Objemová kalkulačka

Pridať na stránku Metainformácie {$ infoContainerHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Iné nástroje

Plošná kalkulačka{$ ',' | translate $} Obvodová kalkulačka{$ ',' | translate $} Tabuľka násobenia{$ ',' | translate $} Periodická tabuľka{$ ',' | translate $} Maticová kalkulačka{$ ',' | translate $} LCM kalkulačka{$ ',' | translate $} Trigonometrická kalkulačka{$ ',' | translate $} GCF kalkulačka

Objemová kalkulačka

Objem je jednou z najdôležitejších geometrických charakteristík: spolu s obvodom a plochou figúrok. Ale dá sa aplikovať len na trojrozmerné telesá, ktoré sa vyznačujú nielen dĺžkou a šírkou, ale aj výškou/hrúbkou.

Gule, kocky, valce, pyramídy, kužele, rovnobežnosteny - to všetko sú trojrozmerné obrazce, ktorých výpočet sa vykonáva podľa špeciálnych vzorcov, z ktorých mnohé objavili vedci ešte pred naším letopočtom.

Historické pozadie

Staroveký Egypt a Babylon

Prvé dôkazy o použití trojrozmerných postáv sa týkajú starovekého Egypta, respektíve jeho stavby a architektúry. Majestátne pyramídové stavby teda nebolo možné stavať bez znalosti základných princípov určovania hmotnosti a objemu. To znamená, že prinajmenšom starí Egypťania dokázali vypočítať objem kociek, hranolov a pyramíd.

Názorným príkladom je hrobka faraóna Cheopsa vysoká 147 metrov, ktorá má ideálny geometrický tvar pyramídy. Nie je možné ho poskladať z jednotlivých tehál a blokov tak, aby stál viac ako 4500 rokov, vyžaduje si to veľmi presné matematické a inžinierske výpočty.

Neexistuje žiadny dokumentárny dôkaz o tom, že starí Egypťania a Babylončania používali na výpočet objemu špecifické vzorce a možno ich používali iba v grafickej a ústnej forme – podľa samostatných zásad, nie jasne formulovaných pravidiel.

Zo starovekého Babylonu sa k nám dostali iba hlinené tabuľky, ktoré popisujú pravidlá výpočtu zrezanej (nie úplnej) pyramídy, no na stavbu predmetov takéhoto rozsahu by nestačili. Je známe, že mnohé staroveké civilizácie vypočítali objem základných postáv vynásobením plochy ich základne výškou, ale to neplatí pre také objekty, ako sú kužele, pyramídy, štvorsteny. Hoci sa často nachádzajú v starovekej architektúre a majú presne definované proporcie.

Staroveké Grécko

Princípy vyhľadávania zväzkov boli jasnejšie formulované v starovekom Grécku - od 5. do 2. storočia pred Kristom. Euklides zavádza pojem kocky, čo súčasne znamená objem rovnomennej figúry a zdvihnutie čísla na 3. mocninu. A Demokritos v 5. storočí pred Kristom prvýkrát sformuloval pravidlo na zistenie objemu pyramídy, ktorý sa podľa jeho výskumu vždy rovná 1/3 objemu hranolu rovnakej výšky a rovnakej výšky. základňu.

V období od 6. do 2. storočia pred Kristom sa starogrécki matematici naučili počítať aj objem hranolov, valcov a kužeľov pomocou už objaveného čísla „pi“, ktoré je potrebné na výpočet všetkých okrúhlych útvarov. Archimedov výskum vytvoril základ integrálnej metódy počtu a za svoj hlavný objav považoval vzorec, podľa ktorého je objem gule vždy o 2/3 menší ako objem valca opísaného okolo nej. Okrem Archimedesa k štúdiu geometrie výrazne prispeli aj Demokritos a Eudoxus z Knidu.

Nový čas

Počas antiky boli odvodené všetky základné vzorce na výpočet trojrozmerných útvarov a stredovek nepriniesol v tejto oblasti ani jeden zásadne nový objav – s výnimkou indických bádateľov (hlavne Brahmagupta), ktorí vytvorili niekoľko geometrických pravidlá v 6.-7.storočí s pridaním novej hodnoty – polobvodu. Zásadne nový prístup sa uplatnil až v modernej dobe – v XVI-XVII storočí.

Taliansky vedec Bonaventura Cavalieri vo svojom diele „Geometria“ (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) z roku 1635 navrhol nový princíp hľadania objemu pyramídy a položil základ pre ďalší rozvoj matematiky a fyziky. na 300 rokov dopredu. Princíp je taký, že ak sú v priesečníku dvoch telies ľubovoľnou rovinou rovnobežnou s nejakou danou rovinou plochy prierezu rovnaké, sú rovnaké aj objemy týchto telies.

Je pozoruhodné, že až do 19. storočia neexistovali presné definície objemov trojrozmerných telies a sformulovali ich až v roku 1887 Giuseppe Peano a v roku 1892 Marie Enmond Camille Jordan. Podľa sústavy SI sa kubický meter stal hlavnou jednotkou merania objemu a všetky ostatné jednotky (unce, stopy, sudy, buše) zostali ako alternatívne jednotky.

3D geometria vzbudila mimoriadny záujem v 20. storočí s rozvojom abstrakcionizmu. V roku 1966 fotograf Charles F. Cochran vytvoril svoju slávnu fotografiu „crazy box“ kocky naruby, po ktorej sa kubické snehové vločky, plávajúce, opakujúce sa, dvojposchodové kocky a ďalšie dostali do zoznamu nemožných 3D tvarov. Moderné 3D umenie je tiež nemožné bez použitia všeobecne uznávaných vzorcov na zisťovanie objemu, ktoré boli síce vypočítané počítačom, ale boli vytvorené pred mnohými storočiami.

Ako nájsť objem (objemové vzorce)

Ak na výpočet obvodu stačí pridať niekoľko čísel do stĺpca, potom môže byť na určenie objemu potrebný technický kalkulátor alebo špeciálna online aplikácia. Týka sa to všetkých základných trojrozmerných obrazcov: kocka, hranol, guľa, hranol, kužeľ, valec, štvorsten a pyramída.

Kocka

Keďže všetky steny kocky majú rovnakú dĺžku a všetky uhly sú 90 stupňov, výpočet objemu tohto útvaru je elementárny. Pre neho stačí použiť vzorec s jednou neznámou:

V = a³.

V súlade s tým je V objem kocky a a je dĺžka jej plochy. Jednotky objemu sú štandardné: meter, decimeter, centimeter, milimeter atď.

hranol

Tento geometrický útvar je mnohosten, ktorého dve strany majú rovnaký tvar a plochu a sú v rovnobežných rovinách. A medzi nimi sú obdĺžniky striktne kolmé na základne. Ten môže mať akýkoľvek polyedrický tvar: trojuholník, päťuholník, šesťuholník. Vzorec na určenie objemu v každom prípade vyzerá rovnako:

V = Sₒ ⋅ h.

Vo výraze h je výška hranola a Sₒ je plocha jeho základne. Ten sa vypočíta podľa vzorca zodpovedajúceho tomuto konkrétnemu obrázku, či už ide o trojuholník, kosoštvorec alebo lichobežník.

Parallepiped

Tento obrazec je jednou z odrôd hranola, ale ak sú jeho strany striktne kolmé na základne, potom prvý môže mať skosené - s uhlami inými ako 90 stupňov. Vzorec na výpočet objemu krabice však vyzerá rovnako:

V = Sₒ ⋅ h.

Výška h sa kreslí od rohu hornej základne kolmo nadol a so skosenými hranami sa nezhoduje s rohom spodnej základne. Ak je krabica obdĺžniková, objem sa vypočíta ako súčin strán:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Podľa toho sú aab dĺžky strán základne, h je výška krabice. V tomto prípade sa výška úplne zhoduje s ktoroukoľvek z bočných hrán.

Pyramída

Obrázok, ktorý sa ťažšie vypočítava a pozostáva z polygonálnej základne a trojuholníkových plôch, ktorých počet sa rovná počtu strán základne. Ak ide o trojuholník, existujú 3 plochy, ak je štvorec 4, ak šesťuholník je 6. Všetky bočné plochy majú spoločný vrchol a objem sa vypočíta pomocou univerzálneho vzorca:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Rovnako ako v predchádzajúcich vzorcoch, Sₒ je plocha základne, h je výška postavy. Výraz sa pri zmene základne nemení a je rovnaký pre všetky druhy pyramíd.

Pravidelný štvorsten

Tento obrázok má všetky uhly ohybu na okrajoch rovnaké a strany sú rovnostranné trojuholníky vrátane základne. Pravidelný štvorsten teda možno nazvať trojuholníkovou pyramídou so štyrmi rovnakými stranami. Jeho objem sa vypočíta podľa vzorca:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Vo výraze je len jedna neznáma - a, ktorá zodpovedá dĺžke hrany pravidelného štvorstenu. Všetky hrany v ňom sú rovnaké, takže stačí kocka, potom vynásobiť odmocninou a vydeliť 12.

Valec

Tento geometrický obrazec pozostáva z dvoch okrúhlych podstavcov, ktoré majú rovnaký priemer a sú navzájom rovnobežné. Sú vzájomne prepojené jednou súvislou bočnou plochou kolmou na podstavy. Ten môže byť reprezentovaný kruhmi aj oválmi. V každom prípade, vzorce na výpočet objemu vyzerajú rovnako:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

V týchto rovniciach je Sₒ plocha základne valca, h je výška valca a R je polomer základne. Prvý vzorec je vhodný len pre valce s dokonalou okrúhlou základňou a druhý vzorec je vhodný pre všetky valce vrátane oválnych a eliptických.

Kužeľ

Ďalším bežným 3D tvarom je kužeľ s okrúhlou základňou a ostrým vrcholom. Na výpočet jeho objemu môžete použiť jeden z dvoch matematických vzorcov:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Prvý je vhodný len pre kužele s okrúhlou základňou a druhý je univerzálny a možno ho použiť na výpočet figúrok s oválnymi a elipsoidnými základňami. Zápis vo vzorcoch je štandardný: Sₒ je plocha základne, R je polomer základne, h je výška kužeľa.

Lopta

Na výpočet objemu gule potrebujete iba konštantu π (rovná sa 3,14...) a jej polomer:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Podľa toho je R polomer gule, ktorý je dostatočný na určenie objemu tohto čísla.

Aby ste nestrácali čas a nelámali si hlavu nad zložitými výpočtami, môžete použiť tlačidlovú (alebo softvérovú) inžiniersku kalkulačku s koreňmi a stupňami alebo špeciálnu online kalkulačku s prázdnymi políčkami na zadávanie charakteristík trojrozmerných útvarov. .