Hacim hesaplayıcısı

Hacim, en önemli geometrik özelliklerden biridir: şekillerin çevresi ve alanı ile birlikte. Ancak yalnızca uzunluk ve genişlikle değil, aynı zamanda yükseklik/kalınlıkla da karakterize edilen üç boyutlu gövdelere uygulanabilir.

Küreler, küpler, silindirler, piramitler, koniler, paralelyüzler - bunların tümü, çoğu çağımızdan önce bilim adamları tarafından keşfedilen özel formüllere göre hesaplanan üç boyutlu şekillerdir.

Tarihsel arka plan

Eski Mısır ve Babil

Üç boyutlu figürlerin kullanımına ilişkin ilk kanıt, Eski Mısır'a, daha doğrusu onun inşasına ve mimarisine atıfta bulunur. Bu nedenle, kütle ve hacmin belirlenmesi için temel ilkeler bilinmeden görkemli piramidal yapılar inşa edilemez. Bu, en azından eski Mısırlıların küplerin, prizmaların ve piramitlerin hacmini hesaplayabildikleri anlamına gelir.

Canlı bir örnek, ideal bir geometrik piramit şekline sahip olan, 147 metre yüksekliğindeki Firavun Cheops'un mezarıdır. Tek tek tuğla ve bloklardan 4500 yıldan fazla ayakta kalacak şekilde bir araya getirilmesi imkansızdır; bu, yüksek hassasiyetli matematik ve mühendislik hesaplamaları gerektirir.

Eski Mısırlıların ve Babillilerin hacmi hesaplamak için belirli formüller kullandıklarına dair hiçbir belgesel kanıt yoktur ve belki de bunlar, açıkça formüle edilmiş kurallar yerine ayrı ilkelere göre yalnızca grafik ve sözlü biçimde kullanılmıştır.

Antik Babil'den bize yalnızca kesik (tam olmayan) bir piramidin hesaplanmasına ilişkin kuralları açıklayan kil tabletler geldi, ancak bunlar bu kadar büyük ölçekli nesnelerin inşası için yeterli olmayacaktı. Birçok eski uygarlığın temel figürlerin hacmini tabanlarının alanını yükseklikle çarparak hesapladığı bilinmektedir, ancak bu koniler, piramitler, tetrahedra gibi nesneler için geçerli değildir. Genellikle antik mimaride bulunmalarına ve iyi tanımlanmış oranlara sahip olmalarına rağmen.

Antik Yunanistan

Cilt bulma ilkeleri, MÖ 5. yüzyıldan 2. yüzyıla kadar Antik Yunanistan'da daha açık bir şekilde formüle edildi. Öklid, aynı anda hem aynı isimli figürün hacmi hem de bir sayının 3. kuvvete yükseltilmesi anlamına gelen küp kavramını ortaya koyar. Ve ilk kez MÖ 5. yüzyılda Demokritos, araştırmasına göre her zaman aynı yükseklikte ve aynı olan bir prizmanın hacminin 1 / 3'üne eşit olan bir piramidin hacmini bulmak için bir kural formüle etti. temel.

MÖ 6. yüzyıldan 2. yüzyıla kadar olan dönemde, antik Yunan matematikçiler, çok yönlü şekilleri hesaplamak için gerekli olan, zaten keşfedilmiş olan "pi" sayısını kullanarak prizmaların, silindirlerin ve konilerin hacmini hesaplamayı da öğrendiler. Arşimet'in araştırması, integral hesap yönteminin temelini oluşturdu ve ana keşfini, bir topun hacminin her zaman etrafında tanımlanan silindirin hacminden 2/3 daha az olduğu formül olarak gördü. Arşimet'in yanı sıra Demokritos ve Cnidus'lu Eudoxus da geometri çalışmalarına büyük katkılarda bulundu.

Yeni zaman

Antik Çağ boyunca, üç boyutlu şekilleri hesaplamak için tüm temel formüller türetildi ve Orta Çağ, bu alanda temelde yeni tek bir keşif vermedi - birkaç geometrik yaratan Hintli araştırmacılar (esas olarak Brahmagupta) dışında. 6.-7. yüzyıllarda yeni bir değerin eklenmesiyle - yarı çevre. Temel olarak yeni bir yaklaşım yalnızca modern zamanlarda - XVI-XVII yüzyıllarda uygulandı.

İtalyan bilim adamı Bonaventura Cavalieri, 1635 tarihli "Geometry" (Geometria indivisibilibus Continorum nova quadamratione promota) adlı çalışmasında bir piramidin hacmini bulmak için yeni bir ilke önerdi ve matematik ve fiziğin daha da geliştirilmesi için temel attı 300 yıl boyunca. İlke, iki cismin belirli bir düzleme paralel herhangi bir düzlemle kesiştiği noktada enine kesit alanlarının eşit olması durumunda, bu cisimlerin hacimlerinin de eşit olmasıdır.

19. yüzyıla kadar üç boyutlu cisimlerin hacimleri için kesin tanımların bulunmaması ve bunların yalnızca 1887'de Giuseppe Peano ve 1892'de Marie Enmond Camille Jordan tarafından formüle edilmiş olması dikkat çekicidir. SI sistemine göre metreküp, hacmin ana ölçü birimi haline geldi ve diğer tüm birimler (ons, fit, varil, kile) alternatif olarak kaldı.

3D geometri, 20. yüzyılda soyutlamanın gelişmesiyle özel bir ilgi uyandırdı. 1966'da fotoğrafçı Charles F. Cochran, içten dışa bir küpün ünlü "çılgın kutu" fotoğrafını yarattı ve ardından kübik kar taneleri, yüzen, tekrar eden, iki katlı küpler ve daha fazlası imkansız 3B şekiller listesine girdi. Bir bilgisayar tarafından hesaplanmış olmasına rağmen yüzyıllar önce oluşturulmuş, genel kabul görmüş hacim bulma formülleri kullanılmadan modern 3D sanatı da imkansızdır.

Hacim nasıl bulunur (hacim formülleri)

Çevreyi hesaplamak için bir sütuna birkaç sayı eklemek yeterliyse, hacmi belirlemek için bir mühendislik hesap makinesi veya özel bir çevrimiçi uygulama gerekebilir. Bu, tüm temel üç boyutlu şekiller için geçerlidir: küp, prizma, top, paralelyüz, koni, silindir, tetrahedron ve piramit.

Küp

Küpün tüm yüzleri aynı uzunlukta olduğundan ve tüm açıları 90 derece olduğundan, bu şeklin hacminin hesaplanması basittir. Onun için tek bilinmeyenli bir formül kullanması yeterli:

V = a³.

Buna göre, V küpün hacmi, a ise yüzünün uzunluğudur. Hacim birimleri standarttır: metre, desimetre, santimetre, milimetre vb.

Prizma

Bu geometrik şekil, iki kenarı şekil ve alan olarak aynı ve paralel düzlemlerde olan bir çokyüzlüdür. Ve aralarında tabanlara kesinlikle dik olan dikdörtgenler var. İkincisi herhangi bir çokyüzlü şekle sahip olabilir: üçgen, beşgen, altıgen. Hacmi belirleme formülü her durumda aynı görünüyor:

V = Sₒ ⋅ h.

İfadede h prizmanın yüksekliği, Sₒ ise taban alanıdır. İkincisi, ister üçgen, ister eşkenar dörtgen, ister yamuk olsun, bu belirli şekle karşılık gelen formüle göre hesaplanır.

Paralepiped

Bu şekil bir prizmanın çeşitlerinden biridir, ancak ikincisinin yüzleri tabanlara kesinlikle dik ise, o zaman ilki 90 dereceden farklı açılarla eğimli şekillere sahip olabilir. Ancak, bir kutunun hacmini hesaplama formülü aynı görünüyor:

V = Sₒ ⋅ h.

Yükseklik h, üst taban köşesinden aşağıya doğru dik olarak çizilir ve kenarları pahlı olarak alt taban köşesine denk gelmez. Kutu dikdörtgense hacim, kenarların çarpımı olarak hesaplanır:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Buna göre a ve b tabanın kenar uzunlukları, h kutunun yüksekliğidir. Bu durumda yükseklik, yan kenarlardan herhangi biri ile tamamen çakışır.

Piramit

Çokgen bir taban ve sayısı tabanın kenar sayısına eşit olan üçgen yüzlerden oluşan, hesaplanması daha zor bir şekil. Üçgen ise 3, kare 4, altıgen 6 ise yüz vardır. Tüm yan yüzlerin ortak bir tepe noktası vardır ve hacim evrensel formül kullanılarak hesaplanır:

D = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Önceki formüllerde olduğu gibi, Sₒ tabanın alanı, h ise şeklin yüksekliğidir. İfade, tabanı değiştirirken değişmez ve tüm piramit çeşitleri için aynıdır.

Düzenli dörtyüzlü

Bu şeklin kenarlarında tüm dihedral açılar eşittir ve yüzler, taban dahil olmak üzere eşkenar üçgenlerdir. Böylece, düzenli bir tetrahedron, dört özdeş kenarı olan üçgen bir piramit olarak adlandırılabilir. Hacmi şu formülle hesaplanır:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

İfadede yalnızca bir bilinmeyen vardır - a, düzgün bir dört yüzlünün kenar uzunluğuna karşılık gelir. İçindeki tüm kenarlar aynı yani küpü alıp kökle çarpıp 12'ye bölmen yeterli.

Silindir

Bu geometrik şekil, çapları aynı ve birbirine paralel iki yuvarlak tabandan oluşur. Tabanlara dik bir sürekli yan yüzey ile birbirine bağlanırlar. İkincisi hem daireler hem de ovallerle temsil edilebilir. Her durumda, hacmi hesaplamak için kullanılan formüller aynı görünür:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

Bu denklemlerde Sₒ silindirin taban alanı, h silindirin yüksekliği ve R tabanın yarıçapıdır. İlk formül yalnızca mükemmel yuvarlak tabanlı silindirler için uygundur ve ikinci formül oval ve elips dahil tüm silindirler için uygundur.

Koni

Başka bir yaygın 3B şekil, yuvarlak tabanlı ve keskin tepeli konidir. Hacmini hesaplamak için iki matematiksel formülden birini kullanabilirsiniz:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
D = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Birincisi yalnızca yuvarlak tabanlı koniler için uygundur ve ikincisi evrenseldir ve oval ve elipsoid tabanlı şekilleri hesaplamak için kullanılabilir. Formüllerdeki gösterim standarttır: Sₒ, tabanın alanıdır, R, tabanın yarıçapıdır, h, koninin yüksekliğidir.

Top

Son olarak, bir kürenin hacmini hesaplamak için yalnızca π sabitine (3,14'e eşit...) ve yarıçapına ihtiyacınız vardır:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Buna göre R, topun yarıçapıdır ve bu rakamın hacmini belirlemek için yeterlidir.

Zaman kaybetmemek ve karmaşık hesaplamalar üzerinde kafa yormamak için, kökleri ve dereceleri olan bir butonlu (veya yazılımlı) mühendislik hesap makinesini veya üç boyutlu şekillerin özelliklerini girmek için boş alanları olan özel bir çevrimiçi hesap makinesini kullanabilirsiniz. .

Hacim hesaplayıcısı

Diğer araçlar