Calculadora de volum

Afegir al lloc web Metainformació {$ infoContainerHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Altres eines

Calculadora d’àrea{$ ',' | translate $} Calculadora de perímetres{$ ',' | translate $} Taula de multiplicar{$ ',' | translate $} Taula periòdica{$ ',' | translate $} Calculadora de matrius{$ ',' | translate $} Mínim comú múltiple{$ ',' | translate $} Calculadora trigonomètrica{$ ',' | translate $} Màxim comú divisor

Calculadora de volum

El volum és una de les característiques geomètriques més importants: juntament amb el perímetre i l'àrea de les figures. Però només es pot aplicar a cossos tridimensionals, que es caracteritzen no només per la longitud i l'amplada, sinó també per l'alçada/gruix.

Esferes, cubs, cilindres, piràmides, cons, paral·lelepípedes: totes aquestes figures tridimensionals, el càlcul de les quals es realitza segons fórmules especials, moltes de les quals van ser descobertes per científics abans de la nostra era.

Antecedents històrics

Antic Egipte i Babilònia

La primera evidència de l'ús de figures tridimensionals fa referència a l'Antic Egipte, o millor dit, a la seva construcció i arquitectura. Així, no es podrien construir majestuoses estructures piramidals sense conèixer els principis bàsics per determinar la massa i el volum. Això vol dir que els antics egipcis, almenys, podien calcular el volum de cubs, prismes i piràmides.

Un exemple clar és la tomba del faraó Keops, de 147 metres d'alçada, que té una forma geomètrica ideal de piràmide. És impossible ajuntar-lo a partir de maons i blocs individuals de tal manera que hagi estat durant més de 4500 anys; això requereix càlculs matemàtics i d'enginyeria d'alta precisió.

No hi ha cap evidència documental que els antics egipcis i babilonis utilitzessin fórmules específiques per calcular el volum, i potser només s'utilitzaven en forma gràfica i oral, seguint principis separats, no normes clarament formulades.

De l'antiga Babilònia, només ens han arribat tauletes d'argila, que descriuen les regles per calcular una piràmide truncada (no completa), però no serien suficients per a la construcció d'objectes d'aquesta escala. Se sap que moltes civilitzacions antigues calculaven el volum de les figures elementals multiplicant l'àrea de la seva base per l'alçada, però això no és aplicable a objectes com cons, piràmides i tetraedres. Encara que sovint es troben a l'arquitectura antiga i tenen proporcions ben definides.

Antiga Grècia

Els principis per trobar volums es van formular amb més claredat a l'antiga Grècia, des dels segles V fins al II aC. Euclides introdueix el concepte de cub, que significa simultàniament tant el volum de la figura del mateix nom com l'elevació d'un nombre a la 3a potència. I Demòcrit al segle V aC va formular per primera vegada una regla per trobar el volum d'una piràmide, que, segons les seves investigacions, és sempre igual a 1/3 del volum d'un prisma de la mateixa alçada i amb la mateixa alçada. base.

En el període del segle VI al II aC, els antics matemàtics grecs també van aprendre a calcular el volum de prismes, cilindres i cons, utilitzant el nombre ja descobert "pi", que és necessari per calcular totes les xifres rodones. La investigació d'Arquimedes va ser la base del mètode integral del càlcul, i va considerar que el seu principal descobriment era la fórmula segons la qual el volum d'una bola és sempre 2/3 menys que el volum del cilindre descrit al seu voltant. A més d'Arquimedes, Demòcrit i Eudox de Cnid també van fer una gran contribució a l'estudi de la geometria.

Nou hora

Durant l'Antiguitat, es van derivar totes les fórmules bàsiques per calcular figures tridimensionals, i l'Edat Mitjana no va donar cap descobriment fonamentalment nou en aquesta àrea, amb l'excepció dels investigadors indis (principalment Brahmagupta), que van crear diversos elements geomètrics. governa als segles VI-VII amb l'addició d'un nou valor: el semiperímetre. Un enfocament fonamentalment nou només es va aplicar en els temps moderns, als segles XVI-XVII.

A la seva obra "Geometria" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) de 1635, el científic italià Bonaventura Cavalieri va proposar un nou principi per trobar el volum d'una piràmide i va establir les bases per al desenvolupament posterior de les matemàtiques i la física. durant 300 anys. El principi és que si a la intersecció de dos cossos per qualsevol pla paral·lel a un pla donat, les àrees de la secció transversal són iguals, els volums d'aquests cossos també són iguals.

Cal destacar que fins al segle XIX no hi havia definicions exactes per als volums dels cossos tridimensionals, i només es van formular el 1887 per Giuseppe Peano i el 1892 per Marie Enmond Camille Jordan. Segons el sistema SI, el metre cúbic es va convertir en la principal unitat de mesura de volum, i totes les altres unitats (unces, peus, barrils, busels) es van mantenir com a unitats alternatives.

La geometria 3D va despertar un interès especial al segle XX, amb el desenvolupament de l'abstracció. L'any 1966, el fotògraf Charles F. Cochran va crear la seva famosa foto de "caixa boja" d'un cub de dins cap a fora, després de la qual els flocs de neu cúbics, flotants, repetitius, cubs de dos pisos i més van entrar a la llista de formes 3D impossibles. L'art 3D modern també és impossible sense l'ús de fórmules generalment acceptades per trobar el volum, que, tot i que calculades per un ordinador, es van crear fa molts segles.

Com trobar el volum (fórmules de volum)

Si n'hi ha prou amb afegir diversos números en una columna per calcular el perímetre, és possible que calgui una calculadora d'enginyeria o una aplicació en línia especial per determinar el volum. Això s'aplica a totes les figures tridimensionals bàsiques: cub, prisma, bola, paral·lelepípede, con, cilindre, tetraedre i piràmide.

Cub

Com que totes les cares d'un cub tenen la mateixa longitud i tots els angles són de 90 graus, el càlcul del volum d'aquesta figura és elemental. Per a ell, n'hi ha prou amb utilitzar una fórmula amb una incògnita:

V = a³.

En conseqüència, V és el volum del cub, a és la longitud de la seva cara. Les unitats de volum són estàndard: metre, decímetre, centímetre, mil·límetre, etc.

Prisma

Aquesta figura geomètrica és un poliedre, els dos costats del qual tenen la mateixa forma i àrea i estan en plans paral·lels. I entre ells hi ha rectangles estrictament perpendiculars a les bases. Aquest últim pot tenir qualsevol forma polièdrica: triangle, pentàgon, hexàgon. En qualsevol cas, la fórmula per determinar el volum és la mateixa:

V = Sₒ ⋅ h.

En l'expressió, h és l'alçada del prisma i Sₒ és l'àrea de la seva base. Aquest últim es calcula segons la fórmula corresponent a aquesta figura concreta, ja sigui un triangle, un rombe, un trapezi.

Paral·lepípede

Aquesta figura és una de les varietats d'un prisma, però si les cares d'aquest últim són estrictament perpendiculars a les bases, aleshores la primera pot tenir uns bisellats, amb angles diferents de 90 graus. Tanmateix, la fórmula per calcular el volum d'una caixa és la mateixa:

V = Sₒ ⋅ h.

L'alçada h es dibuixa des de la cantonada de la base superior perpendicularment cap avall, i amb les vores bisellades no coincideix amb la cantonada de la base inferior. Si la caixa és rectangular, el volum es calcula com el producte dels costats:

V = a ⋅ b ⋅ h.

En conseqüència, a i b són les longituds dels costats de la base, h és l'alçada de la caixa. En aquest cas, l'alçada coincideix completament amb qualsevol de les vores laterals.

Piràmide

Una xifra més difícil de calcular, formada per una base poligonal i cares triangulars, el nombre de les quals és igual al nombre de costats de la base. Si és un triangle, hi ha 3 cares, si un quadrat és 4, si un hexàgon és 6. Totes les cares laterals tenen un vèrtex comú i el volum es calcula mitjançant la fórmula universal:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Com en les fórmules anteriors, Sₒ és l'àrea de la base, h és l'alçada de la figura. L'expressió no canvia en canviar la base i és la mateixa per a totes les varietats de piràmides.

Tetraedre regular

Aquesta figura té tots els angles díedrics a les vores iguals, i les cares són triangles equilàters, inclosa la base. Així, un tetraedre regular es pot anomenar piràmide triangular amb quatre costats idèntics. El seu volum es calcula mitjançant la fórmula:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Només hi ha una incògnita en l'expressió - a, corresponent a la longitud de la vora d'un tetraedre regular. Totes les arestes són iguals, de manera que n'hi ha prou amb fer un cub, després multiplicar per l'arrel i dividir per 12.

Cilindre

Aquesta figura geomètrica consta de dues bases rodones, idèntiques de diàmetre i paral·leles entre elles. Estan interconnectats per una superfície lateral contínua perpendicular a les bases. Aquest últim es pot representar tant amb cercles com amb ovals. En qualsevol cas, les fórmules per calcular el volum semblen iguals:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

En aquestes equacions, Sₒ és l'àrea de la base del cilindre, h és l'alçada del cilindre i R és el radi de la base. La primera fórmula només és adequada per a cilindres amb una base rodona perfecta, i la segona fórmula és adequada per a tots els cilindres, inclosos els ovals i el·líptics.

Con

Una altra forma 3D habitual és el con, amb una base rodona i un àpex afilat. Per calcular el seu volum, podeu utilitzar una d'aquestes dues fórmules matemàtiques:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

El primer només és adequat per a cons de base rodona, i el segon és universal i es pot utilitzar per calcular figures amb bases ovals i el·lipsoides. La notació de les fórmules és estàndard: Sₒ és l'àrea de la base, R és el radi de la base, h és l'alçada del con.

Pilota

Finalment, per calcular el volum d'una esfera, només cal la constant π (igual a 3,14...) i el seu radi:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

En conseqüència, R és el radi de la pilota, que és suficient per determinar el volum d'aquesta figura.

Per no perdre temps i trencar-se amb càlculs complexos, podeu utilitzar una calculadora d'enginyeria amb botons (o programari) amb arrels i graus, o una calculadora especial en línia amb camps buits per introduir les característiques de les figures tridimensionals. .