والیم کیلکولیٹر

حجم سب سے اہم ہندسی خصوصیات میں سے ایک ہے: اعداد و شمار کے دائرہ اور رقبہ کے ساتھ۔ لیکن یہ صرف تین جہتی جسموں پر لاگو کیا جا سکتا ہے، جو نہ صرف لمبائی اور چوڑائی بلکہ اونچائی/موٹائی کے لحاظ سے بھی نمایاں ہوتے ہیں۔

کرہ، کیوب، سلنڈر، اہرام، شنک، متوازی پائپ - یہ سب حجمی اعداد و شمار ہیں، جن کا حساب کتاب خاص فارمولوں کے مطابق کیا جاتا ہے، جن میں سے بہت سے ہمارے دور سے پہلے سائنسدانوں نے دریافت کیے تھے۔

تاریخی پس منظر

قدیم مصر اور بابل

تین جہتی اعداد و شمار کے استعمال کا پہلا ثبوت قدیم مصر سے مراد ہے، یا یوں کہئے، اس کی تعمیر اور فن تعمیر سے۔ اس طرح، بڑے پیمانے پر اور حجم کا تعین کرنے کے بنیادی اصولوں کو جانے بغیر شاندار اہرام کے ڈھانچے کی تعمیر نہیں کی جا سکتی تھی۔ اس کا مطلب ہے کہ قدیم مصری، کم از کم، کیوبز، پرزم اور اہرام کے حجم کا حساب لگا سکتے تھے۔

ایک واضح مثال فرعون چیپس کا مقبرہ ہے، جو 147 میٹر اونچی ہے، جس میں اہرام کی مثالی ہندسی شکل ہے۔ اسے انفرادی اینٹوں اور بلاکس سے اس طرح اکٹھا کرنا ناممکن ہے کہ یہ 4500 سال سے زیادہ عرصے سے کھڑا ہے؛ اس کے لیے ریاضیاتی اور انجینئرنگ کے حساب سے اعلیٰ درستگی کی ضرورت ہے۔

اس بات کا کوئی دستاویزی ثبوت نہیں ہے کہ قدیم مصریوں اور بابلیوں نے حجم کا حساب لگانے کے لیے مخصوص فارمولے استعمال کیے تھے، اور شاید وہ صرف گرافک اور زبانی شکل میں استعمال کیے گئے تھے - الگ الگ اصولوں پر عمل کرتے ہوئے، واضح طور پر وضع کردہ اصول نہیں۔

قدیم بابل سے، ہمارے پاس صرف مٹی کی گولیاں آئی ہیں، جو کٹے ہوئے (مکمل نہیں) اہرام کا حساب لگانے کے قواعد کو بیان کرتی ہیں، لیکن وہ اس پیمانے کی اشیاء کی تعمیر کے لیے کافی نہیں ہوں گی۔ یہ معلوم ہے کہ بہت سی قدیم تہذیبوں نے ابتدائی اعداد و شمار کے حجم کو ان کی بنیاد کے رقبے کو اونچائی سے ضرب دے کر شمار کیا تھا، لیکن یہ شنک، اہرام، ٹیٹراہیڈرا جیسی اشیاء پر لاگو نہیں ہوتا ہے۔ اگرچہ وہ اکثر قدیم فن تعمیر میں پائے جاتے ہیں اور ان کا تناسب اچھی طرح سے بیان کیا گیا ہے۔

قدیم یونان

جلد تلاش کرنے کے اصول قدیم یونان میں زیادہ واضح طور پر وضع کیے گئے تھے - پانچویں سے دوسری صدی قبل مسیح تک۔ یوکلڈ نے ایک مکعب کا تصور متعارف کرایا، جس کا ایک ہی وقت میں ایک ہی نام کے اعداد و شمار کا حجم اور ایک عدد کو تیسری طاقت تک بڑھانا دونوں کا مطلب ہے۔ اور ڈیموکریٹس نے 5ویں صدی قبل مسیح میں پہلی بار ایک اہرام کا حجم معلوم کرنے کے لیے ایک اصول وضع کیا، جو اس کی تحقیق کے مطابق ہمیشہ ایک ہی اونچائی کے پرزم کے حجم کے 1/3 کے برابر ہوتا ہے۔ بنیاد.

چھٹی سے دوسری صدی قبل مسیح کے عرصے میں، قدیم یونانی ریاضی دانوں نے پہلے سے دریافت شدہ نمبر "pi" کا استعمال کرتے ہوئے پرزم، سلنڈر اور شنک کے حجم کا حساب لگانا بھی سیکھا، جو تمام گول اعداد شمار کرنے کے لیے ضروری ہے۔ آرکیمیڈیز کی تحقیق نے کیلکولس کے لازمی طریقہ کار کی بنیاد رکھی، اور اس نے اپنی اہم دریافت کو اس فارمولے پر غور کیا جس کے مطابق گیند کا حجم ہمیشہ اس کے ارد گرد بیان کردہ سلنڈر کے حجم سے 2/3 کم ہوتا ہے۔ آرکیمیڈیز کے علاوہ، ڈیموکریٹس اور کنیڈس کے یوڈوکس نے بھی جیومیٹری کے مطالعہ میں بڑا تعاون کیا۔

نیا وقت

قدیم زمانہ میں، تین جہتی اعداد و شمار کے حساب کے لیے تمام بنیادی فارمولے اخذ کیے گئے تھے، اور قرون وسطی نے اس علاقے میں ایک بھی بنیادی طور پر نئی دریافت نہیں کی - سوائے ہندوستانی محققین (بنیادی طور پر برہما گپتا) کے، جنہوں نے متعدد ہندسیات تخلیق کیں۔ 6th-7th صدیوں میں ایک نئی قدر کے اضافے کے ساتھ قواعد - نیم فریم۔ بنیادی طور پر ایک نیا نقطہ نظر صرف جدید دور میں - XVI-XVII صدیوں میں لاگو کیا گیا تھا۔

اپنی تصنیف "جیومیٹری" (جیومیٹری انڈیوسیبیلیبس کانٹینیورم نووا کواڈم راشن پروموٹا) 1635 میں، اطالوی سائنس دان بوناوینچورا کیولیری نے اہرام کے حجم کو تلاش کرنے کے لیے ایک نیا اصول تجویز کیا، اور ریاضی اور طبیعیات کی مزید ترقی کی بنیاد رکھی۔ آنے والے 300 سالوں تک۔ اصول یہ ہے کہ اگر کسی طیارے کے متوازی کسی بھی طیارے کے ذریعے دو اجسام کے چوراہے پر، کراس سیکشنل ایریاز برابر ہوں، تو ان اجسام کے حجم بھی برابر ہیں۔

یہ بات قابل ذکر ہے کہ 19ویں صدی تک تین جہتی اجسام کے حجم کے لیے کوئی صحیح تعریف نہیں تھی، اور وہ صرف 1887 میں Giuseppe Peano، اور 1892 میں Marie Enmond Camille Jordan نے وضع کی تھیں۔ SI نظام کے مطابق، کیوبک میٹر حجم کی پیمائش کی اہم اکائی بن گیا، اور دیگر تمام اکائیاں (اونس، فٹ، بیرل، بشیلز) متبادل کے طور پر رہیں۔

3D جیومیٹری نے 20ویں صدی میں تجریدیت کی ترقی کے ساتھ خاص دلچسپی پیدا کی۔ 1966 میں، فوٹوگرافر چارلس ایف کوکرن نے اندر سے باہر کیوب کی اپنی مشہور "کریزی باکس" تصویر بنائی، جس کے بعد کیوبک اسنو فلیکس، تیرتے، دہرائے جانے والے، دو منزلہ کیوبز، اور بہت کچھ ناممکن 3D شکلوں کی فہرست میں داخل ہوا۔ جدید 3D آرٹ بھی حجم کو تلاش کرنے کے لیے عام طور پر قبول شدہ فارمولوں کے استعمال کے بغیر ناممکن ہے، جو اگرچہ کمپیوٹر کے ذریعے شمار کیا جاتا ہے، کئی صدیوں پہلے تخلیق کیا گیا تھا۔

اگر دائرہ شمار کرنے کے لیے ایک کالم میں کئی نمبرز کا اضافہ کرنا کافی ہے، تو حجم کا تعین کرنے کے لیے انجینئرنگ کیلکولیٹر یا ایک خصوصی آن لائن درخواست کی ضرورت پڑ سکتی ہے۔ یہ تمام بنیادی تین جہتی اعداد و شمار پر لاگو ہوتا ہے: کیوب، پرزم، گیند، متوازی پائپ، شنک، سلنڈر، ٹیٹراہیڈرون اور اہرام۔

کیوب

چونکہ ایک کیوب کے تمام چہرے ایک جیسے ہیں اور تمام زاویے 90 ڈگری ہیں، اس لیے اس اعداد و شمار کے حجم کا حساب ابتدائی ہے۔ اس کے لیے، ایک نامعلوم کے ساتھ فارمولہ استعمال کرنا کافی ہے:

V = a³۔

اس کے مطابق، V مکعب کا حجم ہے، a اس کے چہرے کی لمبائی ہے۔ حجم کی اکائیاں معیاری ہیں: میٹر، ڈیسی میٹر، سینٹی میٹر، ملی میٹر وغیرہ۔

پرزم

یہ ہندسی شکل ایک پولی ہیڈرون ہے، جس کے دونوں اطراف شکل اور رقبہ میں ایک جیسے ہیں اور متوازی طیاروں میں ہیں۔ اور ان کے درمیان مستطیلیں سختی سے بنیادوں پر کھڑے ہیں۔ مؤخر الذکر میں کوئی بھی پولی ہیڈرل شکل ہو سکتی ہے: مثلث، پینٹاگون، مسدس۔ کسی بھی صورت میں حجم کا تعین کرنے کا فارمولا ایک جیسا نظر آتا ہے:

V = Sₒ ⋅ h.

اظہار میں، h پرزم کی اونچائی ہے، اور Sₒ اس کی بنیاد کا رقبہ ہے۔ مؤخر الذکر کا حساب اس مخصوص اعداد و شمار سے مطابقت رکھنے والے فارمولے کے مطابق کیا جاتا ہے، چاہے وہ مثلث ہو، رومبس، ٹریپیزائڈ۔

متوازی پائپڈ

یہ اعداد و شمار ایک پرزم کی اقسام میں سے ایک ہے، لیکن اگر بعد کے چہرے بنیادوں پر سختی سے کھڑے ہیں، تو پہلے والے میں بیولڈ ہو سکتے ہیں - 90 ڈگری کے علاوہ زاویوں کے ساتھ۔ تاہم، باکس کے حجم کا حساب لگانے کا فارمولا ایک جیسا نظر آتا ہے:

V = Sₒ ⋅ h.

اونچائی h اوپری بنیاد کے کونے سے سیدھے طور پر نیچے کی طرف کھینچی گئی ہے، اور بیولڈ کناروں کے ساتھ نیچے کی بنیاد کے کونے کے ساتھ موافق نہیں ہے۔ اگر باکس مستطیل ہے، تو حجم کو اطراف کی پیداوار کے طور پر شمار کیا جاتا ہے:

V = a ⋅ b ⋅ h.

اس کے مطابق، a اور b بیس کے اطراف کی لمبائی ہیں، h باکس کی اونچائی ہے۔ اس صورت میں، اونچائی کسی بھی طرف کے کناروں کے ساتھ مکمل طور پر میل کھاتی ہے۔

اہرام

ایک عدد جس کا حساب لگانا زیادہ مشکل ہے، جس میں کثیرالاضلاع بنیاد اور تکونی چہروں پر مشتمل ہے، جس کی تعداد بیس کے اطراف کی تعداد کے برابر ہے۔ اگر یہ مثلث ہے، تو 3 چہرے ہیں، اگر مربع ہے تو 4، اگر مسدس 6 ہے۔ تمام اطراف کے چہروں کا ایک مساوی حصہ ہے، اور عالمگیر فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے حجم کا حساب لگایا جاتا ہے:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

جیسا کہ پچھلے فارمولوں میں، Sₒ بنیاد کا رقبہ ہے، h اعداد کی اونچائی ہے۔ بیس کو تبدیل کرنے پر اظہار تبدیل نہیں ہوتا ہے، اور اہرام کی تمام اقسام کے لیے یکساں ہے۔

باقاعدہ ٹیٹراہیڈرون

اس اعداد و شمار کے کناروں پر تمام ڈائیڈرل زاویے برابر ہیں، اور چہرے مساوی مثلث ہیں، بشمول بیس۔ اس طرح، ایک باقاعدہ ٹیٹراہیڈرون کو ایک مثلثی اہرام کہا جا سکتا ہے جس کے چار ایک جیسے اطراف ہوتے ہیں۔ اس کے حجم کا حساب فارمولے سے کیا جاتا ہے:

V = (a³ ⋅ √2) / 12۔

اظہار میں صرف ایک نامعلوم ہے - a، ایک باقاعدہ ٹیٹراہیڈرون کے کنارے کی لمبائی کے مطابق۔ اس کے تمام کنارے ایک جیسے ہیں، لہذا یہ کیوب کے لیے کافی ہے، پھر جڑ سے ضرب کریں اور 12 سے تقسیم کریں۔

سلنڈر

یہ ہندسی شکل دو گول بنیادوں پر مشتمل ہے، قطر میں یکساں اور ایک دوسرے کے متوازی۔ وہ اڈوں پر کھڑے ایک مسلسل طرف کی سطح کے ذریعے آپس میں جڑے ہوئے ہیں۔ مؤخر الذکر کی نمائندگی حلقوں اور بیضوں دونوں سے کی جا سکتی ہے۔ کسی بھی صورت میں، حجم کا حساب لگانے کے فارمولے ایک جیسے نظر آتے ہیں:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

ان مساوات میں، Sₒ سلنڈر کی بنیاد کا رقبہ ہے، h سلنڈر کی اونچائی ہے، اور R بیس کا رداس ہے۔ پہلا فارمولا صرف مکمل گول بیس والے سلنڈروں کے لیے موزوں ہے، اور دوسرا فارمولہ تمام سلنڈروں کے لیے موزوں ہے، بشمول بیضوی اور بیضوی۔

مخروط

ایک اور عام 3D شکل شنک ہے، جس میں گول بنیاد اور ایک تیز چوٹی ہوتی ہے۔ اس کے حجم کا حساب لگانے کے لیے، آپ ریاضی کے دو فارمولوں میں سے ایک استعمال کر سکتے ہیں:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

پہلا صرف گول بیس والے شنک کے لیے موزوں ہے، اور دوسرا عالمگیر ہے، اور اسے بیضوی اور بیضوی بنیادوں کے ساتھ اعداد شمار کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ فارمولوں میں اشارہ معیاری ہے: Sₒ بیس کا رقبہ ہے، R بیس کا رداس ہے، h مخروط کی اونچائی ہے۔

گیند

آخر میں، کسی کرہ کے حجم کا حساب لگانے کے لیے، آپ کو صرف مستقل π (3.14 کے برابر...) اور اس کا رداس:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³۔

اس کے مطابق، R گیند کا رداس ہے، جو اس اعداد و شمار کے حجم کا تعین کرنے کے لیے کافی ہے۔

پیچیدہ حسابات پر وقت اور پہیلی کو ضائع نہ کرنے کے لیے، آپ جڑوں اور ڈگریوں کے ساتھ ایک پش بٹن (یا سافٹ ویئر) انجینئرنگ کیلکولیٹر، یا تین جہتی اعداد و شمار کی خصوصیات میں داخل ہونے کے لیے خالی فیلڈز کے ساتھ ایک خصوصی آن لائن کیلکولیٹر استعمال کر سکتے ہیں۔ .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

والیم کیلکولیٹر