Tilpuma kalkulators

Pievienot vietnei Metainformācija {$ infoContainerHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Citi rīki

Laukuma kalkulators{$ ',' | translate $} Perimetra kalkulators{$ ',' | translate $} Reizināšanas tabula{$ ',' | translate $} Periodiskā tabula{$ ',' | translate $} Matricas kalkulators{$ ',' | translate $} MKR kalkulators{$ ',' | translate $} Trigonometriskais kalkulators{$ ',' | translate $} LKD kalkulators

Tilpuma kalkulators

Skaļums ir viens no svarīgākajiem ģeometriskajiem raksturlielumiem: kopā ar figūru perimetru un laukumu. Bet to var attiecināt tikai uz trīsdimensiju ķermeņiem, kuriem raksturīgs ne tikai garums un platums, bet arī augstums/biezums.

Sfēras, kubi, cilindri, piramīdas, konusi, paralēlskaldņi — tie visi ir trīsdimensiju figūras, kuru aprēķins tiek veikts pēc īpašām formulām, no kurām daudzas atklāja zinātnieki pirms mūsu ēras.

Vēsturiskais fons

Senā Ēģipte un Babilona

Pirmās liecības par trīsdimensiju figūru izmantošanu attiecas uz Seno Ēģipti vai, pareizāk sakot, uz tās konstrukciju un arhitektūru. Tādējādi majestātiskas piramīdas konstrukcijas nevarēja uzbūvēt, nezinot masas un tilpuma noteikšanas pamatprincipus. Tas nozīmē, ka vismaz senie ēģiptieši varēja aprēķināt kubu, prizmu un piramīdu tilpumu.

Spilgts piemērs ir faraona Heopsa kaps, kura augstums ir 147 metri un kam ir ideāla piramīdas ģeometriskā forma. No atsevišķiem ķieģeļiem un blokiem to nav iespējams salikt tā, lai tas nostāvētu vairāk nekā 4500 gadus, tas prasa augstas precizitātes matemātiskos un inženiertehniskos aprēķinus.

Nav dokumentālu pierādījumu, ka senie ēģiptieši un babilonieši izmantoja īpašas formulas, lai aprēķinātu tilpumu, un, iespējams, tās izmantoja tikai grafiskā un mutiskā formā — ievērojot atsevišķus principus, nevis skaidri formulētus noteikumus.

No Senās Babilonas līdz mums ir nonākušas tikai māla plāksnes, kurās aprakstīti nošķeltas (nepilnīgas) piramīdas aprēķināšanas noteikumi, taču ar tām nepietiktu tāda mēroga objektu celtniecībai. Ir zināms, ka daudzas senās civilizācijas aprēķināja elementāro figūru apjomu, reizinot to pamatnes laukumu ar augstumu, taču tas neattiecas uz tādiem objektiem kā konusi, piramīdas, tetraedri. Lai gan tie bieži sastopami senajā arhitektūrā un tiem ir skaidri noteiktas proporcijas.

Senā Grieķija

Sējumu atrašanas principi bija skaidrāk formulēti Senajā Grieķijā – no 5. līdz 2. gadsimtam pirms mūsu ēras. Eiklīds ievieš kuba jēdzienu, kas vienlaikus nozīmē gan tāda paša nosaukuma figūras apjomu, gan skaitļa paaugstināšanu līdz 3.pakāpei. Un Demokrits 5. gadsimtā pirms mūsu ēras pirmo reizi formulēja noteikumu piramīdas tilpuma atrašanai, kas, pēc viņa pētījumiem, vienmēr ir vienāda ar 1/3 no tāda paša augstuma un ar tādu pašu prizmas tilpuma. bāze.

Laikā no 6. līdz 2. gadsimtam pirms mūsu ēras sengrieķu matemātiķi iemācījās aprēķināt arī prizmu, cilindru un konusu tilpumu, izmantojot jau atklāto skaitli "pi", kas nepieciešams visu apaļo skaitļu aprēķināšanai. Arhimēda pētījumi veidoja skaitļošanas integrālās metodes pamatu, un par savu galveno atklājumu viņš uzskatīja formulu, pēc kuras lodītes tilpums vienmēr ir par 2/3 mazāks nekā ap to aprakstītā cilindra tilpums. Papildus Arhimēdam lielu ieguldījumu ģeometrijas izpētē sniedza arī Demokrits un Eudokss no Knida.

Jauns laiks

Senatnē tika atvasinātas visas trīsdimensiju figūru aprēķināšanas pamatformulas, un viduslaiki šajā jomā nedeva nevienu fundamentāli jaunu atklājumu - izņemot Indijas pētniekus (galvenokārt Brahmaguptu), kuri radīja vairākas ģeometriskas noteikumi 6.-7.gs., pievienojot jaunu vērtību - pusperimetru. Principiāli jauna pieeja tika pielietota tikai jaunajos laikos – XVI-XVII gs.

Itāliešu zinātnieks Bonaventura Kavaljēri savā 1635. gada darbā "Ģeometrija" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) ierosināja jaunu principu piramīdas tilpuma noteikšanai un lika pamatus matemātikas un fizikas tālākai attīstībai. 300 gadus uz priekšu. Princips ir tāds, ka, ja divu ķermeņu krustpunktā ar jebkuru plakni, kas ir paralēla kādai noteiktai plaknei, šķērsgriezuma laukumi ir vienādi, tad arī šo ķermeņu tilpumi ir vienādi.

Zīmīgi, ka līdz 19. gadsimtam nebija precīzu trīsdimensiju ķermeņu tilpumu definīciju, un tās tikai 1887. gadā formulēja Džuzepe Peano un 1892. gadā Marie Enmond Camille Jordan. Saskaņā ar SI sistēmu par galveno tilpuma mērvienību kļuva kubikmetrs, bet visas pārējās mērvienības (unces, pēdas, mucas, bušļi) palika kā alternatīvas.

3D ģeometrija īpašu interesi izraisīja 20. gadsimtā, attīstoties abstrakcionismam. 1966. gadā fotogrāfs Čārlzs F. Kokrans izveidoja savu slaveno “trakās kastes” fotoattēlu, kurā redzams iekšpuses kubs, pēc kura neiespējamo 3D formu sarakstā iekļuva kubiskās sniegpārslas, peldošas, atkārtojas divstāvu kubi un citas. Mūsdienu 3D māksla nav iespējama arī bez vispārpieņemtu formulu izmantošanas apjoma noteikšanai, kas, lai arī aprēķinātas ar datoru, tika izveidotas pirms daudziem gadsimtiem.

Kā aprēķināt tilpumu (formulas tilpuma aprēķinam)

Ja kolonnā ir pietiekami pievienot vairākus skaitļus, lai aprēķinātu perimetru, tad tilpuma noteikšanai var būt nepieciešams inženiertehniskais kalkulators vai īpaša tiešsaistes lietojumprogramma. Tas attiecas uz visām pamata trīsdimensiju figūrām: kubu, prizmu, lodi, paralēlskaldni, konusu, cilindru, tetraedru un piramīdu.

Kubs

Tā kā visas kuba skaldnes ir vienāda garuma un visi leņķi ir 90 grādi, šī attēla tilpuma aprēķins ir vienkāršs. Viņam pietiek ar formulu ar vienu nezināmo:

V = a³.

Attiecīgi V ir kuba tilpums, a ir tā skaldnes garums. Skaļuma mērvienības ir standarta: metrs, decimetrs, centimetrs, milimetrs un tā tālāk.

Prizma

Šī ģeometriskā figūra ir daudzskaldnis, kura abas malas pēc formas un laukuma ir vienādas un atrodas paralēlās plaknēs. Un starp tiem ir taisnstūri, kas ir stingri perpendikulāri pamatnēm. Pēdējam var būt jebkura daudzstūra forma: trīsstūris, piecstūris, sešstūris. Formula apjoma noteikšanai jebkurā gadījumā izskatās vienādi:

V = Sₒ ⋅ h.

Izteiksmē h ir prizmas augstums, un Sₒ ir tās pamatnes laukums. Pēdējais tiek aprēķināts pēc formulas, kas atbilst šim konkrētajam skaitlim, vai tas būtu trīsstūris, rombs, trapece.

Paralēlcaurules

Šī figūra ir viena no prizmas šķirnēm, bet, ja pēdējās skaldnes ir stingri perpendikulāras pamatnēm, tad pirmajai var būt slīpas - ar leņķiem, kas atšķiras no 90 grādiem. Tomēr formula kastes tilpuma aprēķināšanai izskatās tāda pati:

V = Sₒ ⋅ h.

Augstums h ir novilkts no augšējās pamatnes stūra perpendikulāri uz leju, un ar slīpām malām nesakrīt ar apakšējās pamatnes stūri. Ja kaste ir taisnstūrveida, tilpumu aprēķina kā malu reizinājumu:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Attiecīgi a un b ir pamatnes malu garumi, h ir kastes augstums. Šajā gadījumā augstums pilnībā sakrīt ar jebkuru no sānu malām.

Piramīda

Grūtāk aprēķināma figūra, kas sastāv no daudzstūra pamatnes un trīsstūrveida skaldnēm, kuru skaits ir vienāds ar pamatnes malu skaitu. Ja tas ir trīsstūris, ir 3 skaldnes, ja kvadrāts ir 4, ja sešstūris ir 6. Visām sānu malām ir kopīga virsotne, un tilpumu aprēķina, izmantojot universālo formulu:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Tāpat kā iepriekšējās formulās, Sₒ ir pamatnes laukums, h ir figūras augstums. Izteiciens nemainās, mainot pamatni, un ir vienāds visām piramīdu šķirnēm.

Parasts tetraedrs

Šai figūrai visi divstūrveida leņķi malās ir vienādi, un malas ir vienādmalu trīsstūri, ieskaitot pamatni. Tādējādi regulāru tetraedru var saukt par trīsstūrveida piramīdu ar četrām identiskām malām. Tās tilpumu aprēķina pēc formulas:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Izteiksmē ir tikai viens nezināms — a, kas atbilst regulāra tetraedra malas garumam. Visas malas tajā ir vienādas, tāpēc pietiek ar kubu, tad reizināt ar sakni un dalīt ar 12.

Cilindrs

Šī ģeometriskā figūra sastāv no divām apaļām pamatnēm, kas ir identiska diametrā un ir paralēlas viena otrai. Tie ir savstarpēji savienoti ar vienu nepārtrauktu sānu virsmu, kas ir perpendikulāra pamatnēm. Pēdējo var attēlot gan ar apļiem, gan ovāliem. Jebkurā gadījumā tilpuma aprēķināšanas formulas izskatās vienādas:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

Šajos vienādojumos Sₒ ir cilindra pamatnes laukums, h ir cilindra augstums un R ir pamatnes rādiuss. Pirmā formula ir piemērota tikai cilindriem ar perfektu apaļu pamatni, bet otrā formula ir piemērota visiem cilindriem, tostarp ovālajiem un eliptiskajiem.

Konuss

Cita izplatīta 3D forma ir konuss ar apaļu pamatni un asu virsotni. Lai aprēķinātu tā tilpumu, varat izmantot vienu no divām matemātiskajām formulām:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Pirmais ir piemērots tikai konusiem ar apaļu pamatni, bet otrais ir universāls, un to var izmantot, lai aprēķinātu figūras ar ovālu un elipsoīdu pamatni. Apzīmējums formulās ir standarta: Sₒ ir pamatnes laukums, R ir pamatnes rādiuss, h ir konusa augstums.

Bumba

Visbeidzot, lai aprēķinātu sfēras tilpumu, ir nepieciešama tikai konstante π (vienāds ar 3,14...) un tās rādiuss:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Attiecīgi R ir bumbiņas rādiuss, kas ir pietiekami, lai noteiktu šī skaitļa tilpumu.

Lai netērētu laiku un nepārdomātu sarežģītus aprēķinus, trīsdimensiju figūru raksturlielumu ievadīšanai varat izmantot spiedpogu (vai programmatūras) inženiertehnisko kalkulatoru ar saknēm un grādiem vai īpašu tiešsaistes kalkulatoru ar tukšiem laukiem. .