Skaļums ir viens no svarīgākajiem ģeometriskajiem raksturlielumiem: kopā ar figūru perimetru un laukumu. Bet to var attiecināt tikai uz trīsdimensiju ķermeņiem, kuriem raksturīgs ne tikai garums un platums, bet arī augstums/biezums.
Sfēras, kubi, cilindri, piramīdas, konusi, paralēlskaldņi — tie visi ir trīsdimensiju figūras, kuru aprēķins tiek veikts pēc īpašām formulām, no kurām daudzas atklāja zinātnieki pirms mūsu ēras.
Vēsturiskais fons
Senā Ēģipte un Babilona
Pirmās liecības par trīsdimensiju figūru izmantošanu attiecas uz Seno Ēģipti vai, pareizāk sakot, uz tās konstrukciju un arhitektūru. Tādējādi majestātiskas piramīdas konstrukcijas nevarēja uzbūvēt, nezinot masas un tilpuma noteikšanas pamatprincipus. Tas nozīmē, ka vismaz senie ēģiptieši varēja aprēķināt kubu, prizmu un piramīdu tilpumu.
Spilgts piemērs ir faraona Heopsa kaps, kura augstums ir 147 metri un kam ir ideāla piramīdas ģeometriskā forma. No atsevišķiem ķieģeļiem un blokiem to nav iespējams salikt tā, lai tas nostāvētu vairāk nekā 4500 gadus, tas prasa augstas precizitātes matemātiskos un inženiertehniskos aprēķinus.
Nav dokumentālu pierādījumu, ka senie ēģiptieši un babilonieši izmantoja īpašas formulas, lai aprēķinātu tilpumu, un, iespējams, tās izmantoja tikai grafiskā un mutiskā formā — ievērojot atsevišķus principus, nevis skaidri formulētus noteikumus.
No Senās Babilonas līdz mums ir nonākušas tikai māla plāksnes, kurās aprakstīti nošķeltas (nepilnīgas) piramīdas aprēķināšanas noteikumi, taču ar tām nepietiktu tāda mēroga objektu celtniecībai. Ir zināms, ka daudzas senās civilizācijas aprēķināja elementāro figūru apjomu, reizinot to pamatnes laukumu ar augstumu, taču tas neattiecas uz tādiem objektiem kā konusi, piramīdas, tetraedri. Lai gan tie bieži sastopami senajā arhitektūrā un tiem ir skaidri noteiktas proporcijas.
Senā Grieķija
Sējumu atrašanas principi bija skaidrāk formulēti Senajā Grieķijā – no 5. līdz 2. gadsimtam pirms mūsu ēras. Eiklīds ievieš kuba jēdzienu, kas vienlaikus nozīmē gan tāda paša nosaukuma figūras apjomu, gan skaitļa paaugstināšanu līdz 3.pakāpei. Un Demokrits 5. gadsimtā pirms mūsu ēras pirmo reizi formulēja noteikumu piramīdas tilpuma atrašanai, kas, pēc viņa pētījumiem, vienmēr ir vienāda ar 1/3 no tāda paša augstuma un ar tādu pašu prizmas tilpuma. bāze.
Laikā no 6. līdz 2. gadsimtam pirms mūsu ēras sengrieķu matemātiķi iemācījās aprēķināt arī prizmu, cilindru un konusu tilpumu, izmantojot jau atklāto skaitli "pi", kas nepieciešams visu apaļo skaitļu aprēķināšanai. Arhimēda pētījumi veidoja skaitļošanas integrālās metodes pamatu, un par savu galveno atklājumu viņš uzskatīja formulu, pēc kuras lodītes tilpums vienmēr ir par 2/3 mazāks nekā ap to aprakstītā cilindra tilpums. Papildus Arhimēdam lielu ieguldījumu ģeometrijas izpētē sniedza arī Demokrits un Eudokss no Knida.
Jauns laiks
Senatnē tika atvasinātas visas trīsdimensiju figūru aprēķināšanas pamatformulas, un viduslaiki šajā jomā nedeva nevienu fundamentāli jaunu atklājumu - izņemot Indijas pētniekus (galvenokārt Brahmaguptu), kuri radīja vairākas ģeometriskas noteikumi 6.-7.gs., pievienojot jaunu vērtību - pusperimetru. Principiāli jauna pieeja tika pielietota tikai jaunajos laikos – XVI-XVII gs.
Itāliešu zinātnieks Bonaventura Kavaljēri savā 1635. gada darbā "Ģeometrija" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) ierosināja jaunu principu piramīdas tilpuma noteikšanai un lika pamatus matemātikas un fizikas tālākai attīstībai. 300 gadus uz priekšu. Princips ir tāds, ka, ja divu ķermeņu krustpunktā ar jebkuru plakni, kas ir paralēla kādai noteiktai plaknei, šķērsgriezuma laukumi ir vienādi, tad arī šo ķermeņu tilpumi ir vienādi.
Zīmīgi, ka līdz 19. gadsimtam nebija precīzu trīsdimensiju ķermeņu tilpumu definīciju, un tās tikai 1887. gadā formulēja Džuzepe Peano un 1892. gadā Marie Enmond Camille Jordan. Saskaņā ar SI sistēmu par galveno tilpuma mērvienību kļuva kubikmetrs, bet visas pārējās mērvienības (unces, pēdas, mucas, bušļi) palika kā alternatīvas.
3D ģeometrija īpašu interesi izraisīja 20. gadsimtā, attīstoties abstrakcionismam. 1966. gadā fotogrāfs Čārlzs F. Kokrans izveidoja savu slaveno “trakās kastes” fotoattēlu, kurā redzams iekšpuses kubs, pēc kura neiespējamo 3D formu sarakstā iekļuva kubiskās sniegpārslas, peldošas, atkārtojas divstāvu kubi un citas. Mūsdienu 3D māksla nav iespējama arī bez vispārpieņemtu formulu izmantošanas apjoma noteikšanai, kas, lai arī aprēķinātas ar datoru, tika izveidotas pirms daudziem gadsimtiem.
