Kalkulator zapremine

Zapremina je jedna od najvažnijih geometrijskih karakteristika: zajedno sa perimetrom i površinom figura. Ali može se primeniti samo na trodimenzionalna tela, koja se ne odlikuju samo dužinom i širinom, već i visinom/debljinom.

Sfere, kocke, cilindri, piramide, konusi, paralelepipedi - sve su to trodimenzionalne figure, čije se izračunavanje vrši prema posebnim formulama, od kojih su mnoge otkrili naučnici pre naše ere.

Istorijska pozadina

Drevni Egipat i Vavilon

Prvi dokazi o upotrebi trodimenzionalnih figura odnose se na Stari Egipat, tačnije na njegovu konstrukciju i arhitekturu. Dakle, veličanstvene piramidalne strukture nisu mogle biti izgrađene bez poznavanja osnovnih principa za određivanje mase i zapremine. To znači da su stari Egipćani, barem, mogli izračunati zapreminu kocke, prizme i piramide.

Živan primer je grobnica faraona Keopsa, visoka 147 metara, koja ima idealan geometrijski oblik piramide. Nemoguće ga je sastaviti od pojedinačnih cigli i blokova na način da stoji više od 4500 godina; za to su potrebni visoko precizni matematički i inženjerski proračuni.

Nema dokumentarnih dokaza da su stari Egipćani i Vavilonci koristili određene formule za izračunavanje zapremine, a možda su korišćene samo u grafičkom i usmenom obliku – prateći odvojena načela, a ne jasno formulisana pravila.

Iz Drevnog Vavilona do nas su došle samo glinene tablice koje opisuju pravila za izračunavanje skraćene (ne potpune) piramide, ali one ne bi bile dovoljne za izgradnju objekata takve razmere. Poznato je da su mnoge drevne civilizacije izračunavale zapreminu elementarnih figura množenjem površine njihove osnove visinom, ali to nije primenjivo na objekte kao što su konusi, piramide, tetraedri. Iako se često nalaze u antičkoj arhitekturi i imaju dobro definisane proporcije.

Drevna Grčka

Principi pronalaženja tomova bili su jasnije formulisani u Staroj Grčkoj – od 5. do 2. veka pre nove ere. Euklid uvodi pojam kocke, koji istovremeno označava i zapreminu istoimene figure i podizanje broja na 3. stepen. A Demokrit je u 5. veku pre nove ere prvi put formulisao pravilo za pronalaženje zapremine piramide, koja je, prema njegovim istraživanjima, uvek jednaka 1/3 zapremine prizme iste visine i sa istim baza.

U periodu od 6. do 2. veka pre nove ere, starogrčki matematičari su takođe naučili da izračunavaju zapreminu prizmi, cilindara i konusa, koristeći već otkriveni broj „pi“, koji je neophodan za izračunavanje svih okruglih figura. Arhimedova istraživanja su činila osnovu integralne metode računa, a svojim glavnim otkrićem smatrao je formulu po kojoj je zapremina lopte uvek 2/3 manja od zapremine cilindra opisanog oko nje. Pored Arhimeda, veliki doprinos proučavanju geometrije dali su i Demokrit i Eudoks Knidski.

Novo vreme

Tokom antike su izvedene sve osnovne formule za izračunavanje trodimenzionalnih figura, a srednji vek nije dao ni jedno suštinski novo otkriće u ovoj oblasti – sa izuzetkom indijskih istraživača (uglavnom Bramagupte), koji su stvorili nekoliko geometrijskih pravila u VI-VII veku sa dodatkom nove vrednosti – poluperimetra. Suštinski novi pristup primenjen je tek u moderno doba - u KSVI-KSVII veku.

U svom delu „Geometrija“ (Geometria indivisibilibus continuorum nova kuadam ratione promota) iz 1635. godine, italijanski naučnik Bonaventura Kavalijeri predložio je novi princip za pronalaženje zapremine piramide i postavio temelje za dalji razvoj matematike i fizike. za narednih 300 godina. Princip je da ako su na preseku dva tela bilo kojom ravni paralelnom nekoj datoj ravni površine poprečnog preseka jednake, zapremine ovih tela su takođe jednake.

Važno je da sve do 19. veka nisu postojale tačne definicije za zapremine trodimenzionalnih tela, a formulisao ih je tek 1887. Đuzepe Peano, a 1892. Mari Enmond Kamil Džordan. Prema SI sistemu, kubni metar je postao glavna jedinica mere zapremine, a sve ostale jedinice (unce, stope, buradi, bušeli) ostale su kao alternativne.

3D geometrija je izazvala posebno interesovanje u 20. veku, sa razvojem apstrakcionizma. Godine 1966, fotograf Čarls F. Kokran napravio je svoju čuvenu „ludu kutiju” fotografiju kocke iznutra napolje, nakon čega su na listu nemogućih 3D oblika ušle kubične pahulje, plutajuće, ponavljajuće, dvospratne kocke i još mnogo toga. Savremena 3D umetnost je takođe nemoguća bez upotrebe opšteprihvaćenih formula za pronalaženje zapremine, koje su, iako izračunate računarom, stvorene pre mnogo vekova.

Kako pronaći zapreminu (formule za zapreminu)

Ako je za izračunavanje perimetra dovoljno dodati nekoliko brojeva u kolonu, možda će biti potreban inženjerski kalkulator ili specijalna onlajn aplikacija za određivanje zapremine. Ovo se odnosi na sve osnovne trodimenzionalne figure: kocka, prizma, lopta, paralelepiped, konus, cilindar, tetraedar i piramida.

Kocka

Pošto su sve strane kocke iste dužine i svi uglovi su 90 stepeni, izračunavanje zapremine ove figure je elementarno. Za njega je dovoljno koristiti formulu sa jednom nepoznatom:

V = a³.

Prema tome, V je zapremina kocke, a je dužina njenog lica. Jedinice zapremine su standardne: metar, decimetar, centimetar, milimetar i tako dalje.

Prizma

Ova geometrijska figura je poliedar, čije su dve strane iste po obliku i površini i nalaze se u paralelnim ravnima. A između njih su pravougaonici strogo okomiti na osnove. Potonji može imati bilo koji poliedarski oblik: trougao, petougao, šestougao. Formula za određivanje zapremine u svakom slučaju izgleda isto:

V = Sₒ ⋅ h.

U izrazu, h je visina prizme, a Sₒ je površina njene osnove. Ovo poslednje se izračunava prema formuli koja odgovara ovoj konkretnoj figuri, bilo da je u pitanju trougao, romb, trapez.

Paralepiped

Ova figura je jedna od varijanti prizme, ali ako su lica ove druge striktno okomita na osnove, onda prva može imati zakošene - sa uglovima drugačijim od 90 stepeni. Međutim, formula za izračunavanje zapremine kutije izgleda isto:

V = Sₒ ⋅ h.

Visina h je povučena od ugla gornje osnove upravno nadole i sa zakošenim ivicama se ne poklapa sa uglom donje osnove. Ako je kutija pravougaona, zapremina se izračunava kao proizvod stranica:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Prema tome, a i b su dužine stranica osnove, h je visina kutije. U ovom slučaju, visina se potpuno poklapa sa bilo kojom od bočnih ivica.

Piramida

Teža figura koja se sastoji od poligonalne osnove i trouglastih lica, čiji je broj jednak broju stranica osnove. Ako je trougao, postoje 3 lica, ako je kvadrat 4, ako je šestougao 6. Sve bočne strane imaju zajednički vrh, a zapremina se izračunava pomoću univerzalne formule:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Kao iu prethodnim formulama, Sₒ je površina osnove, h je visina figure. Izraz se ne menja pri promeni osnove i isti je za sve varijante piramida.

Pravilan tetraedar

Ova figura ima sve diedarske uglove na ivicama jednake, a lica su jednakostranični trouglovi, uključujući osnovu. Dakle, pravilan tetraedar se može nazvati trouglastom piramidom sa četiri identične stranice. Njegova zapremina se izračunava po formuli:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Postoji samo jedna nepoznata u izrazu - a, koja odgovara dužini ivice pravilnog tetraedra. Sve ivice u njemu su iste, pa je dovoljno da se kockuje, pa pomnoži sa korenom i podeli sa 12.

Cilindar

Ova geometrijska figura se sastoji od dve okrugle osnove, identičnog prečnika i paralelnih jedna drugoj. Oni su međusobno povezani jednom neprekidnom bočnom površinom upravnom na osnove. Potonji mogu biti predstavljeni i krugovima i ovalima. U svakom slučaju, formule za izračunavanje zapremine izgledaju isto:

V = p ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

U ovim jednačinama, Sₒ je površina osnove cilindra, h je visina cilindra, a R je poluprečnik osnove. Prva formula je pogodna samo za cilindre sa savršenom okruglom bazom, a druga formula je pogodna za sve cilindre, uključujući ovalne i eliptične.

Konus

Još jedan uobičajeni 3D oblik je konus, sa okruglom bazom i oštrim vrhom. Da biste izračunali njegovu zapreminu, možete koristiti jednu od dve matematičke formule:

V = (1/3) ⋅ p ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Prva je pogodna samo za čunjeve sa okruglom osnovom, a druga je univerzalna i može se koristiti za izračunavanje figura sa ovalnim i elipsoidnim osnovama. Oznaka u formulama je standardna: Sₒ je površina osnove, R je poluprečnik osnove, h je visina konusa.

Lopta

Konačno, da biste izračunali zapreminu sfere, potrebna vam je samo konstanta p (jednaka 3,14...) i njen poluprečnik:

V = (4/3) ⋅ p ⋅ R³.

Prema tome, R je poluprečnik lopte, što je dovoljno da se odredi zapremina ove figure.

Da ne biste gubili vreme i zagonetali složene proračune, možete koristiti tasterski (ili softverski) inženjerski kalkulator sa korenima i stepenima ili poseban onlajn kalkulator sa praznim poljima za unos karakteristika trodimenzionalnih figura .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Kalkulator zapremine