Tilavuus on yksi tärkeimmistä geometrisista ominaisuuksista: kuvioiden kehän ja alueen ohella. Mutta sitä voidaan soveltaa vain kolmiulotteisiin kappaleisiin, joille ei ole ominaista vain pituus ja leveys, vaan myös korkeus/paksuus.
Pallot, kuutiot, sylinterit, pyramidit, kartiot, suuntaissärmiöt – kaikki nämä ovat kolmiulotteisia hahmoja, jotka lasketaan erityisten kaavojen mukaan, joista monet ovat tiedemiesten löytämiä ennen aikakauttamme.
Historiallinen tausta
Muinainen Egypti ja Babylon
Ensimmäiset todisteet kolmiulotteisten hahmojen käytöstä viittaavat muinaiseen Egyptiin tai pikemminkin sen rakenteeseen ja arkkitehtuuriin. Siten majesteettisia pyramidirakenteita ei voitu rakentaa ilman massan ja tilavuuden määrittämisen perusperiaatteita. Tämä tarkoittaa, että ainakin muinaiset egyptiläiset pystyivät laskemaan kuutioiden, prismojen ja pyramidien tilavuuden.
Eloisa esimerkki on faarao Cheopsin 147 metriä korkea hauta, jolla on ihanteellinen geometrinen pyramidin muoto. Sitä on mahdotonta koota yksittäisistä tiilistä ja lohkoista siten, että se on seissyt yli 4500 vuotta; tämä vaatii erittäin tarkkoja matemaattisia ja teknisiä laskelmia.
Ei ole dokumentoitua näyttöä siitä, että muinaiset egyptiläiset ja babylonialaiset olisivat käyttäneet tiettyjä kaavoja tilavuuden laskemiseen, ja ehkä niitä käytettiin vain graafisessa ja suullisessa muodossa – erillisten periaatteiden, ei selkeästi muotoiltujen sääntöjen mukaan.
Muinaisesta Babylonista meille on tullut vain savitauluja, jotka kuvaavat katkaistun (ei täydellisen) pyramidin laskemista koskevia sääntöjä, mutta ne eivät riittäisi tällaisen mittakaavan esineiden rakentamiseen. Tiedetään, että monet muinaiset sivilisaatiot laskivat alkeishahmojen tilavuuden kertomalla niiden pohjan alueen korkeudella, mutta tämä ei sovellu sellaisiin esineisiin kuin kartiot, pyramidit, tetraedrat. Vaikka niitä löytyy usein muinaisesta arkkitehtuurista ja niillä on hyvin määritellyt mittasuhteet.
Muinainen Kreikka
Niivuuksien etsimisen periaatteet muotoiltiin selvemmin muinaisessa Kreikassa – 5.–2. vuosisadalla eKr. Eukleides esittelee kuution käsitteen, joka tarkoittaa samanaikaisesti sekä samannimisen hahmon tilavuutta että luvun nostamista kolmanteen potenssiin. Ja Demokritos muotoili 5. vuosisadalla eKr. ensimmäistä kertaa säännön pyramidin tilavuuden löytämiseksi, joka hänen tutkimuksensa mukaan on aina 1/3 saman korkeuden ja saman prisman tilavuudesta pohja.
Ajanjaksolla 6.–2. vuosisadalla eKr. antiikin kreikkalaiset matemaatikot oppivat myös laskemaan prismien, sylinterien ja kartioiden tilavuuden käyttämällä jo löydettyä lukua "pi", joka on välttämätön kaikkien pyöreiden lukujen laskemiseen. Archimedesin tutkimus muodosti perustan integraalilaskennan menetelmälle, ja hän piti päälöytökseensä kaavaa, jonka mukaan pallon tilavuus on aina 2/3 pienempi kuin sen ympärillä kuvatun sylinterin tilavuus. Arkhimedesen lisäksi myös Demokritos ja Eudoxus of Cnidus antoivat suuren panoksen geometrian tutkimukseen.
Uusi aika
Antiikin aikana kaikki peruskaavat kolmiulotteisten lukujen laskemiseen johdettiin, eikä keskiaika tuonut tällä alueella yhtään perustavanlaatuista uutta löytöä - lukuun ottamatta intialaisia tutkijoita (lähinnä Brahmagupta), jotka loivat useita geometrisia säännöt 6.-7. vuosisadalla lisäten uuden arvon - puolikehän. Pohjimmiltaan uutta lähestymistapaa sovellettiin vain nykyaikana - XVI-XVII vuosisadalla.
Italialainen tiedemies Bonaventura Cavalieri ehdotti teoksessaan "Geometria" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) vuodelta 1635 uutta periaatetta pyramidin tilavuuden löytämiseksi ja loi pohjan matematiikan ja fysiikan kehittämiselle. 300 vuodeksi eteenpäin. Periaate on, että jos kahden kappaleen leikkauskohdassa minkä tahansa tason kanssa yhdensuuntainen poikkileikkauspinta-alat ovat yhtä suuret, myös näiden kappaleiden tilavuudet ovat yhtä suuret.
On huomionarvoista, että 1800-luvulle asti kolmiulotteisten kappaleiden tilavuudelle ei ollut tarkkoja määritelmiä, ja ne muotoili vasta vuonna 1887 Giuseppe Peano ja vuonna 1892 Marie Enmond Camille Jordan. SI-järjestelmän mukaan kuutiometristä tuli tilavuuden päämittayksikkö, ja kaikki muut yksiköt (unssit, jalat, tynnyrit, bushelit) säilyivät vaihtoehtoisina.
3D-geometria herätti erityistä kiinnostusta 1900-luvulla abstraktionismin kehittyessä. Vuonna 1966 valokuvaaja Charles F. Cochran loi kuuluisan "hullu laatikko" -kuvansa nurinpäin käännetystä kuutiosta, jonka jälkeen kuutioiset lumihiutaleet, kelluvat, toistuvat kaksikerroksiset kuutiot ja paljon muuta pääsivät mahdottomien 3D-muotojen luetteloon. Nykyaikainen 3D-taide on myös mahdotonta ilman yleisesti hyväksyttyjä kaavoja tilavuuden etsimiseen, vaikka ne onkin laskettu tietokoneella, mutta luotu vuosisatoja sitten.
