მოცულობის კალკულატორი

მოცულობა ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი გეომეტრიული მახასიათებელია: ფიგურების პერიმეტრთან და ფართობთან ერთად. მაგრამ მისი გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ სამგანზომილებიან სხეულებზე, რომლებიც ხასიათდება არა მხოლოდ სიგრძით და სიგანით, არამედ სიმაღლით/სისქით.

სფეროები, კუბურები, ცილინდრები, პირამიდები, კონუსები, პარალელეპიპედები - ეს ყველაფერი მოცულობითი ფიგურებია, რომელთა გამოთვლა ხორციელდება სპეციალური ფორმულების მიხედვით, რომელთაგან ბევრი მეცნიერებმა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე აღმოაჩინეს.

ისტორიული ფონი

ძველი ეგვიპტე და ბაბილონი

სამგანზომილებიანი ფიგურების გამოყენების პირველი მტკიცებულება ეხება ძველ ეგვიპტეს, უფრო სწორად, მის მშენებლობას და არქიტექტურას. ასე რომ, დიდებული პირამიდული ნაგებობები არ შეიძლებოდა აღმართულიყო მასისა და მოცულობის განსაზღვრის ძირითადი პრინციპების ცოდნის გარეშე. ეს ნიშნავს, რომ ძველ ეგვიპტელებს მაინც შეეძლოთ გამოთვალონ კუბების, პრიზმების და პირამიდების მოცულობა.

ნათელი მაგალითია ფარაონ კეოპსის საფლავი, 147 მეტრის სიმაღლეზე, რომელსაც აქვს პირამიდის იდეალური გეომეტრიული ფორმა. შეუძლებელია მისი ცალკეული აგურისა და ბლოკისგან ისე შეკრება, რომ 4500 წელზე მეტი ხნის განმავლობაში იდგას; ამისათვის საჭიროა მაღალი სიზუსტის მათემატიკური და საინჟინრო გამოთვლები.

არ არსებობს დოკუმენტური მტკიცებულება იმისა, რომ ძველი ეგვიპტელები და ბაბილონელები იყენებდნენ სპეციფიკურ ფორმულებს მოცულობის გამოსათვლელად და შესაძლოა მათ მხოლოდ გრაფიკული და ზეპირი ფორმით იყენებდნენ - ცალკეული პრინციპების დაცვით და არა მკაფიოდ ჩამოყალიბებული წესებით.

ძველი ბაბილონიდან ჩვენამდე მოაღწია მხოლოდ თიხის ფირფიტები, რომლებიც აღწერს დამსხვრეული (არასრული) პირამიდის გამოთვლის წესებს, მაგრამ ისინი საკმარისი არ იქნება ასეთი მასშტაბის ობიექტების ასაგებად. ცნობილია, რომ მრავალი უძველესი ცივილიზაცია გამოთვლიდა ელემენტარული ფიგურების მოცულობას მათი ფუძის ფართობის სიმაღლეზე გამრავლებით, მაგრამ ეს არ ეხება ისეთ ობიექტებს, როგორიცაა კონუსები, პირამიდები, ტეტრაედრები. მიუხედავად იმისა, რომ ისინი ხშირად გვხვდება ძველ არქიტექტურაში და აქვთ კარგად განსაზღვრული პროპორციები.

ძველი საბერძნეთი

ტომების პოვნის პრინციპები უფრო მკაფიოდ იყო ჩამოყალიბებული ძველ საბერძნეთში - ძვ.წ. V-II საუკუნეებში. ევკლიდე შემოაქვს კუბის ცნებას, რომელიც ერთდროულად ნიშნავს როგორც ამავე სახელწოდების ფიგურის მოცულობას, ასევე რიცხვის მე-3 ხარისხამდე აწევას. და დემოკრიტემ ძვ. ბაზა.

ძვ.წ მე-6-მე-2 საუკუნეებში ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსებმა ასევე ისწავლეს პრიზმების, ცილინდრებისა და კონუსების მოცულობის გამოთვლა უკვე აღმოჩენილი რიცხვის „პი“-ს გამოყენებით, რომელიც აუცილებელია ყველა მრგვალი ფიგურის გამოსათვლელად. არქიმედეს კვლევამ საფუძველი ჩაუყარა კალკულუსის ინტეგრალურ მეთოდს და მან თავის მთავარ აღმოჩენად მიიჩნია ფორმულა, რომლის მიხედვითაც ბურთის მოცულობა ყოველთვის 2/3-ით ნაკლებია მის გარშემო აღწერილ ცილინდრის მოცულობაზე. არქიმედეს გარდა, გეომეტრიის შესწავლაში დიდი წვლილი შეიტანეს დემოკრიტემ და ევდოქსის კნიდუსმაც.

ახალი დრო

ანტიკურობის დროს მიღებული იყო სამგანზომილებიანი ფიგურების გამოთვლის ყველა ძირითადი ფორმულა და შუა საუკუნეებს არ გაუკეთებიათ ერთი ფუნდამენტურად ახალი აღმოჩენა ამ სფეროში - გარდა ინდოელი მკვლევარების (ძირითადად ბრაჰმაგუპტას), რომლებმაც შექმნეს რამდენიმე გეომეტრიული წესებს VI-VII საუკუნეებში ახალი მნიშვნელობის - ნახევარპერიმეტრის დამატებით. ფუნდამენტურად ახალი მიდგომა გამოიყენებოდა მხოლოდ თანამედროვე დროში - XVI-XVII საუკუნეებში.

1635 წლის თავის ნაშრომში "გეომეტრია" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) იტალიელმა მეცნიერმა ბონავენტურა კავალიერიმ შემოგვთავაზა პირამიდის მოცულობის პოვნის ახალი პრინციპი და საფუძველი ჩაუყარა მათემატიკის შემდგომ განვითარებას. 300 წლის განმავლობაში. პრინციპი ისაა, რომ თუ ორი სხეულის გადაკვეთაზე რომელიმე სიბრტყით, რომელიმე მოცემული სიბრტყის პარალელურად, განივი კვეთის ფართობები ტოლია, ამ სხეულების მოცულობაც ტოლია.

აღსანიშნავია, რომ მე-19 საუკუნემდე არ არსებობდა სამგანზომილებიანი სხეულების მოცულობების ზუსტი განმარტებები და ისინი ჩამოყალიბდა მხოლოდ 1887 წელს ჯუზეპე პეანოს მიერ, ხოლო 1892 წელს მარი ენმონდ კამილ ჟორდანიას მიერ. SI სისტემის მიხედვით, კუბური მეტრი გახდა მოცულობის საზომი მთავარი ერთეული, ხოლო ყველა სხვა ერთეული (უნცია, ფუტი, კასრები, ბუშლები) დარჩა ალტერნატიულებად.

3D გეომეტრიამ განსაკუთრებული ინტერესი გამოიწვია მე-20 საუკუნეში, აბსტრაქციონიზმის განვითარებით. 1966 წელს, ფოტოგრაფმა ჩარლზ ფ. თანამედროვე 3D ხელოვნება ასევე შეუძლებელია მოცულობის საპოვნელად საყოველთაოდ მიღებული ფორმულების გამოყენების გარეშე, რომლებიც, მართალია, გამოითვლება კომპიუტერით, შეიქმნა მრავალი საუკუნის წინ.

მოცულობის გამოთვლის წესი (მოცულობის ფორმულები)

თუ საკმარისია სვეტში რამდენიმე რიცხვის დამატება პერიმეტრის გამოსათვლელად, მაშინ შეიძლება საჭირო გახდეს საინჟინრო კალკულატორი ან სპეციალური ონლაინ აპლიკაცია მოცულობის დასადგენად. ეს ეხება ყველა ძირითად სამგანზომილებიან ფიგურას: კუბი, პრიზმა, ბურთი, პარალელეპიპედი, კონუსი, ცილინდრი, ტეტრაედონი და პირამიდა.

კუბი

რადგან კუბის ყველა სახე ერთი და იგივე სიგრძეა და ყველა კუთხე 90 გრადუსია, ამ ფიგურის მოცულობის გამოთვლა ელემენტარულია. მისთვის საკმარისია ფორმულის გამოყენება ერთი უცნობით:

V = a³.

შესაბამისად, V არის კუბის მოცულობა, a არის მისი სახის სიგრძე. მოცულობის ერთეულები სტანდარტულია: მეტრი, დეციმეტრი, სანტიმეტრი, მილიმეტრი და ასე შემდეგ.

პრიზმი

ეს გეომეტრიული ფიგურა არის პოლიედონი, რომლის ორი გვერდი ფორმაში და ფართობში ერთნაირია და პარალელურ სიბრტყეშია. და მათ შორის არის მართკუთხედები მკაცრად პერპენდიკულარული ფუძეების მიმართ. ამ უკანასკნელს შეიძლება ჰქონდეს ნებისმიერი მრავალწახნაგოვანი ფორმა: სამკუთხედი, ხუთკუთხედი, ექვსკუთხედი. მოცულობის განსაზღვრის ფორმულა ნებისმიერ შემთხვევაში ერთნაირად გამოიყურება:

V = Sₒ ⋅ სთ.

გამოსახულებაში h არის პრიზმის სიმაღლე, ხოლო Sₒ არის მისი ფუძის ფართობი. ეს უკანასკნელი გამოითვლება ამ კონკრეტული ფიგურის შესაბამისი ფორმულის მიხედვით, იქნება ეს სამკუთხედი, რომბი, ტრაპეცია.

პარალლეპიპედი

ეს ფიგურა პრიზმის ერთ-ერთი სახეობაა, მაგრამ თუ ამ უკანასკნელის სახეები მკაცრად პერპენდიკულარულია ფუძეების მიმართ, მაშინ პირველს შეიძლება ჰქონდეს დახრილი - 90 გრადუსიანი კუთხით. თუმცა, ყუთის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა იგივე გამოიყურება:

V = Sₒ ⋅ სთ.

სიმაღლე h გამოყვანილია ზედა ფუძის კუთხიდან პერპენდიკულურად ქვევით და დახრილი კიდეებით არ ემთხვევა ქვედა ფუძის კუთხეს. თუ ყუთი მართკუთხაა, მოცულობა გამოითვლება გვერდების ნამრავლად:

V = a ⋅ b ⋅ სთ.

შესაბამისად, a და b არის ფუძის გვერდების სიგრძე, h არის ყუთის სიმაღლე. ამ შემთხვევაში, სიმაღლე მთლიანად ემთხვევა რომელიმე გვერდით კიდეს.

პირამიდა

უფრო რთული გამოსათვლელი ფიგურა, რომელიც შედგება მრავალკუთხა ფუძისა და სამკუთხა სახეებისგან, რომელთა რიცხვი უდრის ფუძის გვერდების რაოდენობას. თუ ეს არის სამკუთხედი, არის 3 სახე, თუ კვადრატი არის 4, თუ ექვსკუთხედი არის 6. ყველა გვერდითი სახე აქვს საერთო წვეროს და მოცულობა გამოითვლება უნივერსალური ფორმულის გამოყენებით:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ სთ.

როგორც წინა ფორმულებში, Sₒ არის ფუძის ფართობი, h არის ფიგურის სიმაღლე. გამოთქმა არ იცვლება ფუძის შეცვლისას და ერთნაირია ყველა სახის პირამიდისთვის.

რეგულარული ტეტრაედონი

ამ ფიგურას კიდეებზე ყველა ორმხრივი კუთხე ტოლია, ხოლო სახეები ტოლგვერდა სამკუთხედებია, ფუძის ჩათვლით. ამრიგად, რეგულარულ ტეტრაედრონს შეიძლება ეწოდოს სამკუთხა პირამიდა ოთხი იდენტური გვერდით. მისი მოცულობა გამოითვლება ფორმულით:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

გამონათქვამში არის მხოლოდ ერთი უცნობი - a, რომელიც შეესაბამება რეგულარული ტეტრაედონის კიდის სიგრძეს. მასში ყველა კიდე ერთნაირია, ამიტომ საკმარისია კუბური, შემდეგ გამრავლება ფესვზე და გაყოფა 12-ზე.

ცილინდრი

ეს გეომეტრიული ფიგურა შედგება ორი მრგვალი ფუძისგან, იდენტური დიამეტრით და ერთმანეთის პარალელურად. ისინი ერთმანეთთან არის დაკავშირებული ერთი უწყვეტი გვერდითი ზედაპირით პერპენდიკულარული ბაზების მიმართ. ეს უკანასკნელი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც წრეებით, ასევე ოვალებით. ნებისმიერ შემთხვევაში, მოცულობის გამოთვლის ფორმულები ერთნაირად გამოიყურება:

V = π ⋅ R² ⋅ სთ.
V = Sₒ ⋅ სთ.

ამ განტოლებებში Sₒ არის ცილინდრის ფუძის ფართობი, h არის ცილინდრის სიმაღლე და R არის ფუძის რადიუსი. პირველი ფორმულა შესაფერისია მხოლოდ სრულყოფილი მრგვალი ფუძის მქონე ცილინდრებისთვის, ხოლო მეორე ფორმულა შესაფერისია ყველა ცილინდრისთვის, მათ შორის ოვალური და ელიფსური.

კონუსი

კიდევ ერთი გავრცელებული 3D ფორმაა კონუსი, მრგვალი ფუძით და მკვეთრი მწვერვალით. მისი მოცულობის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორი მათემატიკური ფორმულებიდან ერთი:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ სთ.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ სთ.

პირველი განკუთვნილია მხოლოდ მრგვალი ფუძის მქონე კონუსებისთვის, ხოლო მეორე უნივერსალურია და შეიძლება გამოყენებულ იქნას ოვალური და ელიფსოიდური ფუძის მქონე ფიგურების გამოსათვლელად. ფორმულებში აღნიშვნა სტანდარტულია: Sₒ არის ფუძის ფართობი, R არის ფუძის რადიუსი, h არის კონუსის სიმაღლე.

ბურთი

ბოლოს, სფეროს მოცულობის გამოსათვლელად საჭიროა მხოლოდ π მუდმივი (უდრის 3,14...) და მისი რადიუსი:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

შესაბამისად, R არის ბურთის რადიუსი, რომელიც საკმარისია ამ ფიგურის მოცულობის დასადგენად.

იმისათვის, რომ არ დაკარგოთ დრო და თავსატეხი რთულ გამოთვლებზე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ღილაკზე დაჭერილი (ან პროგრამული) საინჟინრო კალკულატორი ფესვებით და გრადუსით, ან სპეციალური ონლაინ კალკულატორი ცარიელი ველებით სამგანზომილებიანი ფიგურების მახასიათებლების შესაყვანად. .

მოცულობის კალკულატორი

სხვა ინსტრუმენტები