računanja, za svoje glavno odkritje pa je štel formulo, po kateri je prostornina krogle vedno 2/3 manjša od prostornine valja, ki je okoli nje opisan. Poleg Arhimeda sta k preučevanju geometrije veliko prispevala tudi Demokrit in Evdoks iz Knida.

Nov čas

V antiki so bile izpeljane vse osnovne formule za izračun tridimenzionalnih figur, srednji vek pa ni dal niti enega bistveno novega odkritja na tem področju - z izjemo indijskih raziskovalcev (predvsem Brahmagupta), ki so ustvarili več geometrijskih vlada v 6.-7. stoletju z dodano novo vrednostjo - polobod. Bistveno nov pristop je bil uporabljen šele v sodobnem času - v XVI-XVII stoletju.

V svojem delu "Geometrija" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) iz leta 1635 je italijanski znanstvenik Bonaventura Cavalieri predlagal nov princip za iskanje prostornine piramide in postavil temelje za nadaljnji razvoj matematike in fizike za prihodnjih 300 let. Načelo je, da če sta v presečišču dveh teles s katero koli ravnino, ki je vzporedna z neko dano ravnino, prečni prerezi enaki, sta tudi prostornini teh teles enaki.

Omeniti velja, da vse do 19. stoletja ni bilo natančnih definicij za prostornine tridimenzionalnih teles in sta jih oblikovala šele leta 1887 Giuseppe Peano in leta 1892 Marie Enmond Camille Jordan. Po sistemu SI je kubični meter postal glavna enota za merjenje prostornine, vse druge enote (unče, čevlji, sodi, buši) pa so ostale kot alternativne.

3D-geometrija je vzbudila posebno zanimanje v 20. stoletju z razvojem abstrakcionizma. Leta 1966 je fotograf Charles F. Cochran ustvaril svojo znamenito fotografijo "nore škatle" kocke, obrnjene navznoter, po kateri so se kubične snežinke, lebdeče, ponavljajoče se dvonadstropne kocke in drugo uvrstile na seznam nemogočih 3D oblik. Sodobna 3D umetnost je tudi nemogoča brez uporabe splošno sprejetih formul za iskanje volumna, ki so bile, čeprav računalniško izračunane, ustvarjene že pred mnogimi stoletji.

Kako izračunati prostornino (formule za prostornino)

Če je za izračun obsega dovolj dodati več števil v stolpec, bo morda za določitev prostornine potreben inženirski kalkulator ali posebna spletna aplikacija. To velja za vse osnovne tridimenzionalne figure: kocka, prizma, krogla, paralelopiped, stožec, valj, tetraeder in piramida.

Kocka

Ker so vse ploskve kocke enako dolge in vsi koti merijo 90 stopinj, je izračun prostornine te figure elementaren. Zanj je dovolj, da uporabi formulo z eno neznanko:

V = a³.

V skladu s tem je V prostornina kocke, a je dolžina njene ploskve. Enote za prostornino so standardne: meter, decimeter, centimeter, milimeter itd.

Prizma

Ta geometrijski lik je polieder, katerega strani sta enake oblike in površine ter sta v vzporednih ravninah. In med njimi so pravokotniki, ki so strogo pravokotni na baze. Slednji ima lahko poljubno poliedrično obliko: trikotnik, peterokotnik, šestkotnik. Formula za določanje glasnosti je v vsakem primeru enaka:

V = Sₒ ⋅ h.

V izrazu je h višina prizme, Sₒ pa ploščina njene osnove. Slednji se izračuna po formuli, ki ustreza tej določeni figuri, naj bo to trikotnik, romb, trapez.

Paralepiped

Ta številka je ena od vrst prizme, če pa so ploskve slednje strogo pravokotne na osnove, ima lahko prva poševna - s koti, ki niso 90 stopinj. Vendar je formula za izračun prostornine škatle videti enaka:

V = Sₒ ⋅ h.

Višina h je narisana iz vogala zgornje baze pravokotno navzdol in s poševnimi robovi ne sovpada z vogalom spodnje baze. Če je škatla pravokotna, se prostornina izračuna kot produkt stranic:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Skladno s tem sta a in b dolžini stranic baze, h je višina škatle. V tem primeru višina popolnoma sovpada s katerim koli stranskim robom.

Piramida

Lik, ki ga je težje izračunati, sestavljen iz mnogokotne osnove in trikotnih ploskev, katerih število je enako številu stranic osnove. Če je trikotnik, so 3 ploskve, če je kvadrat 4, če je šestkotnik 6. Vse stranske ploskve imajo skupno oglišče, prostornino pa izračunamo po univerzalni formuli:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Kot v prejšnjih formulah je Sₒ ploščina osnove, h je višina figure. Izraz se pri menjavi osnove ne spremeni in je enak za vse različice piramid.

Pravilni tetraeder

Ta lik ima vse diedrske kote na robovih enake, ploskve pa so enakostranični trikotniki, vključno z osnovo. Tako lahko pravilni tetraeder imenujemo trikotna piramida s štirimi enakimi stranicami. Njegova prostornina se izračuna po formuli:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

V izrazu je samo ena neznanka - a, ki ustreza dolžini roba pravilnega tetraedra. Vsi robovi v njem so enaki, zato je dovolj kockanje, nato pomnoženje s korenom in delitev z 12.

Cilinder

Ta geometrijska figura je sestavljena iz dveh okroglih osnov, enakega premera in vzporednih druga z drugo. Med seboj so povezani z eno neprekinjeno stransko površino, pravokotno na baze. Slednje lahko predstavljamo s krogi in ovali. V vsakem primeru so formule za izračun prostornine enake:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

V teh enačbah je Sₒ ploščina osnove valja, h je višina valja in R je polmer osnove. Prva formula je primerna samo za cilindre s popolno okroglo osnovo, druga formula pa je primerna za vse cilindre, vključno z ovalnimi in eliptičnimi.

Stožec

Druga pogosta 3D oblika je stožec z okroglo osnovo in ostro konico. Za izračun njegove prostornine lahko uporabite eno od dveh matematičnih formul:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Prvi je primeren samo za stožce z okroglo osnovo, drugi pa je univerzalen in se lahko uporablja za izračun likov z ovalnimi in elipsoidnimi osnovami. Zapis v formulah je standarden: Sₒ je površina baze, R je polmer baze, h je višina stožca.

Žoga

Za izračun prostornine krogle potrebujete samo konstanto π (enako 3,14 ...) in njen polmer:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

V skladu s tem je R polmer krogle, ki zadostuje za določitev prostornine te figure.

Da ne bi izgubljali časa in se ugankali z zapletenimi izračuni, lahko uporabite gumbni (ali programski) inženirski kalkulator s koreninami in stopinjami ali poseben spletni kalkulator s praznimi polji za vnos značilnosti tridimenzionalnih figur .

Kalkulator prostornine

Drugi pripomočki