Tilavuuslaskin

Muut työkalut

Tilavuuslaskin

Tilavuus on yksi tärkeimmistä geometrisista ominaisuuksista: kuvioiden kehän ja alueen ohella. Mutta sitä voidaan soveltaa vain kolmiulotteisiin kappaleisiin, joille ei ole ominaista vain pituus ja leveys, vaan myös korkeus/paksuus.

Pallot, kuutiot, sylinterit, pyramidit, kartiot, suuntaissärmiöt – kaikki nämä ovat kolmiulotteisia hahmoja, jotka lasketaan erityisten kaavojen mukaan, joista monet ovat tiedemiesten löytämiä ennen aikakauttamme.

Historiallinen tausta

Muinainen Egypti ja Babylon

Ensimmäiset todisteet kolmiulotteisten hahmojen käytöstä viittaavat muinaiseen Egyptiin tai pikemminkin sen rakenteeseen ja arkkitehtuuriin. Siten majesteettisia pyramidirakenteita ei voitu rakentaa ilman massan ja tilavuuden määrittämisen perusperiaatteita. Tämä tarkoittaa, että ainakin muinaiset egyptiläiset pystyivät laskemaan kuutioiden, prismojen ja pyramidien tilavuuden.

Eloisa esimerkki on faarao Cheopsin 147 metriä korkea hauta, jolla on ihanteellinen geometrinen pyramidin muoto. Sitä on mahdotonta koota yksittäisistä tiilistä ja lohkoista siten, että se on seissyt yli 4500 vuotta; tämä vaatii erittäin tarkkoja matemaattisia ja teknisiä laskelmia.

Ei ole dokumentoitua näyttöä siitä, että muinaiset egyptiläiset ja babylonialaiset olisivat käyttäneet tiettyjä kaavoja tilavuuden laskemiseen, ja ehkä niitä käytettiin vain graafisessa ja suullisessa muodossa – erillisten periaatteiden, ei selkeästi muotoiltujen sääntöjen mukaan.

Muinaisesta Babylonista meille on tullut vain savitauluja, jotka kuvaavat katkaistun (ei täydellisen) pyramidin laskemista koskevia sääntöjä, mutta ne eivät riittäisi tällaisen mittakaavan esineiden rakentamiseen. Tiedetään, että monet muinaiset sivilisaatiot laskivat alkeishahmojen tilavuuden kertomalla niiden pohjan alueen korkeudella, mutta tämä ei sovellu sellaisiin esineisiin kuin kartiot, pyramidit, tetraedrat. Vaikka niitä löytyy usein muinaisesta arkkitehtuurista ja niillä on hyvin määritellyt mittasuhteet.

Muinainen Kreikka

Niivuuksien etsimisen periaatteet muotoiltiin selvemmin muinaisessa Kreikassa – 5.–2. vuosisadalla eKr. Eukleides esittelee kuution käsitteen, joka tarkoittaa samanaikaisesti sekä samannimisen hahmon tilavuutta että luvun nostamista kolmanteen potenssiin. Ja Demokritos muotoili 5. vuosisadalla eKr. ensimmäistä kertaa säännön pyramidin tilavuuden löytämiseksi, joka hänen tutkimuksensa mukaan on aina 1/3 saman korkeuden ja saman prisman tilavuudesta pohja.

Ajanjaksolla 6.–2. vuosisadalla eKr. antiikin kreikkalaiset matemaatikot oppivat myös laskemaan prismien, sylinterien ja kartioiden tilavuuden käyttämällä jo löydettyä lukua "pi", joka on välttämätön kaikkien pyöreiden lukujen laskemiseen. Archimedesin tutkimus muodosti perustan integraalilaskennan menetelmälle, ja hän piti päälöytökseensä kaavaa, jonka mukaan pallon tilavuus on aina 2/3 pienempi kuin sen ympärillä kuvatun sylinterin tilavuus. Arkhimedesen lisäksi myös Demokritos ja Eudoxus of Cnidus antoivat suuren panoksen geometrian tutkimukseen.

Uusi aika

Antiikin aikana kaikki peruskaavat kolmiulotteisten lukujen laskemiseen johdettiin, eikä keskiaika tuonut tällä alueella yhtään perustavanlaatuista uutta löytöä - lukuun ottamatta intialaisia tutkijoita (lähinnä Brahmagupta), jotka loivat useita geometrisia säännöt 6.-7. vuosisadalla lisäten uuden arvon - puolikehän. Pohjimmiltaan uutta lähestymistapaa sovellettiin vain nykyaikana - XVI-XVII vuosisadalla.

Italialainen tiedemies Bonaventura Cavalieri ehdotti teoksessaan "Geometria" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) vuodelta 1635 uutta periaatetta pyramidin tilavuuden löytämiseksi ja loi pohjan matematiikan ja fysiikan kehittämiselle. 300 vuodeksi eteenpäin. Periaate on, että jos kahden kappaleen leikkauskohdassa minkä tahansa tason kanssa yhdensuuntainen poikkileikkauspinta-alat ovat yhtä suuret, myös näiden kappaleiden tilavuudet ovat yhtä suuret.

On huomionarvoista, että 1800-luvulle asti kolmiulotteisten kappaleiden tilavuudelle ei ollut tarkkoja määritelmiä, ja ne muotoili vasta vuonna 1887 Giuseppe Peano ja vuonna 1892 Marie Enmond Camille Jordan. SI-järjestelmän mukaan kuutiometristä tuli tilavuuden päämittayksikkö, ja kaikki muut yksiköt (unssit, jalat, tynnyrit, bushelit) säilyivät vaihtoehtoisina.

3D-geometria herätti erityistä kiinnostusta 1900-luvulla abstraktionismin kehittyessä. Vuonna 1966 valokuvaaja Charles F. Cochran loi kuuluisan "hullu laatikko" -kuvansa nurinpäin käännetystä kuutiosta, jonka jälkeen kuutioiset lumihiutaleet, kelluvat, toistuvat kaksikerroksiset kuutiot ja paljon muuta pääsivät mahdottomien 3D-muotojen luetteloon. Nykyaikainen 3D-taide on myös mahdotonta ilman yleisesti hyväksyttyjä kaavoja tilavuuden etsimiseen, vaikka ne onkin laskettu tietokoneella, mutta luotu vuosisatoja sitten.

Miten tilavuus löytyy (tilavuuden kaavoja)

Jos sarakkeeseen riittää useiden numeroiden lisääminen kehän laskemiseen, tilavuuden määrittämiseen voidaan tarvita tekninen laskin tai erityinen online-sovellus. Tämä koskee kaikkia kolmiulotteisia perushahmoja: kuutio, prisma, pallo, suuntaissärmiö, kartio, sylinteri, tetraedri ja pyramidi.

Kuutio

Koska kuution kaikki pinnat ovat saman pituisia ja kaikki kulmat ovat 90 astetta, tämän kuvion tilavuuden laskeminen on alkeellista. Hänelle riittää kaavaa, jossa on yksi tuntematon:

V = a³.

Vastaavasti V on kuution tilavuus, a on sen pinnan pituus. Tilavuusyksiköt ovat vakiona: metri, desimetri, senttimetri, millimetri ja niin edelleen.

Prisma

Tämä geometrinen kuvio on monitahoinen, jonka kaksi sivua ovat muodoltaan ja pinta-alaltaan samanlaisia ja ovat yhdensuuntaisissa tasoissa. Ja niiden välissä on suorakulmioita, jotka ovat tiukasti kohtisuorassa pohjaan nähden. Jälkimmäisellä voi olla mikä tahansa monitahoinen muoto: kolmio, viisikulmio, kuusikulmio. Kaava tilavuuden määrittämiseksi näyttää joka tapauksessa samalta:

V = Sₒ ⋅ h.

Laukeessa h on prisman korkeus ja Sₒ sen kannan pinta-ala. Jälkimmäinen lasketaan tätä kuviota vastaavan kaavan mukaan, olipa kyseessä kolmio, rombi tai puolisuunnikkaan muoto.

Rinnakkaisputki

Tämä kuvio on yksi prisman muodoista, mutta jos jälkimmäisen pinnat ovat tiukasti kohtisuorassa kantaan nähden, niin ensimmäisessä voi olla viistotettuja - kulmilla poikkeavia 90 astetta. Laatikon tilavuuden laskentakaava näyttää kuitenkin samalta:

V = Sₒ ⋅ h.

Korkeus h on vedetty yläjalustan kulmasta kohtisuoraan alaspäin, ja viisteillä reunoilla se ei ole sama kuin alemman alustan kulma. Jos laatikko on suorakaiteen muotoinen, tilavuus lasketaan sivujen tulona:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Näin ollen a ja b ovat alustan sivujen pituudet, h on laatikon korkeus. Tässä tapauksessa korkeus osuu täysin yhteen sivureunojen kanssa.

Pyramidi

Vaikeammin laskettava luku, joka koostuu monikulmiosta ja kolmiomaisista pinnoista, joiden lukumäärä on yhtä suuri kuin pohjan sivujen lukumäärä. Jos se on kolmio, pintaa on 3, jos neliö on 4, jos kuusikulmio on 6. Kaikilla sivupinnoilla on yhteinen kärki ja tilavuus lasketaan yleiskaavalla:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Kuten edellisissä kaavoissa, Sₒ on kannan pinta-ala, h on kuvion korkeus. Lauseke ei muutu pohjaa vaihdettaessa, ja se on sama kaikille pyramidilajeille.

Tavallinen tetraedri

Tämän kuvion kaikki dihedraaliset kulmat reunoissa ovat yhtä suuret, ja pinnat ovat tasasivuisia kolmioita, kanta mukaan lukien. Näin ollen säännöllistä tetraedria voidaan kutsua kolmion muotoiseksi pyramidiksi, jolla on neljä identtistä sivua. Sen tilavuus lasketaan kaavalla:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Laukeessa on vain yksi tuntematon - a, joka vastaa säännöllisen tetraedrin reunan pituutta. Kaikki sen reunat ovat samat, joten riittää, että kuutioimme, kerrot sitten juurella ja jaa 12:lla.

Sylinteri

Tämä geometrinen hahmo koostuu kahdesta pyöreästä alustasta, jotka ovat halkaisijaltaan identtisiä ja yhdensuuntaisia keskenään. Ne on liitetty toisiinsa yhdellä jatkuvalla sivupinnalla, joka on kohtisuorassa pohjaan nähden. Jälkimmäinen voidaan esittää sekä ympyröillä että soikeilla. Joka tapauksessa tilavuuden laskentakaavat näyttävät samalta:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

Näissä yhtälöissä Sₒ on sylinterin pohjan pinta-ala, h on sylinterin korkeus ja R on pohjan säde. Ensimmäinen kaava sopii vain sylintereille, joissa on täydellinen pyöreä pohja, ja toinen kaava sopii kaikille sylintereille, mukaan lukien soikeat ja elliptiset.

Kartio

Toinen yleinen 3D-muoto on kartio, jossa on pyöreä pohja ja terävä kärki. Voit laskea sen tilavuuden käyttämällä jompaakumpaa kahdesta matemaattisesta kaavasta:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Ensimmäinen soveltuu vain kartioille, joissa on pyöreä pohja, ja toinen on universaali, ja sitä voidaan käyttää soikea- ja ellipsoidialustaisten kuvioiden laskemiseen. Kaavojen merkintä on vakio: Sₒ on pohjan pinta-ala, R on pohjan säde, h on kartion korkeus.

Pallo

Lopuksi pallon tilavuuden laskemiseen tarvitset vain vakion π (vastaa 3,14...) ja sen säteen:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Näin ollen R on pallon säde, joka riittää määrittämään tämän luvun tilavuuden.

Jotta et tuhlaa aikaa ja pohdiskelee monimutkaisia laskelmia, voit käyttää kolmiulotteisten kuvien ominaisuuksien syöttämistä varten painikkeilla (tai ohjelmistolla) olevaa suunnittelulaskinta, jossa on juuret ja asteet, tai erityistä online-laskinta, jossa on tyhjiä kenttiä. .