Volymräknare

Lägg till på webbplatsen Metainformation

Andra verktyg

Områdeskalkylator{$ ',' | translate $}
Omkretskalkylator{$ ',' | translate $}
Multiplikationstabell{$ ',' | translate $}
Periodiska systemet{$ ',' | translate $}
Matris-kalkylator{$ ',' | translate $}
LCM-kalkylator{$ ',' | translate $}
Kalkylator för trigonometri{$ ',' | translate $}
GCF-kalkylator

Volymräknare

Volym är en av de viktigaste geometriska egenskaperna: tillsammans med figurernas omkrets och area. Men det kan bara tillämpas på tredimensionella kroppar, som inte bara kännetecknas av längd och bredd, utan också av höjd/tjocklek.

Sfärer, kuber, cylindrar, pyramider, koner, parallellepipeder - alla dessa är tredimensionella figurer, vars beräkning utförs enligt speciella formler, av vilka många upptäcktes av forskare före vår tideräkning.

Historisk bakgrund

Forntida Egypten och Babylon

Det första beviset på användningen av tredimensionella figurer hänvisar till det antika Egypten, eller snarare till dess konstruktion och arkitektur. Majestätiska pyramidstrukturer kunde således inte byggas utan att känna till de grundläggande principerna för att bestämma massa och volym. Det betyder att de gamla egyptierna åtminstone kunde beräkna volymen av kuber, prismor och pyramider.

Ett levande exempel är farao Cheops grav, 147 meter hög, som har en idealisk geometrisk form av en pyramid. Det är omöjligt att sätta ihop det från enskilda tegelstenar och block på ett sådant sätt att det har stått i mer än 4500 år; detta kräver matematiska och tekniska beräkningar med hög precision.

Det finns inga dokumentära bevis för att de forntida egyptierna och babylonierna använde specifika formler för att beräkna volym, och kanske användes de bara i grafisk och muntlig form - enligt separata principer, inte tydligt formulerade regler.

Från det antika Babylon har bara lertavlor kommit ner till oss, som beskriver reglerna för beräkning av en stympad (ej komplett) pyramid, men de skulle inte räcka till för att bygga föremål i en sådan skala. Det är känt att många forntida civilisationer beräknade volymen av elementära figurer genom att multiplicera arean av deras bas med höjden, men detta är inte tillämpligt på sådana föremål som koner, pyramider, tetraedrar. Även om de ofta finns i antik arkitektur och har väldefinierade proportioner.

Ankta Grekland

Principerna för att hitta volymer formulerades tydligare i antikens Grekland - från 500- till 200-talen f.Kr. Euklid introducerar begreppet en kub, som samtidigt betyder både volymen av figuren med samma namn och höjningen av ett tal till 3:e potens. Och Demokritos på 500-talet f.Kr. formulerade för första gången en regel för att hitta volymen av en pyramid, som enligt hans forskning alltid är lika med 1/3 av volymen av ett prisma av samma höjd och med samma bas.

Under perioden från 600-talet till 200-talet f.Kr. lärde sig antika grekiska matematiker också att beräkna volymen av prismor, cylindrar och kottar med hjälp av det redan upptäckta talet "pi", som är nödvändigt för att beräkna alla runda siffror. Arkimedes forskning låg till grund för integralmetoden för kalkyl, och han ansåg att hans huvudsakliga upptäckt var formeln enligt vilken volymen av en boll alltid är 2/3 mindre än volymen på cylindern som beskrivs runt den. Förutom Arkimedes har Demokrit och Eudoxus från Cnidus också gjort ett stort bidrag till studiet av geometri.

Ny tid

Under antiken härleddes alla grundläggande formler för att beräkna tredimensionella figurer, och medeltiden gav inte en enda fundamentalt ny upptäckt på detta område - med undantag för indiska forskare (främst Brahmagupta), som skapade flera geometriska regler på 6-700-talen med tillägg av ett nytt värde - halvperimetern. Ett i grunden nytt tillvägagångssätt tillämpades endast i modern tid - under XVI-XVII-talen.

I sitt arbete "Geometri" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) från 1635 föreslog den italienska vetenskapsmannen Bonaventura Cavalieri en ny princip för att hitta volymen av en pyramid och lade grunden för den fortsatta utvecklingen av matematik och fysik i 300 år framöver. Principen är att om tvärsnittsareorna är lika vid skärningspunkten mellan två kroppar med ett plan parallellt med något givet plan, är volymerna för dessa kroppar också lika.

Det är anmärkningsvärt att fram till 1800-talet fanns det inga exakta definitioner för volymerna av tredimensionella kroppar, och de formulerades först 1887 av Giuseppe Peano och 1892 av Marie Enmond Camille Jordan. Enligt SI-systemet blev kubikmetern huvudenhet för mätning av volym, och alla andra enheter (uns, fot, fat, skäppor) förblev som alternativa.

3D-geometri väckte särskilt intresse under 1900-talet, med utvecklingen av abstraktionismen. 1966 skapade fotografen Charles F. Cochran sitt berömda "crazy box"-foto av en inifrån-ut-kub, varefter kubiska snöflingor, flytande, repeterande, tvåvåningskuber och mer kom in på listan över omöjliga 3D-former. Modern 3D-konst är också omöjlig utan användning av allmänt accepterade formler för att hitta volym, som, även om de beräknades av en dator, skapades för många århundraden sedan.

Hur man hittar volym (volymformler)

Om det räcker att lägga till flera siffror i en kolumn för att beräkna omkretsen, kan en teknisk kalkylator eller en speciell onlineapplikation behövas för att bestämma volymen. Detta gäller alla grundläggande tredimensionella figurer: kub, prisma, kula, parallellepiped, kon, cylinder, tetraeder och pyramid.

Kub

Eftersom alla ytor på en kub är lika långa och alla vinklar är 90 grader, är beräkningen av volymen av denna figur elementär. För honom räcker det att använda en formel med en okänd:

V = a³.

Därför är V volymen på kuben, a är längden på dess yta. Volymenheter är standard: meter, decimeter, centimeter, millimeter och så vidare.

Prisma

Denna geometriska figur är en polyeder, vars två sidor är lika i form och yta och är i parallella plan. Och mellan dem är rektanglar strikt vinkelräta mot baserna. Den senare kan ha vilken polyedrisk form som helst: triangel, femhörning, hexagon. Formeln för att bestämma volymen ser i alla fall likadan ut:

V = Sₒ ⋅ h.

I uttrycket är h prismats höjd och Sₒ är arean av dess bas. Den senare beräknas enligt formeln som motsvarar just denna figur, vare sig det är en triangel, en romb, en trapets.

Parallepiped

Denna figur är en av varianterna av ett prisma, men om ytorna på det senare är strikt vinkelräta mot baserna, kan den första ha fasade - med andra vinklar än 90 grader. Formeln för att beräkna volymen av en låda ser dock densamma ut:

V = Sₒ ⋅ h.

Höjden h är ritad från hörnet på den övre basen vinkelrätt nedåt, och med fasade kanter sammanfaller inte med hörnet på den nedre basen. Om lådan är rektangulär beräknas volymen som produkten av sidorna:

V = a ⋅ b ⋅ h.

A och b är följaktligen längderna på sidorna av basen, h är höjden på lådan. I det här fallet sammanfaller höjden helt med någon av sidokanterna.

Pyramid

En siffra som är svårare att beräkna, som består av en polygonal bas och triangulära ytor, vars antal är lika med antalet sidor på basen. Om det är en triangel finns det 3 ytor, om en kvadrat är 4, om en hexagon är 6. Alla sidoytor har en gemensam vertex, och volymen beräknas med den universella formeln:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Som i de föregående formlerna är Sₒ arean av basen, h är figurens höjd. Uttrycket ändras inte när basen ändras och är detsamma för alla varianter av pyramid.

Vanlig tetraeder

Denna figur har alla tvåsidiga vinklar vid kanterna lika, och ytorna är liksidiga trianglar, inklusive basen. Således kan en vanlig tetraeder kallas en triangulär pyramid med fyra identiska sidor. Dess volym beräknas med formeln:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Det finns bara en okänd i uttrycket - a, motsvarande längden på kanten på en vanlig tetraeder. Alla kanter i den är lika, så det räcker med att kuba, sedan multiplicera med roten och dividera med 12.

Cylinder

Denna geometriska figur består av två runda baser, identiska i diameter och parallella med varandra. De är sammankopplade med en kontinuerlig sidoyta vinkelrät mot baserna. Den senare kan representeras både av cirklar och ovaler. Formlerna för att beräkna volymen ser i alla fall likadana ut:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

I dessa ekvationer är Sₒ arean av cylinderns bas, h är cylinderns höjd och R är basens radie. Den första formeln är endast lämplig för cylindrar med en perfekt rund bas, och den andra formeln är lämplig för alla cylindrar, inklusive ovala och elliptiska.

Kon

En annan vanlig 3D-form är konen, med en rund bas och en skarp spets. För att beräkna dess volym kan du använda en av två matematiska formler:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Den första är endast lämplig för koner med en rund bas, och den andra är universell och kan användas för att beräkna figurer med ovala och ellipsoida baser. Notationen i formlerna är standard: Sₒ är arean av basen, R är radien för basen, h är konens höjd.

Bollen

Slutligen, för att beräkna volymen av en sfär behöver du bara konstanten π (lika med 3,14...) och dess radie:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Därför är R bollens radie, vilket är tillräckligt för att bestämma volymen på denna figur.

För att inte slösa tid och pussla över komplexa beräkningar kan du använda en tryckknapps- (eller mjukvaru) teknisk kalkylator med rötter och grader, eller en speciell online-kalkylator med tomma fält för att ange egenskaperna hos tredimensionella figurer .