Llogaritësi i vëllimit

Vëllimi është një nga karakteristikat gjeometrike më të rëndësishme: së bashku me perimetrin dhe sipërfaqen e figurave. Por mund të zbatohet vetëm për trupat tredimensionale, të cilët karakterizohen jo vetëm nga gjatësia dhe gjerësia, por edhe nga lartësia/trashësia.

Sferat, kube, cilindra, piramida, kone, paralelopipedë - të gjitha këto janë figura tredimensionale, llogaritja e të cilave kryhet sipas formulave speciale, shumë prej të cilave u zbuluan nga shkencëtarët para erës sonë.

Sfondi historik

Egjipti i lashtë dhe Babilonia

Dëshmia e parë e përdorimit të figurave tredimensionale i referohet Egjiptit të Lashtë, ose më saktë, ndërtimit dhe arkitekturës së tij. Kështu, strukturat madhështore piramidale nuk mund të ndërtoheshin pa ditur parimet bazë për përcaktimin e masës dhe vëllimit. Kjo do të thotë se egjiptianët e lashtë, të paktën, mund të llogaritnin vëllimin e kubeve, prizmave dhe piramidave.

Një shembull i gjallë është varri i faraonit Keops, 147 metra i lartë, i cili ka një formë ideale gjeometrike të një piramide. Është e pamundur ta bashkosh atë nga tulla dhe blloqe individuale në mënyrë të tillë që të ketë qëndruar për më shumë se 4500 vjet; kjo kërkon llogaritje matematikore dhe inxhinierike me saktësi të lartë.

Nuk ka asnjë provë dokumentare që egjiptianët dhe babilonasit e lashtë përdornin formula specifike për të llogaritur volumin, dhe ndoshta ato u përdorën vetëm në formë grafike dhe gojore - duke ndjekur parime të veçanta, rregulla jo të formuluara qartë.

Nga Babilonia e Lashtë na kanë ardhur vetëm pllaka balte, të cilat përshkruajnë rregullat për llogaritjen e një piramide të cunguar (jo të plotë), por ato nuk do të mjaftonin për ndërtimin e objekteve të një përmasash të tillë. Dihet se shumë qytetërime të lashta llogaritën vëllimin e figurave elementare duke shumëzuar sipërfaqen e bazës së tyre me lartësinë, por kjo nuk është e zbatueshme për objekte të tilla si kone, piramida, tetraedra. Edhe pse ato gjenden shpesh në arkitekturën antike dhe kanë përmasa të përcaktuara mirë.

Greqia e lashtë

Parimet e gjetjes së vëllimeve u formuluan më qartë në Greqinë e Lashtë - nga shekulli i 5-të deri në shekullin e dytë para Krishtit. Euklidi prezanton konceptin e një kubi, që nënkupton njëkohësisht vëllimin e figurës me të njëjtin emër dhe ngritjen e një numri në fuqinë e 3-të. Dhe Demokriti në shekullin e 5 para Krishtit formuloi për herë të parë një rregull për gjetjen e vëllimit të një piramide, e cila, sipas hulumtimit të tij, është gjithmonë e barabartë me 1/3 e vëllimit të një prizmi me të njëjtën lartësi dhe me të njëjtën lartësi. bazë.

Në periudhën nga shekulli i 6-të deri në shekullin e dytë para Krishtit, matematikanët e lashtë grekë mësuan gjithashtu të llogarisin vëllimin e prizmave, cilindrave dhe konëve, duke përdorur numrin e zbuluar tashmë "pi", i cili është i nevojshëm për llogaritjen e të gjitha figurave të rrumbullakëta. Hulumtimi i Arkimedit formoi bazën e metodës integrale të llogaritjes dhe ai e konsideroi zbulimin e tij kryesor si formula sipas së cilës vëllimi i një topi është gjithmonë 2/3 më i vogël se vëllimi i cilindrit të përshkruar rreth tij. Përveç Arkimedit, një kontribut të madh në studimin e gjeometrisë dhanë edhe Demokriti dhe Eudoksi i Knidit.

Koha e re

Gjatë Antikitetit, u nxorrën të gjitha formulat bazë për llogaritjen e figurave tredimensionale dhe mesjeta nuk dha një zbulim të vetëm thelbësisht të ri në këtë fushë - me përjashtim të studiuesve indianë (kryesisht Brahmagupta), të cilët krijuan disa gjeometrike rregullon në shekujt 6-7 me shtimin e një vlere të re - gjysmë-perimetrin. Një qasje thelbësisht e re u aplikua vetëm në kohët moderne - në shekujt XVI-XVII.

Në veprën e tij "Geometria" (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota) të vitit 1635, shkencëtari italian Bonaventura Cavalieri propozoi një parim të ri për gjetjen e vëllimit të një piramide dhe hodhi themelet për zhvillimin e mëtejshëm të matematikës dhe matematikës. për 300 vitet e ardhshme. Parimi është që nëse në kryqëzimin e dy trupave me një rrafsh paralel me një rrafsh të caktuar, sipërfaqet e prerjes tërthore janë të barabarta, edhe vëllimet e këtyre trupave janë të barabartë.

Vlen të përmendet se deri në shekullin e 19-të nuk kishte përkufizime të sakta për vëllimet e trupave tredimensionale, dhe ato u formuluan vetëm në 1887 nga Giuseppe Peano, dhe në 1892 nga Marie Enmond Camille Jordan. Sipas sistemit SI, metri kub u bë njësia kryesore e matjes së vëllimit, dhe të gjitha njësitë e tjera (uns, këmbët, fuçitë, bushelat) mbetën si ato alternative.

Gjeometria 3D ngjalli interes të veçantë në shekullin e 20-të, me zhvillimin e abstraksionizmit. Në vitin 1966, fotografi Charles F. Cochran krijoi foton e tij të famshme të "kutisë së çmendur" të një kubi brenda-jashtë, pas së cilës në listën e formave 3D të pamundura hynë në listën e formave 3D të pamundura, bore kubike, lundruese, përsëritëse, kube 3D. Arti modern 3D është gjithashtu i pamundur pa përdorimin e formulave të pranuara përgjithësisht për gjetjen e vëllimit, të cilat, edhe pse të llogaritura nga një kompjuter, u krijuan shumë shekuj më parë.

Si të gjeni vëllimin (formulat e vëllimit)

Nëse mjafton të shtoni disa numra në një kolonë për të llogaritur perimetrin, atëherë mund të kërkohet një kalkulator inxhinierik ose një aplikacion i veçantë në internet për të përcaktuar volumin. Kjo vlen për të gjitha figurat bazë tre-dimensionale: kubin, prizmin, topin, paralelepipedin, konin, cilindrin, katërkëndorin dhe piramidën.

Kub

Meqenëse të gjitha faqet e një kubi kanë të njëjtën gjatësi dhe të gjitha këndet janë 90 gradë, llogaritja e vëllimit të kësaj figure është elementare. Për të, mjafton të përdorë një formulë me një të panjohur:

V = a³.

Sipas kësaj, V është vëllimi i kubit, a është gjatësia e faqes së tij. Njësitë e volumit janë standarde: metër, decimetër, centimetër, milimetër e kështu me radhë.

Prisma

Kjo figurë gjeometrike është një shumëfaqësh, dy anët e të cilit janë të njëjta në formë dhe sipërfaqe dhe janë në rrafshe paralele. Dhe midis tyre ka drejtkëndësha rreptësisht pingul me bazat. Kjo e fundit mund të ketë çdo formë poliedrike: trekëndësh, pesëkëndësh, gjashtëkëndësh. Formula për përcaktimin e volumit në çdo rast duket e njëjtë:

V = Sₒ ⋅ h.

Në shprehje, h është lartësia e prizmit dhe Sₒ është zona e bazës së saj. Ky i fundit llogaritet sipas formulës që korrespondon me këtë figurë të veçantë, qoftë trekëndësh, romb, trapez.

Paralepiped

Kjo figurë është një nga varietetet e një prizmi, por nëse faqet e këtij të fundit janë rreptësisht pingul me bazat, atëherë e para mund të ketë të pjerrëta - me kënde të ndryshme nga 90 gradë. Megjithatë, formula për llogaritjen e vëllimit të një kutie duket e njëjtë:

V = Sₒ ⋅ h.

Lartësia h është tërhequr nga këndi i bazës së sipërme pingul poshtë dhe me skajet e pjerrëta nuk përkon me këndin e bazës së poshtme. Nëse kutia është drejtkëndore, vëllimi llogaritet si prodhim i anëve:

V = a ⋅ b ⋅ h.

Sipas kësaj, a dhe b janë gjatësitë e anëve të bazës, h është lartësia e kutisë. Në këtë rast, lartësia përkon plotësisht me ndonjë nga skajet anësore.

Piramida

Një figurë më e vështirë për t'u llogaritur, e përbërë nga një bazë poligonale dhe faqe trekëndore, numri i të cilave është i barabartë me numrin e brinjëve të bazës. Nëse është trekëndësh, ka 3 faqe, nëse katrori është 4, nëse gjashtëkëndëshi është 6. Të gjitha faqet anësore kanë një kulm të përbashkët dhe vëllimi llogaritet duke përdorur formulën universale:

V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

Si në formulat e mëparshme, Sₒ është sipërfaqja e bazës, h është lartësia e figurës. Shprehja nuk ndryshon kur ndryshon bazën dhe është e njëjtë për të gjitha llojet e piramidave.

Tetraedri i rregullt

Kjo figurë i ka të gjithë këndet dykëndësh në skajet të barabarta, dhe faqet janë trekëndësha barabrinjës, duke përfshirë bazën. Kështu, një tetraedron i rregullt mund të quhet një piramidë trekëndore me katër anët identike. Vëllimi i tij llogaritet me formulën:

V = (a³ ⋅ √2) / 12.

Ka vetëm një të panjohur në shprehjen - a, që korrespondon me gjatësinë e skajit të një tetraedri të rregullt. Të gjitha skajet në të janë të njëjta, kështu që mjafton të kubesh, pastaj të shumëzosh me rrënjën dhe të pjesëtosh me 12.

Cilindër

Kjo figurë gjeometrike përbëhet nga dy baza të rrumbullakëta, identike në diametër dhe paralele me njëra-tjetrën. Ato janë të ndërlidhura nga një sipërfaqe anësore e vazhdueshme pingul me bazat. Kjo e fundit mund të përfaqësohet si me rrathë ashtu edhe me ovale. Në çdo rast, formulat për llogaritjen e vëllimit duken të njëjta:

V = π ⋅ R² ⋅ h.
V = Sₒ ⋅ h.

Në këto ekuacione, Sₒ është sipërfaqja e bazës së cilindrit, h është lartësia e cilindrit dhe R është rrezja e bazës. Formula e parë është e përshtatshme vetëm për cilindra me një bazë të përsosur të rrumbullakët dhe formula e dytë është e përshtatshme për të gjithë cilindrat, duke përfshirë ovale dhe eliptike.

Koni

Një formë tjetër e zakonshme 3D është koni, me një bazë të rrumbullakët dhe një majë të mprehtë. Për të llogaritur vëllimin e tij, mund të përdorni një nga dy formulat matematikore:

V = (1/3) ⋅ π ⋅ R² ⋅ h.
V = (1/3) ⋅ Sₒ ⋅ h.

E para është e përshtatshme vetëm për kone me bazë të rrumbullakët dhe e dyta është universale dhe mund të përdoret për llogaritjen e figurave me baza ovale dhe elipsoidale. Shënimi në formula është standard: Sₒ është sipërfaqja e bazës, R është rrezja e bazës, h është lartësia e konit.

Topi

Më në fund, për të llogaritur vëllimin e një sfere, ju nevojitet vetëm konstanta π (e barabartë me 3.14...) dhe rrezja e saj:

V = (4/3) ⋅ π ⋅ R³.

Prandaj, R është rrezja e topit, e cila është e mjaftueshme për të përcaktuar vëllimin e kësaj figure.

Për të mos humbur kohë dhe enigmë për llogaritjet komplekse, mund të përdorni një makinë llogaritëse inxhinierike me butona (ose softuer) me rrënjë dhe gradë, ose një kalkulator special në internet me fusha boshe për të futur karakteristikat e figurave tredimensionale .

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}