Máy tính toán thể tích

Thể tích là một trong những đặc điểm hình học quan trọng nhất: cùng với chu vi và diện tích của các hình. Nhưng nó chỉ có thể được áp dụng cho vật thể ba chiều, không chỉ được đặc trưng bởi chiều dài và chiều rộng mà còn bởi chiều cao/độ dày.

Hình cầu, hình khối, hình trụ, hình chóp, hình nón, hình bình hành - tất cả đều là các hình ba chiều, việc tính toán được thực hiện theo các công thức đặc biệt, nhiều công thức đã được các nhà khoa học phát hiện trước thời đại của chúng ta.

Bối cảnh lịch sử

Ai Cập cổ đại và Babylon

Bằng chứng đầu tiên về việc sử dụng các hình ba chiều đề cập đến Ai Cập cổ đại, hay nói đúng hơn là việc xây dựng và kiến trúc của nó. Do đó, không thể xây dựng các cấu trúc kim tự tháp hùng vĩ nếu không biết các nguyên tắc cơ bản để xác định khối lượng và thể tích. Điều này có nghĩa là người Ai Cập cổ đại ít nhất có thể tính được thể tích của hình lập phương, hình lăng trụ và hình chóp.

Một ví dụ sinh động là lăng mộ của Pharaoh Cheops, cao 147 mét, có hình dạng hình học lý tưởng của một kim tự tháp. Không thể ghép nó lại với nhau từ những viên gạch và khối riêng lẻ theo cách mà nó đã tồn tại hơn 4500 năm; điều này đòi hỏi tính toán kỹ thuật và toán học có độ chính xác cao.

Không có bằng chứng tài liệu nào cho thấy người Ai Cập và Babylon cổ đại đã sử dụng các công thức cụ thể để tính thể tích và có lẽ chúng chỉ được sử dụng ở dạng đồ họa và lời nói - tuân theo các nguyên tắc riêng biệt, không có quy tắc rõ ràng.

Từ Babylon cổ đại, chúng ta chỉ có những viên đất sét mô tả các quy tắc tính toán một kim tự tháp bị cắt ngắn (không hoàn chỉnh), nhưng chúng sẽ không đủ để xây dựng các vật thể có quy mô như vậy. Được biết, nhiều nền văn minh cổ đại đã tính thể tích của các hình cơ bản bằng cách nhân diện tích đáy của chúng với chiều cao, nhưng điều này không áp dụng cho các vật thể như hình nón, hình chóp, hình tứ diện. Mặc dù chúng thường được tìm thấy trong kiến trúc cổ và có tỷ lệ rõ ràng.

Hy Lạp cổ đại

Các nguyên tắc tìm khối lượng đã được hình thành rõ ràng hơn ở Hy Lạp cổ đại - từ thế kỷ thứ 5 đến thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên. Euclid đưa ra khái niệm về khối lập phương, đồng thời có nghĩa là thể tích của hình cùng tên và nâng một số lên lũy thừa bậc 3. Và Democritus vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên lần đầu tiên đưa ra quy tắc tìm thể tích của một kim tự tháp, mà theo nghiên cứu của ông, nó luôn bằng 1/3 thể tích của một lăng trụ có cùng chiều cao và cùng diện tích. căn cứ.

Trong khoảng thời gian từ thế kỷ thứ 6 đến thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên, các nhà toán học Hy Lạp cổ đại cũng đã học cách tính thể tích của hình lăng trụ, hình trụ và hình nón, sử dụng số "pi" đã được phát hiện, cần thiết để tính tất cả các hình tròn. Nghiên cứu của Archimedes đã hình thành nên cơ sở của phương pháp tích phân, và ông coi khám phá chính của mình là công thức theo đó thể tích của một quả bóng luôn nhỏ hơn 2/3 so với thể tích của hình trụ được mô tả xung quanh nó. Ngoài Archimedes, Democritus và Eudoxus của Cnidus cũng có đóng góp lớn cho việc nghiên cứu hình học.

Thời gian mới

Trong thời Cổ đại, tất cả các công thức cơ bản để tính toán các hình ba chiều đều được bắt nguồn và thời Trung cổ không đưa ra một khám phá mới về cơ bản nào trong lĩnh vực này - ngoại trừ các nhà nghiên cứu Ấn Độ (chủ yếu là Brahmagupta), người đã tạo ra một số hình học các quy tắc trong thế kỷ thứ 6-7 với việc bổ sung một giá trị mới - bán chu vi. Một cách tiếp cận mới về cơ bản chỉ được áp dụng trong thời hiện đại - trong thế kỷ XVI-XVII.

Trong tác phẩm "Hình học" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) năm 1635, nhà khoa học người Ý Bonaventura Cavalieri đã đề xuất một nguyên tắc mới để tìm thể tích của một kim tự tháp và đặt nền móng cho sự phát triển hơn nữa của toán học và vật lý học trong 300 năm tới. Nguyên tắc là nếu tại giao tuyến của hai vật bởi một mặt phẳng bất kỳ song song với một mặt phẳng nào đó, có diện tích các mặt cắt ngang bằng nhau thì thể tích của các vật đó cũng bằng nhau.

Đáng chú ý là cho đến thế kỷ 19 vẫn chưa có định nghĩa chính xác về thể tích của các vật thể ba chiều và chúng chỉ được xây dựng vào năm 1887 bởi Giuseppe Peano và vào năm 1892 bởi Marie Enmond Camille Jordan. Theo hệ SI, mét khối trở thành đơn vị đo lường chính của thể tích và tất cả các đơn vị khác (ounce, feet, thùng, giạ) vẫn là đơn vị thay thế.

Hình học 3D đã khơi dậy mối quan tâm đặc biệt trong thế kỷ 20, với sự phát triển của chủ nghĩa trừu tượng. Năm 1966, nhiếp ảnh gia Charles F. Cochran đã tạo ra bức ảnh “chiếc hộp điên rồ” nổi tiếng của mình về một khối lập phương từ trong ra ngoài, sau đó những bông tuyết hình khối, khối lập phương hai tầng nổi, lặp lại, v.v. được đưa vào danh sách những hình dạng 3D bất khả thi. Nghệ thuật 3D hiện đại cũng không thể thực hiện được nếu không sử dụng các công thức được chấp nhận rộng rãi để tìm khối lượng, mặc dù được máy tính tính toán nhưng đã được tạo ra từ nhiều thế kỷ trước.

Cách tìm thể tích (công thức thể tích)

Nếu chỉ cần cộng một vài số trong một cột để tính chu vi là đủ, thì có thể cần phải có máy tính kỹ thuật hoặc một ứng dụng trực tuyến đặc biệt để xác định thể tích. Điều này áp dụng cho tất cả các hình ba chiều cơ bản: hình lập phương, hình lăng trụ, quả cầu, hình bình hành, hình nón, hình trụ, hình tứ diện và hình chóp.

Khối lập phương

Vì tất cả các mặt của hình lập phương đều có cùng độ dài và tất cả các góc bằng 90 độ nên việc tính thể tích của hình này là cơ bản. Đối với anh ta, chỉ cần sử dụng một công thức với một ẩn số là đủ:

V = a³.

Theo đó, V là thể tích của hình lập phương, a là độ dài của mặt bên. Đơn vị âm lượng là tiêu chuẩn: mét, decimét, centimet, milimét, v.v.

Lăng kính

Hình hình học này là một khối đa diện có hai mặt bên bằng nhau về hình dạng và diện tích và nằm trong các mặt phẳng song song. Và giữa chúng là các hình chữ nhật vuông góc với các đế. Cái sau có thể có bất kỳ hình dạng đa diện nào: tam giác, ngũ giác, lục giác. Công thức xác định âm lượng trong mọi trường hợp đều giống nhau:

V = Sₒ ⋅ h.

Trong biểu thức, h là chiều cao của hình lăng trụ và Sₒ là diện tích đáy của nó. Cái sau được tính theo công thức tương ứng với hình cụ thể này, có thể là hình tam giác, hình thoi, hình thang.

Đường ống song song

Hình này là một trong những dạng của lăng kính, nhưng nếu các mặt của lăng kính sau vuông góc hoàn toàn với các đáy, thì mặt đầu tiên có thể có các mặt vát - với các góc khác 90 độ. Tuy nhiên, công thức tính thể tích của hộp trông giống nhau:

V = Sₒ ⋅ h.

Chiều cao h được vẽ từ góc của đế trên vuông góc với mép dưới và có các cạnh vát không trùng với góc của đế dưới. Nếu hình hộp chữ nhật thì thể tích tính bằng tích các cạnh:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Theo đó a, b là độ dài các cạnh của mặt đáy, h là chiều cao của hình hộp. Trong trường hợp này, chiều cao hoàn toàn trùng với bất kỳ cạnh bên nào.

Kim tự tháp

Một hình khó tính hơn, bao gồm một đáy đa giác và các mặt tam giác, số lượng các mặt bằng với số cạnh của đáy. Nếu là hình tam giác thì có 3 mặt, nếu là hình vuông thì có 4 mặt, nếu là hình lục giác thì có 6 mặt. Tất cả các mặt bên đều có một đỉnh chung và thể tích được tính theo công thức phổ biến:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Như các công thức trước, Sₒ là diện tích đáy, h là chiều cao của hình. Biểu thức không thay đổi khi thay đổi đáy và giống nhau đối với tất cả các loại kim tự tháp.

Tứ diện đều

Hình này có tất cả các góc nhị diện ở các cạnh bằng nhau và các mặt là tam giác đều, kể cả đáy. Do đó, một tứ diện đều có thể được gọi là một hình chóp tam giác có bốn cạnh giống hệt nhau. Thể tích của nó được tính theo công thức:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Chỉ có một ẩn số trong biểu thức - a, tương ứng với độ dài cạnh của một tứ diện đều. Tất cả các cạnh trong đó đều bằng nhau, vì vậy nó đủ để lập phương, sau đó nhân với căn và chia cho 12.

Xi lanh

Hình hình học này bao gồm hai đáy tròn, có đường kính giống hệt nhau và song song với nhau. Chúng được kết nối với nhau bởi một mặt bên liên tục vuông góc với các đế. Cái sau có thể được biểu diễn bằng cả hình tròn và hình bầu dục. Trong bất kỳ trường hợp nào, các công thức tính thể tích đều giống nhau:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

Trong các phương trình này, Sₒ là diện tích đáy của hình trụ, h là chiều cao của hình trụ và R là bán kính của đáy. Công thức thứ nhất chỉ phù hợp với hình trụ có đáy tròn hoàn hảo, còn công thức thứ hai phù hợp với mọi hình trụ, kể cả hình bầu dục và hình elip.

Hình nón

Một hình dạng 3D phổ biến khác là hình nón với đáy tròn và đỉnh nhọn. Để tính thể tích của nó, bạn có thể sử dụng một trong hai công thức toán học:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Cái đầu tiên chỉ phù hợp với hình nón có đáy tròn và cái thứ hai là phổ quát và có thể được sử dụng để tính toán các hình có đáy hình bầu dục và hình elip. Ký hiệu trong các công thức là tiêu chuẩn: Sₒ là diện tích đáy, R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình nón.

Bóng

Cuối cùng, để tính thể tích của một hình cầu, bạn chỉ cần hằng số π (bằng 3,14...) và bán kính của nó:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Theo đó, R là bán kính của quả bóng, đủ để xác định thể tích của hình này.

Để không lãng phí thời gian và đánh đố các phép tính phức tạp, bạn có thể sử dụng máy tính kỹ thuật bấm nút (hoặc phần mềm) có căn và độ hoặc máy tính trực tuyến đặc biệt có các trường trống để nhập các đặc điểm của hình ba chiều .

Máy tính toán thể tích

Công cụ khác