Калькулятор об’єму

Обсяг — одна з найважливіших геометричних характеристик: нарівні з периметром та площею фігур. Але застосовуватися вона може лише до тривимірних тіл, які характеризуються не лише довжиною та шириною, а й висотою/товщиною.

Кулі, куби, циліндри, піраміди, конуси, паралелепіпеди - все це об'ємні фігури, розрахунок яких проводиться за спеціальними формулами, багато з яких були відкриті вченими ще до нашої ери.

Історична довідка

Стародавній Єгипет і Вавилон

Перші свідчення застосування об'ємних фігур належать до Стародавнього Єгипту, а точніше — до його будівництва та архітектури. Так, величні пірамідальні споруди неможливо було б звести, не знаючи базових принципів визначення маси та обсягу. Отже, стародавні єгиптяни, як мінімум, могли розраховувати обсяг кубів, призм та пірамід.

Яскравий приклад — гробниця фараона Хеопса заввишки 147 метрів, що має ідеальну геометричну форму піраміди. Скласти її з окремих цегли та блоків на око таким чином, щоб вона простояла понад 4500 років, неможливо, для цього потрібні математичні та інженерні розрахунки високої точності.

Документальних підтверджень того, що стародавні єгиптяни та вавилоняни користувалися конкретними формулами для обчислення обсягу, не існує і, можливо, вони застосовувалися лише в графічній та усній формі — з дотриманням окремих принципів, а не чітко сформульованих правил.

З Стародавнього Вавилону до нас дійшли лише глиняні таблички, на яких описувалися правила розрахунку усіченої (не повної) піраміди, але їх було б недостатньо для будівництва об'єктів таких масштабів. Відомо, що багато давніх цивілізацій розраховували обсяг елементарних фігур, помножуючи площу їхньої основи на висоту, але це не застосовується до таких об'єктів, як конуси, піраміди, тетраедри. Хоча вони часто зустрічаються у стародавній архітектурі та мають чітко вивірені пропорції.

Стародавня Греція

Більш чітко принципи знаходження обсягів були сформульовані в Стародавній Греції - з V до II століття до нашої ери. Евклід вводить поняття куба, який одночасно означає і обсяг однойменної фігури, і зведення числа на 3 ступінь. А Демокріт у V столітті до нашої ери вперше сформулював правило для знаходження об'єму піраміди, який, згідно з його дослідженнями, завжди дорівнює 1/3 об'єму призми такої самої висоти і з такою самою підставою.

У період з VI по II століття до нашої ери давньогрецькі математики також навчилися розраховувати обсяг призм, циліндрів та конусів, використовуючи вже відкрите число «пі», необхідне для розрахунків усіх округлих фігур. Дослідження Архімеда лягли в основу інтегрального методу обчислення, а своїм головним відкриттям він вважав формулу, згідно з якою об'єм кулі завжди на 2/3 менший за об'єм описаного навколо нього циліндра. Крім Архімеда, великий внесок у вивчення геометрії також зробили Демокріт та Євдокс Кнідський.

Новий час

За часів Античності були виведені всі основні формули для розрахунку об'ємних постатей, і Середньовіччя не дало жодного принципово нового відкриття в цій галузі - за винятком індійських дослідників (головним чином - Брахмагупти), які у VI-VII століттях створили кілька геометричних правил з додаванням нової величини – півпериметра. Принципово новий підхід був застосований тільки в Новий час — у XVI-XVII століттях.

У своїй праці «Геометрія» (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) 1635 року італійський учений Бонавентура Кавальєрі запропонував новий принцип для знаходження обсягу піраміди, і заклав фундамент для подальшого розвитку математики та фізики на 300 років. Принцип полягає в тому, що якщо при перетині двох тіл будь-якою площиною, паралельною до певної заданої площини, площі перерізів рівні, обсяги цих тіл теж рівні між собою.

Примітно, що до XIX століття точних визначень для обсягів тривимірних тіл не існувало, і вони були сформульовані лише 1887 року — Джузеппе Пеано, 1892 року — Марі Енмоном Камілем Жорданом. Відповідно до системи СІ, основною одиницею вимірювання об'єму став кубічний метр, а всі інші одиниці (унції, фути, барелі, бушелі) залишилися як альтернативні.

Об'ємна геометрія викликала особливий інтерес у XX столітті — з розвитком абстракціонізму. У 1966 році фотограф Чарльз Ф. Кокран створив свою знамениту фотографію «божевільний ящик» з кубом, вивернутим навиворіт, після чого список неможливих тривимірних фігур поповнили кубічні сніжинки, двоповерхові куби, що ширяться, повторюються, і багато іншого. Сучасне 3D-мистецтво теж неможливе без використання загальноприйнятих формул для знаходження обсягу, які, хоч і розраховуються комп'ютером, але були створені багато століть тому.

Як знайти обсяг (формули обсягу)

Якщо для підрахунку периметра достатньо скласти кілька чисел у стовпчик, то для визначення обсягу може знадобитися інженерний калькулятор або спеціальний онлайн-додаток. Це стосується всіх основних тривимірних фігур: куба, призми, кулі, паралелепіпеда, конуса, циліндра, тетраедра та піраміди.

Куб

Бо всі грані куба однакові по довжині, а всі кути дорівнюють 90 градусів, розрахунок обсягу цієї фігури — елементарний. Для нього достатньо використати формулу з одним невідомим:

V = a³.

Відповідно, V — це об'єм куба, a — довжина його грані. Одиниці вимірювання обсягу стандартні: метр, дециметр, сантиметр, міліметр тощо.

Призма

Ця геометрична фігура є багатогранником, дві сторони якого однакові за формою і площею і знаходяться в паралельних площинах. А між ними розташовані прямокутники, строго перпендикулярні до основ. Останні можуть мати будь-яку багатогранну форму: трикутника, п'ятикутника, шестикутника. Формула визначення обсягу у будь-якому випадку виглядає однаково:

V = Sₒ ⋅ h.

У виразі h — висота призми, а Sₒ — площа її заснування. Остання вважається за формулою, що відповідає даній конкретній фігурі, чи то трикутник, ромб, трапеція.

Паралелепіпед

Ця фігура — один із різновидів призми, але якщо грані останньої строго перпендикулярні до підстав, то у першої вони можуть бути скошеними — з кутами, відмінними від 90 градусів. Проте формула для розрахунку обсягу паралелепіпеда виглядає так само:

V = Sₒ ⋅ h.

Висота h проводиться з кута верхньої основи перпендикулярно донизу, і при скошених гранях не збігається з кутом нижньої основи. Якщо ж паралелепіпед прямокутний, обсяг розраховується як добуток сторін:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Відповідно, a та b — довжини сторін основи, h — висота паралелепіпеда. У цьому випадку висота повністю збігається з будь-яким з бічних ребер.

Піраміда

Складніша для розрахунку фігура, що складається з багатокутної основи та трикутних граней, кількість яких дорівнює кількості сторін основи. Якщо це трикутник, граней — 3, якщо квадрат — 4, якщо шестикутник — 6. Усі бічні грані мають загальну вершину, а обсяг розраховується за універсальною формулою:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Як і в попередніх формулах, Sₒ — площа основи, h — висота фігури. Вираз не змінюється при зміні основи і однаково для всіх різновидів пірамід.

Правильний тетраедр

У цієї фігури всі двогранні кути при ребрах рівні, а грані є рівносторонні трикутники, у тому числі — основа. Таким чином, правильний тетраедр можна назвати трикутною пірамідою із чотирма ідентичними сторонами. Її обсяг розраховується за такою формулою:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

У виразі лише одна невідома — a, що відповідає довжині ребра правильного тетраедра. Всі ребра в ньому однакові, тому достатньо зведення в куб з подальшим множенням на корінь і поділом на 12.

Циліндр

Ця геометрична фігура складається з двох круглих основ, однакових за діаметром і розташованих паралельно одна одній. Вони з'єднані між собою однією суцільною бічною поверхнею, перпендикулярною до основ. Останні можуть бути як колами, і овалами. У будь-якому випадку формули для розрахунку обсягу виглядають однаково:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

У цих рівняннях Sₒ — площа основи циліндра, h — його висота, а R — радіус основи. Перша формула підходить тільки для циліндрів з ідеальною круглою основою, а друга — для всіх циліндрів, включаючи овальні та еліптичні.

Конус

Ще одна поширена тривимірна фігура — конус: з круглою основою та гострою вершиною. Щоб обчислити його обсяг, можна використовувати одну з двох математичних формул:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Перша підходить тільки для конусів з круглою основою, а друга — універсальна, і може використовуватися для розрахунку фігур з овальними та еліпсоїдними основами. Позначення у формулах стандартні: Sₒ — площа основи, R — радіус основи, h — висота конуса.

Куля

Нарешті, для розрахунку об'єму кулі знадобиться лише константа π (рівна 3,14...), та її радіус:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Відповідно, R — радіус кулі, якої достатньо для визначення обсягу цієї фігури.

Щоб не витрачати час і не ламати голову над складними підрахунками, можна використовувати кнопковий (або програмний) інженерний калькулятор з корінням та ступенями, або спеціальний онлайн-калькулятор з порожніми полями для введення характеристик об'ємних фігур.

Калькулятор об’єму

Інші інструменти