Calculator de volum

Adăugați pe site Metainformații {$ infoContainerHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Alte unelte

Calculator arie{$ ',' | translate $} Calculator perimetru{$ ',' | translate $} Tabla înmulțirii{$ ',' | translate $} Tabelul periodic{$ ',' | translate $} Calculator de matrice{$ ',' | translate $} Calculator CMMMC{$ ',' | translate $} Calculator de trigonometrie{$ ',' | translate $} Calculator CMMDC

Calculator de volum

Volumul este una dintre cele mai importante caracteristici geometrice: împreună cu perimetrul și aria figurilor. Dar poate fi aplicat doar corpurilor tridimensionale, care se caracterizează nu numai prin lungime și lățime, ci și prin înălțime/grosime.

Sfere, cuburi, cilindri, piramide, conuri, paralelipipede - toate acestea sunt figuri tridimensionale, al căror calcul se efectuează după formule speciale, multe dintre ele descoperite de oamenii de știință înainte de epoca noastră.

Historial

Egiptul antic și Babilonul

Primele dovezi ale utilizării figurilor tridimensionale se referă la Egiptul Antic, sau mai degrabă, la construcția și arhitectura acestuia. Astfel, structuri piramidale maiestuoase nu puteau fi construite fără cunoașterea principiilor de bază pentru determinarea masei și volumului. Aceasta înseamnă că vechii egipteni, cel puțin, puteau calcula volumul cuburilor, prismelor și piramidelor.

Un exemplu viu este mormântul faraonului Keops, înalt de 147 de metri, care are o formă geometrică ideală a unei piramide. Este imposibil să le puneți împreună din cărămizi și blocuri individuale, astfel încât să reziste de mai bine de 4500 de ani; acest lucru necesită calcule matematice și inginerești de înaltă precizie.

Nu există nicio dovadă documentară că egiptenii și babilonienii antici au folosit formule specifice pentru a calcula volumul și poate că au fost folosite doar în formă grafică și orală - urmând principii separate, nu reguli clar formulate.

Din Babilonul Antic, la noi au ajuns doar tăblițe de lut, care descriu regulile de calcul a unei piramide trunchiate (nu complete), dar nu ar fi suficiente pentru construirea unor obiecte de o asemenea scară. Se știe că multe civilizații antice au calculat volumul figurilor elementare înmulțind aria bazei lor cu înălțimea, dar acest lucru nu este aplicabil unor obiecte precum conuri, piramide, tetraedre. Deși se găsesc adesea în arhitectura antică și au proporții bine definite.

Grecia antică

Principiile găsirii volumelor au fost mai clar formulate în Grecia Antică - din secolele V-II î.Hr. Euclid introduce conceptul de cub, care înseamnă simultan atât volumul figurii cu același nume, cât și ridicarea unui număr la puterea a 3-a. Iar Democrit în secolul al V-lea î.Hr. a formulat pentru prima dată o regulă pentru găsirea volumului unei piramide, care, conform cercetărilor sale, este întotdeauna egal cu 1/3 din volumul unei prisme de aceeași înălțime și cu aceeași înălțime. baza.

În perioada dintre secolul al VI-lea până în secolul al II-lea î.Hr., matematicienii greci antici au învățat și să calculeze volumul prismelor, cilindrilor și conurilor, folosind numărul deja descoperit „pi”, care este necesar pentru calcularea tuturor cifrelor rotunde. Cercetările lui Arhimede au stat la baza metodei integrale de calcul, iar el a considerat principala sa descoperire ca fiind formula conform căreia volumul unei mingi este întotdeauna cu 2/3 mai mic decât volumul cilindrului descris în jurul acesteia. Pe lângă Arhimede, Democrit și Eudox din Cnidus au avut și o mare contribuție la studiul geometriei.

Ora nouă

În Antichitate, au fost derivate toate formulele de bază pentru calcularea figurilor tridimensionale, iar Evul Mediu nu a oferit o singură descoperire fundamental nouă în acest domeniu - cu excepția cercetătorilor indieni (în principal Brahmagupta), care au creat mai multe elemente geometrice. guvernează în secolele VI-VII cu adăugarea unei noi valori - semiperimetrul. O abordare fundamental nouă a fost aplicată doar în timpurile moderne – în secolele XVI-XVII.

În lucrarea sa „Geometria” (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) din 1635, omul de știință italian Bonaventura Cavalieri a propus un nou principiu pentru găsirea volumului unei piramide și a pus bazele dezvoltării ulterioare a matematicii și fizicii. pentru 300 de ani de acum înainte. Principiul este că, dacă la intersecția a două corpuri cu orice plan paralel cu un plan dat, ariile secțiunii transversale sunt egale, volumele acestor corpuri sunt de asemenea egale.

Este de remarcat faptul că până în secolul al XIX-lea nu existau definiții exacte pentru volumele corpurilor tridimensionale, ele fiind formulate abia în 1887 de Giuseppe Peano și în 1892 de Marie Enmond Camille Jordan. Conform sistemului SI, metrul cub a devenit principala unitate de măsură a volumului, iar toate celelalte unități (uncii, picioare, butoaie, bushels) au rămas ca alternative.

Geometria 3D a trezit un interes deosebit în secolul al XX-lea, odată cu dezvoltarea abstracționismului. În 1966, fotograful Charles F. Cochran a creat faimoasa sa fotografie „cutie nebună” a unui cub din interior spre exterior, după care fulgi de zăpadă cubici, plutind, repetă, cuburi cu două etaje și altele au intrat în lista formelor 3D imposibile. Arta 3D modernă este, de asemenea, imposibilă fără utilizarea unor formule general acceptate pentru găsirea volumului, care, deși au fost calculate de un computer, au fost create cu multe secole în urmă.

Cum se găsește volumul (formule pentru volum)

Dacă este suficient să adăugați mai multe numere într-o coloană pentru a calcula perimetrul, atunci poate fi necesar un calculator de inginerie sau o aplicație online specială pentru a determina volumul. Acest lucru se aplică tuturor figurilor tridimensionale de bază: cub, prismă, bilă, paralelipiped, con, cilindru, tetraedru și piramidă.

Cub

Deoarece toate fețele unui cub au aceeași lungime și toate unghiurile sunt de 90 de grade, calculul volumului acestei figuri este elementar. Pentru el este suficient să folosești o formulă cu o necunoscută:

V = a³.

În consecință, V este volumul cubului, a este lungimea feței sale. Unitățile de volum sunt standard: metru, decimetru, centimetru, milimetru și așa mai departe.

Prismă

Această figură geometrică este un poliedru, ale cărui două laturi sunt aceleași ca formă și zonă și sunt în planuri paralele. Și între ele sunt dreptunghiuri strict perpendiculare pe baze. Acesta din urmă poate avea orice formă poliedrică: triunghi, pentagon, hexagon. Formula pentru determinarea volumului în orice caz arată aceeași:

V = Sₒ ⋅ h.

În expresie, h este înălțimea prismei, iar Sₒ este aria bazei acesteia. Acesta din urmă este calculat conform formulei corespunzătoare acestei figuri particulare, fie că este un triunghi, un romb, un trapez.

Paralepiped

Această figură este una dintre varietățile unei prisme, dar dacă fețele acesteia din urmă sunt strict perpendiculare pe baze, atunci prima poate avea cele teșite - cu unghiuri altele decât 90 de grade. Cu toate acestea, formula pentru calcularea volumului unei cutii arată la fel:

V = Sₒ ⋅ h.

Înălțimea h este trasă de la colțul bazei superioare perpendicular în jos, iar cu marginile teșite nu coincide cu colțul bazei inferioare. Dacă caseta este dreptunghiulară, volumul se calculează ca produsul laturilor:

V = a ⋅ b ⋅ h.

În consecință, a și b sunt lungimile laturilor bazei, h este înălțimea cutiei. În acest caz, înălțimea coincide complet cu oricare dintre marginile laterale.

Piramida

O figură mai greu de calculat, constând dintr-o bază poligonală și fețe triunghiulare, al căror număr este egal cu numărul de laturi ale bazei. Dacă este un triunghi, există 3 fețe, dacă un pătrat este 4, dacă un hexagon este 6. Toate fețele laterale au un vârf comun, iar volumul se calculează folosind formula universală:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Ca și în formulele anterioare, Sₒ este aria bazei, h este înălțimea figurii. Expresia nu se schimbă la schimbarea bazei și este aceeași pentru toate tipurile de piramide.

Tetraedru regulat

Această figură are toate unghiurile diedrice la margini egale, iar fețele sunt triunghiuri echilaterale, inclusiv baza. Astfel, un tetraedru obișnuit poate fi numit o piramidă triunghiulară cu patru laturi identice. Volumul acestuia este calculat prin formula:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Există o singură necunoscută în expresie - a, corespunzătoare lungimii muchiei unui tetraedru regulat. Toate marginile din el sunt aceleași, așa că este suficient să cubiți, apoi să înmulțiți cu rădăcină și să împărțiți la 12.

Cilidru

Această figură geometrică este formată din două baze rotunde, identice ca diametru și paralele între ele. Ele sunt interconectate printr-o suprafață laterală continuă perpendiculară pe baze. Acesta din urmă poate fi reprezentat atât prin cercuri, cât și prin ovale. În orice caz, formulele pentru calcularea volumului arată la fel:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

În aceste ecuații, Sₒ este aria bazei cilindrului, h este înălțimea cilindrului și R este raza bazei. Prima formulă este potrivită numai pentru cilindri cu o bază rotundă perfectă, iar a doua formulă este potrivită pentru toți cilindrii, inclusiv ovale și eliptică.

Con

O altă formă 3D comună este conul, cu o bază rotundă și un vârf ascuțit. Pentru a-i calcula volumul, puteți utiliza una dintre cele două formule matematice:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Primul este potrivit numai pentru conuri cu bază rotundă, iar al doilea este universal și poate fi folosit pentru a calcula figuri cu baze ovale și elipsoide. Notația din formule este standard: Sₒ este aria bazei, R este raza bazei, h este înălțimea conului.

Minge

În sfârșit, pentru a calcula volumul unei sfere, aveți nevoie doar de constanta π (egale cu 3,14...) și de raza acesteia:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

În consecință, R este raza mingii, ceea ce este suficient pentru a determina volumul acestei figuri.

Pentru a nu pierde timp și a încurca calcule complexe, puteți utiliza un calculator de inginerie cu buton (sau software) cu rădăcini și grade sau un calculator online special cu câmpuri goale pentru introducerea caracteristicilor figurilor tridimensionale .